旋转压轴精选题特训（含解析）-2025年中考数学二轮专题

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旋转压轴精选题特训-2025年中考数学二轮专题
1．已知：线段．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．再将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接、．分别取线段，的中点，，直线分别交，于点、．
(1)如图1所示，，时，．求证：．
(2)当时，（1）中结论是否仍然成立，若成立补全图2，并证明你的结论；若不成立说明理由．
2．【感知】在矩形中，．将绕着点B顺时针旋转，旋转角为得到，点A、D的对应点分别为E、F．若点E落在上，如图①，则______．
【探究】当点E落在线段上时，与交于点G．其它条件不变，如图②．
（1）求证：；
（2）的长为______．
【拓展】连接，在的旋转过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围．
3．在矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为（），得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．
(1)如图①，当点E落在边上时，求线段EC的长度；
(2)如图②，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接．
①求证：；
②求线段的长度．
(3)如图③设点P为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
4．小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，．
(1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离．
(2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，）
5．如图1，在中，，，，于点，为上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图2，当点为线段的中点时，点与点重合，则线段和之间的数量关系是______．
(2)如图1，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由．
6．问题背景：如图1，设P是等边内一点，，，，求的度数．小君研究这个问题的思路是：将绕点A逆时针旋转得到，易证：是等边三角形，是直角三角形，所以．
简单应用：
(1)如图2，在等腰直角中，，P为内一点，且，，，则_______°．
(2)如图3，在等边中，P为内一点，且，，，求长．
(3)拓展延伸：若图4中的等腰直角，与，，在的同侧，若，，求的长度．
7．已知与均为等边三角形，且顶点A重合，现将等边绕顶点A转动得到下列图形．
(1)初步探究：如图1，连接、，当、、三点在同一直线上时，猜想，
请证明这一结论是正确的；
(2)大胆尝试：如图2，连接、，当、、三点在同一直线上时，作于H，猜想、与的数量关系并证明你猜想的结论．
(3)拓展延伸：如图3，连接、，当时，延长交于点F，过点D作于，，的面积为，求的长．
8．【问题情境】
数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合．
【解决问题】
（1）连接，若，，求的长；
【类比迁移】
（2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：．
9．如图，在正方形中，点E，F分别在边和上，且，连接，分别交，于点H，点G，连接，，．
(1)若正方形的边长为，则的周长为________；
(2)求证：；
(3)与存在怎样的位置关系？请说明理由；
(4)求证：为定值．
10．如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F，
(1)若，求线段的长；
(2)在（1）的条件下，连接交于点N，求的值；
(3)在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度．
11．如图，在平行四边形中，O为的中点，直线l与边重合，将直线l绕点B旋转，旋转角为，直线l于点M，直线l于点N，连接、．
(1)如图①，当直线l绕点B逆时针旋转（）时，请直接写出、的数量关系是 ；
(2)如图②，当直线l绕点B顺时针旋转（）时，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；
(3)若旋转角，当平行四边形为正方形，且边长为时，请直接写出线段的长．
12．如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点F.
(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点B按逆时针方向旋转如图2所示，得到结论：
①的值为________；
②直线与所夹锐角的度数为________；
(2)小王同学继续将绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置，与交于点O，与交于点H.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由：
(3)在以上探究中，当旋转至D、E、F三点共线时，直接写出的面积.
