课件12张PPT。
一、二维形式的柯西不等式
（第二课时）
一. 课前复习 （一）定理1（二维形式的柯西不等式）:二维形式的柯西不等式经过变形后可得到两个比较重要的不等式：这在以后证明不等式时会用到定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数 ,
使 时,等号成立.一. 学习新课 观察根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:
定理３（二维形式的三角不等式）
设 ，那么问题：
你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
练习巩固：练习一：
设a，b为正数，求
练习二：
P37 第6题小结：本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式和求最值时有重要作用，要学会灵活运用。作业：
P37 第 8 题课件17张PPT。不等式的证明复习不等式证明的常用方法:
比较法、综合法、分析法反证法 先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。
例题例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0， 求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c > ?a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
与题设矛盾
若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,
不可能同时大于1/4则三式相乘： (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > 又∵0 < a, b, c < 1 ∴同理：以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤与①矛盾∴结论成立证明：设(1 ? a)b>1/4, (1 ? b)c>1/4, (1 ? c)a>1/4, 在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：
要证b
要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
这种证明方法,我们称之为放缩法。
放缩法的依据就是传递性。
放缩法例1、若a, b, c, d?R+，求证：证：记m = ∵a, b, c, d?R+ ∴1 < m < 2 即原式成立 法１： 证明：在 时，显然成立.当 时，左边 法２：法３：函数的方法例4、巳知：a、b、c∈ ，求证：略解小结 在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：
要证b要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
这种证明方法,我们称之为放缩法。
放缩法的依据就是定理2（传递性性质）
课堂练习 1、当 n > 2 时，求证： 证：∵n > 2 ∴ ∴n > 2时, 课堂练习2、若p>0,q>0,且p3+q3=2,
求证：p+q≤2课堂小结 证明不等式的特殊方法:
（1）放缩法：对不等式中的有关式子进行
适当的放缩实现证明的方法。
（2）反证法：先假设结论的否命题成立，
再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结
论成立的方法。课件25张PPT。第四讲 数学归纳法证明不等式珠海市实验中学数学组 在数学研究中，人们会遇到这样的情 况，对于任意正整数n或不小于某个数n0 的任意正整数n，都有某种关系成立。对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法------数学归纳法与正整数有关的命题例如： 1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2 (n∈N+)
n2<2n (n∈N+,N≥5),
(1+x)n>1+nx (x>-1,n∈N+).n=5,a5=25问题情境一问题 1:大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？ 完全归纳法不完全归纳法 模 拟 演 示问题2：若an=(n2- 5n+5)2 ，则an=1。对吗？当n=1,a1= ;n=2,a2= ;n=3,a3= ; n=4,a4= ;（－1）n n问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例 猜想：
都是质数法国的数学家费马（Pierre de Fermat）
(1601年～1665年) 。???
十七世纪最卓越的数学家之一，
他在数学许多领域中都有极大的贡献，
因为他的本行是专业的律师，
为了表彰他的数学造诣，
世人冠以“业余王子”之美称，
归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。
（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。（2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法。归纳法如何解决不完全归纳法
存在的问题呢？必须寻找一种用有限个步骤，就
能处理完无限多个对象的方法。 问题情境三 ?多米诺骨牌操作实验数学归纳法我们常采用数学归纳法来证明：由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性. （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立 （2）假设当n=k(k ∈ N＋ ,k≥ n0 )时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立。 这种证明方法叫做 数学归纳法k=2,k+1=2+1=3
k=3,k+1=3+1=4
…
k=10,k+1=10+1=11
…下面我们来证明前面问题3中猜想的正确性证明: (1)当n=1时,左边=－1,右边=－1,
∴左边=右边,
∴ 当n=1时，式（*）成立 (2)假设当n=k时，式（*）成立，
即 －1+3－5＋ …＋（－1）k（2k－1）＝（－1）k k在这个假设下再考虑当n=k+1时，式（*）的左右两边
是否成立.例1、用数学归纳法证明：当n∈N+时，
－1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n （*）当n=k+1时
