第26-28章阶段复习卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级下册人教版

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第26-28章阶段复习卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
一、单选题
1．的值为（　　）
A． B． C． D．
2．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，，顶点在反比例函数（，）的图象上，若菱形的周长为8，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点G，交的延长线于点H，若，，的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
5．如图，一个厚度，宽度可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量水，随着的变化，水面高度也发生变化．设，水面高度为，则y随x变化的函数图象是如图所示的曲线，它与直线只有一个公共点R．则盒子里水的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形和四边形均为正方形，且点E、G分别在边、上，，，连接并延长，交边于点H，连接，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
8．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图为单车实物图，图为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，由8个全等的菱形组成的网格中，已知，其中点都在格点上，则的值为 ．
10．如图，身高1.6米的小亮站在点测得旗杆的仰角为，小亮向旗杆走了6米到达点，测得旗杆的仰角为，则旗杆的高度为 米．（，，）
11．如图，在正方形，点在边上，且，垂足为，且交于点，与交于点，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ．
12．如图， 已知， ， 则 ．
13．如图，是等腰直角三角形，，点是边上的一动点，连接，以为一边作矩形，连接，若，则线段的最小值为 ．
14．如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点.
（1）若点是的中点，则 ；
（2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 .
三、解答题
16．风筝起源于中国，已有2000多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，测得处的仰角为；他又沿坡面BC走到达坡底处，测得处的仰角为．（点，，，在同一平面内）
(1)求坡顶处的高度；
(2)求风筝的飞行高度（即的长）．
17．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为）
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图像，直接写出不等式的解集；
(3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标．
18．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图．
(1)在图①中，找一格点C，连接，使；
(2)在图②中，在线段上找一点C，连接AC，使；
(3)在图③中，找一点C，连接，使．
19．【模型建立】如图，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），是延长线上一点，，连接，，
（1）①求证：；
②判断的形状，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图，连接与交于点，连接，试判断与的关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
20．如图，直线与双曲线相交于点A，B（点A在第一象限，点B在第三象限），与x轴相交于点C，过点A作轴于点D，连接并延长交该双曲线于点E，连接，已知．
(1)请直接写出该双曲线的表达式；
(2)求的面积；
(3)请直接写出关于x的不等式的解集．
21．四边形是矩形，点E是射线上一动点，连接，以为对称轴，把沿折叠后点D落在点处，的延长线交直线于点F．
(1)如图1，若，点E在线段上，请直接写出线段之间的数量关系： ．
(2)如图2，若，点E在线段上，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给予证明；若不成立，请写出新的结论，说明理由．
(3)若，请直接写出的面积．
$#fenjie$#《第26-28章阶段复习卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B D D D A
1．B
【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．根据，，解答即可．
【详解】解：．
故选：B．
2．D
【分析】解答本题的关键是要理解两函数交点和方程组的解的对应关系．同时同学们要掌握解方程组的方法．把代入中，得：，得，把代入中，得：，然后联立这两函数求出交点坐标．
【详解】解：把代入中，
得：，
，
把代入中，
得：，
反比例函数关系式为，
联立方程组得，
得或，
所以点坐标是．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数，掌握菱形的性质是关键．
根据菱形的性质得到，，如图所示，连接交于点，，，在中，由勾股定理得到，则，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，周长为，
∴，
∵，
∴，
如图所示，连接交于点，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
故选：C ．
4．B
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，由角平分线的定义结合平行四边形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：由作图可得：平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了实际问题与反比例函数，一元二次方程根的判别式（根据一元二次方程根的情况求参数），求反比例函数解析式等知识点，依题意得出是解题的关键．
设长方体盒子中水的体积为，依题意得，即，将曲线与直线相联立，得，整理得，由于该曲线与直线只有一个公共点，因而可得，由此即可求出的值．
【详解】解：设长方体盒子中水的体积为，
依题意得：，
即：，
将曲线与直线相联立，得：
，
整理，得：，
该曲线与直线只有一个公共点，
，
，
长方体盒子中水的体积为，
故选：．
6．D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出，再根据即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出的值，由即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
7．D
【分析】本题主要涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．准确利用性质是正确解答此题的关键．
首先利用正方形性质得到相关线段的长度和角度关系，再通过相似三角形的性质求出的长度，进而得到的长度，最后在中，根据勾股定理求出的长度．
【详解】解：四边形为正方形， ，
， ，
四边形为正方形，，
， ，
，
，
，
，
，即，
，
，
在中，在中，，
故答案为：D．
8．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于，地面于，可得，解得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，作于，地面于，
由题意得，，
在中，∵，，
∴，
∴坐垫离地面高度约为，
故选：．
9．
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上，
依题意，，
∴
∴
设
∴
∴
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；在中，得到，在中，得到，再根据，计算即可求出．
【详解】解：
在中，
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴
答：旗杆的高度为米；
故答案为：．
11．①②④
【分析】利用证明，得，说明①正确；利用，得，即，可知②正确；证明，得，得，且，可知③错误；根据，可知，作于，根据，得，可知④正确．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，故①正确；
，
，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，故③错误；
∵，
∴，
作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据，证得，根据相似三角形的性质得到相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：．
13．
【分析】取的中点，连接，，，过点作于，先证明，得到，，推出，，证明出，得到，点在定直线上运动，由，推导出点与点重合时，最小，且等于，接着证明，，从而算得答案．
【详解】解：取的中点，连接，，，过点作于，如图所示：
是等腰直角三角形，，
，
点是的中点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
点在定直线上运动，
，
点与点重合时，最小，且等于，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并数形结合作出合适的辅助线是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意得出矩形的面积为，进而即可求解．
【详解】解：如图，
依题意，矩形和反比例函数图像都是中心对称图形，为对称中心，点在函数的图像上，
∴矩形的面积为，
∴矩形的面积为
故答案为：．
15． 18
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出、的坐标是解题的关键．
（1））由正方形的边长是6和中点，得到点的坐标为，利用待定系数法求解即可；
（2）由正方形的边长是6，得到点的横坐标和点的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点坐标，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵正方形的边长是6，点是的中点，
∴点的坐标为，
∴，即；
（2）
∵正方形的边长是6，
∴，，
∴，，
∵的面积为16，
∴，
∴或（舍去），
∴，，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，
∵，
∴，又，
∴，即的最小值为.