《旋转压轴精选题特训-2025年中考数学二轮专题》参考答案
1．(1)证明见解答
(2)见解析
【分析】（1）在下方作，点在直线上，先证得，再证得，利用证得，即可证得结论；
（2）延长至点，使，连接，延长至点，使得，连接，先证得，得出，再证得，得出，，推出当且仅当时，（1）的结论才成立，否则不成立．
【详解】（1）证明：在下方作，点在直线上，如图1，
，
，，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
；
（2）解：延长至点，使，连接，延长至点，使得，连接，
，，
，
，
、是、的中点，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
要使，即，
，
又，
当且仅当时，结论成立，
即当且仅当时，（1）的结论才成立，否则不成立．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
2．感知：2；探究：（1）见解析；（2）；拓展：
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等角对等边，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的意义，熟知相关知识是解题的关键．
感知：先由矩形的性质和勾股定理求出的长，再由旋转的性质得到的长，据此根据线段的和差关系可得答案；
探究：（1）由旋转的性质可得，则，再利用证明即可；
（2）证明，得到，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）根据三角形三边的关系可得，设点C到的距离为h，则，据此可确定h的最大值和最小值，进而求出S的最大值和最小值即可得到答案．
【详解】解；感知：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴；
探究：（1）由旋转的性质可得，
∵点E落在线段上，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
拓展：∵，
∴，
设点C到的距离为h，则，
∴当取得最小值时，且当时，h有最小值2，即此时有最小值，最小值为；
当取得最大值时，且当时，h有最大值14，即此时有最大值，最大值为；
∴
3．(1)
(2)①见解析；②
(3)存在，
【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）如图①，在中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）①利用进行判定即可；
②设，根据勾股定理构建方程进行计算即可；
（3）存在，连接，作于点，当与共线时，的面积最大，求出，即可求出答案．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
由于逆时针旋转矩形，旋转角为（），得到矩形，
，
在中，，
；
（2）①证明：当点落在线段上，
，
在和中，
，
；
②解：，
，
，
设，
在中，，
，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
连接，作于点，
当与共线，且时，面积最大，
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
的面积的最大值为．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可得：，，进而得到，根据勾股定理求出，由旋转可得：，，
可推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解；
（2）过点作于点，交于点，推出四边形是矩形，得到，，由题意可知，，，根据求出，最后根据到的最大距离为，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接、、，
四边形是正方形，四边形是矩形，
，，
，
，
，
由旋转可得：，，
是等边三角形，
，
即点与点之间的距离为；
（2）过点作于点，交于点，
四边形是正方形，四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，，
由旋转可得：，矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，
，
，
到的最大距离为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数的应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．
5．(1) 证明见解析；
(2)理由见解析；
【分析】本题考查全等三角形的性质及判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，能熟练应用全等三角形判定定理和相似三角形的判定定理．
（1）证明是等边三角形，利用等边三角形的性质可得结论；
（2）在上截取，连接，证明)，可得，从而从而可得结论．
【详解】（1）解：如图2，
为的中点，
是等边三角形，
即
故答案为： ．
（2），理由如下：在上截取，连接，如图：
在中，，，
，
又，
，
是等边三角形，
，．
由旋转的性质，得，，
，
，即．
在和中，
，
，
又，，
．
即．
6．(1)135
(2)13
(3)
【分析】（1）先利用旋转得出，， ，再根据勾股定理得出，最后用勾股定理的逆定理得出是以为斜边的直角三角形，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得出，进而得出，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）先利用旋转得出，，，，再判断出点在的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：如图2，将绕点C逆时针旋转得到，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
根据旋转可知：，， ，
∴，
根据勾股定理得， ，
∵，，
∴，
∴是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：135；
（2）解：如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
根据旋转可知：，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
根据勾股定理得， ，
∴；
（3）解：如图4，连接，将绕点B顺时针旋转得到，与的交点记作G，
根据旋转可知：，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在的延长线上，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，负值舍去．
【点睛】本题主要考查了三角形的旋转变换，涉及了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，灵活的利用三角形的旋转变换添加辅助线是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形面积，勾股定理及应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）由 和 均为等边三角形，可证，知，而，故，从而；