等式左边＝ －1+3－5＋ …＋（－1）k（2k－1）
＋（－1）k＋1 [2(k+1)－1]＋（－1）k＋1 [2(k+1)－1]＝ （－1）k＋1 (k+1)＝右边所以当n=k+1时等式（*）成立。由（1）（2）可知，
－1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n 利用
假设凑结论从n=k到n=k+1有什么变化 ＝（－1）k k ＝（－1）k＋1 [－k＋2(k+1)－1]下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：（1）验证：n=n0
（n0∈N+）
时命题成立。（2）证明：假设n=k
（k≥n0）时命题成立，
则n=k+1时命题也成立。对所有的n （n0∈N+， n≥n0）命题成立奠基假设与递推
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。
主要有两个步骤、一个结论:
第一步：验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确
第二步：假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确，
证明n=k+1时结论也正确
结论：由（1）、（2）得出结论正确找准起点
奠基要稳用上假设
递推才真写明结论
才算完整数学归纳法主要步骤:例2 用数学归纳法证明 1×4＝411）此时n0=__左＝_______ 右= __________ 2）假设n=k时命题成立，即 当n=k时，等式左边共有___项，
第(k－1)项是__________________。 k(K－1)×[3(k－1)＋1]1(1＋1)2 =41×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2 1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2 1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)
+(k+1)[3(k+1)+1]
=(k+1)[(k+1)+1]2(k+1)[3(k+1)+1] 当n=k+1时
左边=1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)
+(k+1)(3(k+1)+1)
= k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)
= (k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]
= (k+1)[k2+4k+4]=(k+1)[(k+1)+1]2 ＝右边练习巩固 1.用数学归纳法证明：在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是22.某个命题与正整数n有关，如果当 时命题成立，那么可推得当 n=k+1 时命题也成立. 现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立
C．当n=4时该命题不成立 D．当n=4时该命题成立C3.如下用数学归纳法证明对吗？证明：①当n=1时，左边＝ 右边＝ 等式成立。
②假设n=k时等式成立，有那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立。
根据①②可知，对n∈N＋，等式成立。注意:用上假设
递推才真第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明既然不对，如何改正？三注意：1、有时 n0不一定等于1
2、项数不一定只增加一项。
3、一定要用上假设分析4.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 练习巩固 从n=k到n=k+1有什么变化利用
假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即
1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= =2. 命题成立∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。明确初始值n0，验证真假。（必不可少）
“假设n=k时命题正确”，写出命题形式。
证明“n=k+1时”命题成立。
分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。
注意用上假设，
要作结论
用数学归纳法证明恒等式注意事项：数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。
主要有两个步骤、一个结论:
（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确
（2）假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确，
证明n=k+1时结论也正确
由（1）、（2）得出结论正确归纳小结（1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于
与正整数有关的问题。
（2）两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不能成立。
（3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设。递推基础不可少
归纳假设要用到
结论写明莫忘掉可能错误
如何避免？课堂小结 数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。 数学归纳法的核心思想课堂小结（1）思考题：问题 1中大球中有很多个小球，如何证明它们都是绿色的？模 拟 演 示作业（2）课本作业 P50. 习题4. 1 1，2 （3）补充作业: 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。（4）预习课本P49例1和例2哥德巴赫猜想德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和.他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.
1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现: 问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”
这就是著名的哥德巴赫猜想.