16．(1)
(2)风筝的飞行高度为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形．
（1）过点作于，作于，利用坡度得到，不妨设，，利用勾股定理，，求得，最后得到；
（2）先通过勾股定理求得，不妨设，那么，，是等腰直角三角形，那么，最后利用算得，最后得到的长度．
【详解】（1）解：过点作于，作于，如图所示：
从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，
，，
不妨设，，
，
，
（舍去负值），
，
答：坡顶处的高度为．
（2）解：他又沿坡面BC走到达坡底处，
不妨设
，，
四边形是矩形
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
答：风筝的飞行高度为．
17．(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，解不等式等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）设点，，分，是对角线，，是对角线，，是对角线三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上，
∴，解得：，
∴反比例函数的表达式为：；
∴，
∴，
∴点，
∵点，在一次函数，
∴，解得：，
∴，
∴一次函数的表达式为：．
（2）解：由（1）得，，
当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，，
∴或时，．
（3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像，
∴设点，，
∵四边形是平行四边形，
∴①当，是对角线，
∴，解得：，∴
点D的坐标为；
②当，是对角线时，
∴，解得：，
∴点D的坐标为；
③当，是对角线时，
∴，解得：，
∴点D的坐标为；
综上所述，点的坐标为：，，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，即可求解；
（2）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即可求解；
（3）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，根据三角形全等找到另一个腰的中点，即可求解；
【详解】（1）解：如图所示即为所求：
（2）解：如图所示即为所求：
（3）解：如图所示即为所求：
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和作法，全等三角形的判定和性质等知识点，根据题意作出符合的等腰直角三角形是解题的关键．
19．（1）①见解析；②为等腰直角三角形，理由见解析；（2）垂直平分，理由见解析；（3）．
【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，即可证明，根据全等三角形的对应边相等得证；
②由，得到，推出，从而得到为等腰直角三角形；
（2）过点作的垂线交于点，由，得到，进而有，即可证明，得到，又，根据垂直平分线的判定即可得到垂直平分；
（3）连接，根据，是等腰直角三角形，得到，从而，又，得到，即可证得．
【详解】（1）①证明：四边形是正方形，
，，
又，
，
；
②解：为等腰直角三角形．理由如下：
∵，
，
即，
又，
为等腰直角三角形；
（2）解：垂直平分理由如下：
如图，过点作的垂线交于点，
∵是正方形的对角线，
，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
，
．
∵，
∴，
，，
，
，
，
垂直平分；
（3）解：如图，连接，
为等腰直角三角形，垂直平分，
，
是等腰直角三角形．
是等腰直角三角形，
∴
，
，
，
，
，
∴
，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键．
20．(1)
(2)2
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，根据反比例函数与一次函数的交点求一元一次不等式的解集，
（1），先标注图形，可得，再设点的坐标，可表示，然后根据三角形的面积相等得出方程，求出解即可；
（2），求出直线的关系式，进而求出点E得知坐标，再作轴，交于点G，可得，然后联立函数关系式求出点B的坐标，最后根据得出答案；
（3），根据交点坐标，结合直线在双曲线上方的部分得出答案即可.
【详解】（1）解：先标注图形，
当时，，
∴点；
当时，，
∴，
即.
设点的坐标为，则，
∴，
即，
解得（舍去）或，
∴点，.
将点代入反比例函数的关系式，得，
∴反比例函数的关系式为；
（2）解：设直线的关系式为，根据题意，得
，
解得，
∴直线的关系式为.
将两个关系式联立，得，
解得（舍去），
∴点.
过点E作轴，交于点G，
当时，，
∴点，
∴.
将直线和反比例函数关系式联立，得，
解得（舍去），
∴点.
∴；
（3）解：当或时，.
21．(1)
(2)（1）中的结论不成立，新的结论是
(3)的面积或
【分析】（1）过点作，交的延长线与点，根据正方形的性质证明得出，，由折叠的性质得以及平行线的性质得出，可得，即可求解；
（2）过点作交的延长线于点，证明得出 ，则，进而同（1）的方法证明，即可求解；
（3）两种情况：①当点在线段上时，此时点在的延长线上，过点作，交的延长线于点，②当点在的延长线上时，此时点在的延长线上，过点作交的延长线于点，设，分别求得，进而同（2）可得，勾股定理求得的长，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：
如图1所示，过点作，交的延长线与点，
，
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，，
，
由折叠的性质得：，
，
，
即，
，
，
，
；
（2）（1）中的结论不成立，新的结论是，理由如下：
过点作交的延长线于点，如图2所示
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
又 ，
，
，，
，
，
，
根据折叠的性质得：，
，
，
即，
，
，
，
；
（3）点是射线上一动点，
有以下两种情况：
①当点在线段上时，此时点在的延长线上，过点作，交的延长线于点，如图所示：
四边形是矩形，，，
，，，
，
，
根据折叠的性质得：
设
同（2）可得
在中，
解得：
∴
②当点在的延长线上时，此时点在的延长线上，过点作交的延长线于点，如图4所示：
，，
，
设，
由折叠的性质得：
同（2）可得
，
在中，
解得：
．
．
综上所述，的面积或．
【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，理解矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
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