（2）同（1）得，有，，可推得，故，又，，，故；
（3）作于，于，证明，得，可得，，即可得，，根据的面积为，知，由，故；
【详解】（1）证明：和均为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
、、在同一直线上，
，
；
（2），
理由：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：作于，于，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的面积为，
的面积为，
，
，
；
8．（1）；（2）证明见解析．
【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质得到，，，根据旋转性质得到，，再根据勾股定理即可求解；
（2）运用旋转变换，将绕点逆时针旋转，得到，再判定，进而得到，再根据，得出．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转后与重合，，
∴，，
∴，
在中，；
（2）证明：如图，将绕A点逆时针旋转，得到，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴三点共线，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
9．(1)8
(2)见解析
(3)，理由见解析
(4)见解析
【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转及正方形的性质可证明，得，进而可得答案；
（2）结合题意，由正方形的性质可知，，得，进而可证明结论；
（3）根据正方形的性质可知，由（2）可知，，得，可证得，从而得，即可得结论；
（4）根据正方形的性质可知，由（2）可知，，得，即，证得，得，由（2）可知，得．同理可得，得，由即可证明结论．
【详解】（1）解：在正方形中，，，
将绕点顺时针旋转得到，
则，，，，
∵，
∴点、、在同一直线上，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
则的周长，
故答案为：8；
（2）证明：四边形为正方形，，．
，，
，
．
（3），理由如下：
四边形为正方形，
．
由（2）可知，，
，
．
，即．
（4）证明：四边形ABCD为正方形，
，
由（2）可知，，
，
，
，
，
．
由（2）可知，
，即．
同理可得，
，即．
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，证明，利用相似三角形的性质转化边之间的关系是解决的关键．
10．(1)
(2)
(3)4或
【分析】（1）先证明，再证明，进而即可求得线段EF的长；
（2）过点N作于点M，证明得出再证明得出，设则，代入比例式得出，进而即可求解；
（3）当P在B点的左侧时，过点P作于点Q；当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，分别解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：
又
解得；
（2）如图，过点N作于点M，
即，
又
设，则
解得
；
（3）如图所示，当P在B点的左侧时，过点P作于点Q，
设，则，
又
即
解得
在中，，
；
如图所示，当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，
设，则
即
解得
，
综上所述：的长度为4或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键
11．(1)
(2)成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）如图，延长，交于点，通过证明，再根据直角三角形中位线性质，进而证出；
（2）如图， 延长、， 交于点， 通过证明，再根据直角三角形中位线性质，进而证出；
（3）情况：如图，逆时针旋转，先证出， 再根据直角三角形性质及勾股定理可求出长；情况：如图，顺时针旋转， 延长、交于点， 连接， 并过点作， 通过证明推出， 再通过证明， 推出为等腰直角三角形，再通过得出，最后可求出．
【详解】（1）延长，交于点，
∵， ，
∴，
∴ ，
∵为中点，
∴，
∴在与中
，
∴，
∴，
为直角三角形，
∴；
（2）解：成立，理由为：
延长、， 交于点，
∵， ，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
又∵，
∴ ，
∴，
∵为直角三角形，
∴；
（3）情况：如图，逆时针旋转，
∵为正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∴在中，，
同理，
；
情况：如图，顺时针旋转，延长、交于点，连接，并过点作
，
，
∴，
∵为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵为直角三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∴在中，，
，
综上：的长为或．
【点睛】本题考查三角形全等证明、等腰三角形性质、勾股定理、平行线判定、直角三角形相关性质、正方形性质等知识点，根据题意做出正确的辅助线是解题的关键．
12．(1)①；②
(2)结论成立，理由见解析
(3)或．
【分析】（1）①求出，即可求出答案；②通过证明，可得，，即可求解；
（2）通过证明，可得，，即可求解；
（3）分两种情况讨论，先求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：①如图1，∵四边形是矩形，
∴，即，
∵，
∴，
∵点是边的中点，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴
故答案为：
如图2，设与交于点O，与交于点H，
∵绕点B按逆时针方向旋转
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴直线与所夹锐角的度数为，
故答案为：；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设与交于点O，与交于点H，
∵将绕点B按逆时针方向旋转，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴直线与所夹锐角的度数为．
（3）如图4，当点E在的上方时，过点D作于G，
∵，，点E是边的中点，，
∴，，
∵，
∴，
∵D、E、F三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）可得：，
∴，
∴，
∴的面积＝；
如图5，当点E在的下方时，过点D作，交的延长线于G，
同理可求：的面积
故答案为：或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分情况讨论思想解决问题是解题的关键.
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