谢谢！
再见！谢谢！
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再见！谢谢！
再见！课件33张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.定理1（二维形式的柯西不等式）:你能证明吗？推论 向量形式：定理2: （柯西不等式的向量形式）根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:观察定理３（二维形式的三角不等式）
设 ，那么 例题例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
练习：作业第37页,第1,5,6题 二 一般形式的 柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2二维形式的柯西不等式）:三维形式的柯西不等式）:n维形式的柯西不等式）:当且仅当 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数k使得 (i=1,2,…,n) 时等号成立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式。一般形式的三角不等式例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：>ab+bc+cd+da.例3 已知x+2y+3z=1,求
的最小值。例4：设a、b、c为正数且各不相等。
求证： 又a、b、c各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。例5 若a>b>c 求证：∴ 例6：若
求证：分析：左端变形
∴只需证此式 即可 三 排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。
问：只有一个水龙头时，应该如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？解：总时间(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10
根据排序不等式，当t1总时间取最小值。
即：按水桶的大小由小到大依次接水，
则10人等候的总时间最少。
最少的总时间是:
10t1+9t2+…+2t9+t10
例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数，
求证：证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列，
且有 b1因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数，
所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
又因
由排序不等式，得：练习练习练习练习课件15张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！澄海中学数学组 6.3不等式的证明（3）复习：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—定符号---下结论
要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。复习：综合法 利用已经证明过的不等式(例如算术平均数与
几何平均数的定理)和不等式的性质推导出所要证
明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法. 综合法的思路是“由因导果”、已知 未知，
即从已知出发，不断地用必要条件来代替前面的
不等式，直到推导 出要证明的不等式。 综合法的思路是“由因导果”、已知 未知，
即从已知出发，不断地用必要条件来代替前面的
不等式，直到推导 出要证明的不等式。6.3 不等式的证明（3)—分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定所求证的不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。证明：为了要证明只需证明因此，只需证明 用分析法论证“若A则B”这个命题的格式是：
欲证命题B为真，
只需证命题B1为真，
只需证命题B2为真，
……
只需证命题Bn为真，
只需证命题A为真，
令已知命题A为真，
故命题B为真。例2. 求证：.所以为了证明只需证明展开得 证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困
难。例如，在例9中我们很难想到从”21<25“入手。
在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用
分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证
明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。 分析法的思路是“执果索因”，未知 已知
即从求证的不等式出发，不断地充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式为止。例3.证明：当周长相等时，圆的面积比正方形的
面积大。正方形的面积为所以本题只需证明为了证明上式成立，只需证明 这就证明了，如果周长相等，那么
圆的面积比正方形的面积大。证明：∵ a＞b ＞0练习1.求证：证明：不等式显然成立原不等式即证若ac+bd≤0,
练习2 ：已知C＞1，求证：证明：∵C＞1 ∴C+1＞0 C-1＞0即证-1＜0 而此式显然成立练习3(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：≥例3：若a、b、c是不全相等得正数求证：lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc 要证 lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc 只需证 lg ＞lgabc只需证 ＞abc∵a、b、c是正数∵a、b、c不全相等∴ lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc 证明:常用已证过的不等式：1° a2 ?0（a?R）
2° ?a? ?0（a?R）
3° 及其变形 4° （a>0，b > 0）及其变形课件9张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！珠海市实验中学数学组6.3不等式的证明（1）6.3 不等式的证明（1） ___比较法
根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数 与 的大小？a?b>0?a>b，a?b<0?a作差—变形—判断符号—下结论。
作商—变形—与1比较大小---下结论。
要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。6.3 不等式的证明（1)--比较法例1.求证： 证：∵ ≥1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是
多少。至于怎样变形，要灵活处理。2.本题的变形方法——配方法证明： 即： 1.本题变形的方法—通分法证明：∴ 又∵即：本题变形的方法— 因式分解法例4例5.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半
时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以
速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙
两人谁先到达指定地点。
解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完
这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有其中S，m，n都是正数，且m≠n,于是t1-t2<0从而可知甲比乙首先到达指定地点。即小结：作差比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号—下结论。
要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。课件13张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！澄海中学数学组 6.3不等式的证明（2）常用已证过的不等式：1. a2 ?0（a?R）;
2. ?a? ?0（a?R）;
3. 及其变形 ; 4. （a>0，b > 0）及其变形复习：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号---下结论.
要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。6.3 不等式的证明（2)—综合法 有时我们也可以利用已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法.由例1可得一个重要的不等式：由因导果证明：∵=1当且仅当x=y时等号成立.3 . 已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求证：即综合法是：由因导果 作业：P26 1,2补充作业课件12张PPT。不等式的基本性质 (第二课时)【知识回顾】2、比较两个实数大小的主要方法:(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论；(2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下
结论． 大多用于比较幂指式的大小．探究！ 类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？不等式的基本性质单向性双向性问题 上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？注意1、注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”;
2、要会用自然语言描述上述基本性质；
3、上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基础。例2、已知a>b>0,C 自己“制造”性质来进行．例3:在三角形ABC中,求A-B的取值范围.例4、已知，求下列式子的取值范围。（1）1-x
（2）x(1-x)解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运算。本题常见的错误是将取值范围扩大。 变式:设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的
取值范围.【解题回顾】本题采用了赋值法，使问题得以简化、明
朗．赋值法是解选择题、开放题等常用的方
法．它将复杂的问题简单化，是我们常用的
数学方法．例5、已知
A、A C、Da+2 > a+1----------------(1)
a+3>3a-------------------(2)
3x+1<2x+6--------------(3)
x同向不等式：
在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右边（不等号的方向相同）.
异向不等式：
在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个的左边小于右边（不等号的方向相反）.
同解不等式
形式不同但解相同的不等式。
其它重要概念
绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式2. 基本理论 1.实数在数轴上的性质:
研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
0Ｘ用数学式子表示为: 设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B,那么,当点A在点B的左边时,ab. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数
比较大小提供了“标杆”。思考？ 从上述事实出发，你认为可以用什么方法
比较两个实数的大小？例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2
= (2x4 - 2x3 )- (x2 -1)
= 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1)
= (x－1) [2x3 - (x +1) ]
= (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)]
= (x -1)2 (2x2 + 2x + 1)
= (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]
技能：
分组组合；添项、拆项；配方法。= (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]
x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0
若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2
若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2
综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2
若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2
求差比较大小
分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。练习比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤
是：作差——变形——判断符号．常见的变形
手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果
是常数、若干个因式的积或完全平方式等. 例2、比较
练习题1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小
3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法. 【典型例题】例3、比较以下两个实数的大小：作商比较法：
作商——变形——与1比较大小．
大多用于比较幂指式的大小．练习
2、选择题：
已知 ，在以下4个不等式中正确的是：
（1） （2）
（3） （4）
小结主要内容
基本理论:
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
a - b < 0 <=> a < b
基本理论四大应用之一：比较实数的大小.
一般步骤：
作差－变形－判断符号—下结论。
变形是关键：
1°变形常用方法:配方法，因式分解法。
2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平方和；几个因式的积。
1．比较 的大小．2．如果 ,比较 的大小．作业一、课本 P10 2二、补充课件18张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！2019年3月11日星期一3.三个正数的算术--几何平均数1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件： 复习：注意：1．这个定理适用的范围： 2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数。 注意:利用算术平均数和集合平均
数定理时一定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.有一个条件达不
到就不能取得最值.思考 基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？等号当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时成立．定理3语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。推论:关于“平均数”的概念： 叫做这n个正数的算术平均数。叫做这n个正数的几何平均数。语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．推广例２:解:构造三个数相 加等于定值.练习:解:构造三个数相 加等于定值.例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四
个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使
其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最
大容积是多少？解:设剪去的小正方形的边长为则其容积为 :练习:解:(错解:原因是取不到等号)正解:课堂小结课堂小结课件32张PPT。２．基本不等式 重要不等式定理１：如果 ，那么
（当且仅当 时取“=”号）．我们可以用比较法证明．探究你能从几何的角度解释定理１吗？
几何解释１－课本第五页．动画几何解释２aa几何解释３ 如果 是正数，那么 基本不等式定理２（均值定理）概念如果ａ、ｂ都是正数，我们就称 为ａ、ｂ
的算术平均数， 称为ａ、ｂ的几何平均数。均值定理可以描述为：
两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数.均值定理的几何意义DBCEoA
当且仅当 中的“ = ”号成立． 时这句话的含义是: 和
成立的条件相同吗？
如： 成立，而 不成立。 典例探讨例1 求证：例2 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。∴ ∴注意：
1、最值的含义（“≥”取最小
值，“≤”取最大值）
2、用极值定理求最值的三个必要条
件：一“正”、二“定”、三“相等”练习21.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小 值
是 _______,此时x=___,y= _____4.证明（1）证：∵ ∴ 于是 （2）解：∵ 于是 从而 ？≤解:解：∵ ∴ 当且仅当 有最小值1例3.若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 有最小值，最小值为几？已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大值．例4 注意:利用算术平均数和集合平均
数定理时一定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.有一个条件达不
到就不能取得最值.求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.例5.， 解： 当且仅当 即 时 证明：注意:本题条件a,b,c为实数同学们再见！作业 课本作业；P1０ ５、６
课件34张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 不等式复习习题课习题课不等式定理及其重要变形：一、知识扫描:（定理）重要不等式（推论）基本不等式（又叫均值不等式）代数意义： 如果把 看做是两正数a、b
的等差中项, 看做是两正数a、b 的
等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两
个正数的等差中项不小于它们的等比中项.几何意义： 均值不等式的几何解释是:
半径不小于半弦. 结构特点： 均值不等式的左式为和结构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系, 运用该不等式可作和与积之间的不等变换.ab二、公式的拓展当且仅当a=b时“=”成立（1）三、公式的应用（一）—证明不等式（以下各式中的字母都表示正数）证明：注意:本题条件a,b,c为实数△法解不等式求证:a?+ac+c?+3b(a+b+c) ≥0
证明:
原式=a?+(c+3b)a+(c?+3b?+3bc) ≥0
设f(a)= a?+(c+3b)a+(c?+3b?+3bc)
∵ △ = (c+3b)?-4(c?+3b?+3bc)
=-3(c+b)?
∴ f(a) ≥0 (当且仅当-b=c=a取等号)四、公式的应用（二）—求函数的最值一正二定三相等和定积最大
积定和最小创造条件注意取等号的条件利用二次函数求某一区间的最值分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、挖掘隐含条件精题解析配凑成和成定值精题解析：即 的最小值为过程中两次运用了
均值不等式中取“=”
号过渡，而这两次取
“=”号的条件是不同的，
故结果错。错因：解：正解：当且仅当即:时取“=”号即此时“1”代换法特别警示：
用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的
条件，特别地，如果多次运用均值不等式求
最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”
成立的诸条件是否相容。阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。（5）错题辨析正解：当且仅当即:时取“=”号即此时“1”的代换五：公式应用（三）—解决实际问题例3. 如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
问 题 与 思 考4。某种商品准备两次提价, 有三种方案:
第一次提价 m％, 第二次提价 n％ ;
第一次提价 n％, 第二次提价 m％ ;
两次均提价 ％.
试问哪种方案提价后的价格高? 设原价为M元, 令a = m％, b = n％, 则
按三种方案提价后的价格分别为:A. (1+a)·(1+b)·M =(1+a+b+ab)·MC. (1+ )2 ·M =[1+a+b+ ]·M只需比较 ab 与 的大小.易知B. (1+b)·(1+a)·M =(1+a+b+ab)·M5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其
容积为 ,深为3m，如果池底每平方
米的造价为150元，池壁每平方米的造价为
120元，问怎样设计水池才能使造价最低，
最低造价是多少元？
问 题 与 思 考实际问题抽象概括引入变量数学模型数学模型的解实际问题的解还原
说明2、解应用题思路反思研究1、设 且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。 六：课堂检测：（看谁最快）2、设 则 的最大值为_____。３、设 满足 ，且 则
的最大值是（ ）A、40 B、10 C、4 D、2Ｄ七：学习小结 （１）各项或各因式为正
（２）和或积为定值
（３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，
以满足上述前提，即“一正二定三相等”２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转
化为“和式”的放缩功能；
创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常
用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；１、应用均值不等式须注意以下三点：3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到
等号的前提条件。探
索
讨
论乘积倒数其他平方设你能给出几个含有
字母a和b的不等式再见谢谢指导再见课件23张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！2019年3月11日星期一绝对值三角不等式（一）绝对值的定义： 对任意实数a，
复习问题 （二）绝对值的几何意义：
? ?
? ?
实数a的绝对值 |a|，表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离（图1）。? ? 如：|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B到坐标原点的距离。
|a|OAx? ? 由绝对值的几何意义可知，A、B之间的点与坐标原点的距离小于3，可表示为：
? ?
即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3 同理，与原点距离大于3的点对应的实数可表示为：
如图 设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何意义是什么？x探究 用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出来，你能发现它们之间有何关系？ 定理1 如果a,b是实数，则
|a+b| ≤|a| +|b| ，
当且仅当ab≥0时，等号成立。绝对值三角不等式 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量
，能得出什么结论？你能解释其几何意义吗？探究？(1) 当 不共线时有(2) 当 共线且同向时有绝对值三角不等式如何证明定理1?探究 你能根据定理1的研究思路,探究一下|a| ， |b| ，|a+b|, |a-b|之间的其它关系吗?|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|结论:注意：1? 左边可以“加强”同样成立，即 2? 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边推论1： 推论2： 证明：在定理中以 即： 定理探索当 时，显然成立，当 时，要证只要证 ，即证而 显然成立． 从而证得 . 定理探索还有别的证法吗？ 由 与 ，得 .定理探索可以 表示为 即例题证明：例题例3 求证 . 证明：在 时，显然成立.当 时，左边 练习①②由①，②，③得，③课堂练习：作业P20:
1,2,3,4,定理2 如果a,b,c是实数,那么
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立你能给出定理2的几何解释吗?如何证明定理2?推论:课件17张PPT。绝对值三角不等式绝对值的几何意义|a|=几何意义:表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.|a-b|=几何意义：表示数轴上实数a,b对应的点A，B之间的距离，即线段AB的长度类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？从“运算”的角度考察绝对值不等式。如：对于实数a,b，可以考察|a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 等之间的关系。用恰当的方法在数轴上把|a|, |b|, |a+b|表示出来，同学们观察能发现它们之间有什么关系？ab>0ab<0(1)当ab>0时,a+ba+ba>0,b>0a<0,b<0由图可得: |a+b|=|a|+|b|(2)当ab<0时a+ba+ba>0,b<0a<0,b>0|a+b|<|a|+|b||a+b|<|a|+|b|(3)如果ab=0,则a=0或b=0易得: |a+b|=|a|+|b|综上所述,可得:建立模型定理1: 如果a,b是实数,则|a+b|?|a|+|b|当且仅当ab?0时,等号成立.如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 ,能得出什么结果?定理1的几何意义在不等式|a+b|?|a|+|b|中,当向量 不共线时,则由向量加法的三角形法则,用向量 分别替换实数a,b,向量 构成三角形,故可得向量形式的不等式:|a+b|<|a|+|b|故该定理的几何意义为:三角形的两边之和大于第三边.绝对值三角不等式证明绝对值三角不等式: |a+b|?|a|+|b|证明:当ab?0时,ab=|ab||a+b|证明当ab<0时, ab=-|ab||a+b|故 |a+b|?|a|+|b|当且仅当ab?0时,等号成立.应用与拓展同学们能再探究一下|a|-|b|与|a+b|, |a|+|b|与 |a-b|, |a|-|b|与|a-b|等之间的关系?如: 如果a,b是实数,则|a|-|b|?|a-b|?|a|+|b|再如: 如果a,b,c是实数,则|a-c|?|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)?0时,等号成立.建立模型定理2: 如果a,b,c是实数,则|a-c|?|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)?0时,等号成立.分析:由于a-c, a-b与b-c都是实数,且a-c=(a-b)+(b-c)证明:根据定理1,有:|a-c|=|(a-b)+(b-c)|?|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)?0时,等号成立.则可使用定理1的结论进行证明.定理2的几何意义在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,(1)当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|(2)当点B在点A,C之外时,|a-c|<|a-b|+|b-c|典例分析例:已知?>0 |x-a|20S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x|?|(x-10)+(20-x)|=10当且仅当(x-10)(20-x)?0时取等号.又解不等式: (x-10)(20-x)?0 得: 10?x?20故当10?x?20时, 函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.课件16张PPT。 [系列4 ]
绝对值三角不等式
制作： 金 莹
2006、3、15 创设情境在数轴上，你能指出实数a的绝对值 的几何意义吗？0axA它表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离那么， 的几何意义呢？abxBA数轴上A,B两点之间的距离O-bB探 究设a, b为实数， 你能比较 之间的大小关
系吗？当ab>0时，当ab<0时，当ab=0时，你能将上述情况综合起来吗？定理1如果a,b是实数，则
当且仅当 时，等号成立。如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 ，
能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？迁移类比当向量 不共线时，Oxy当向量 共线时，同向：反向：向量形式的不等式当且仅当 时，等号成立。由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等
式为绝对值三角不等式。与 同向知识推广 如果将定理1中的实数a , b改为复数 ，
不等式仍成立吗？练 习1、如果a, b, c是实数，证明当且仅当________________时，等号成立。2、如果a, b是实数，你能比较 的
大小吗？并说明理由。当且仅当__________________ 时，等号成立。定理1的完善如果a, b是实数，则当且仅当 时，左边等号成立；当且仅当_________时，右边等号成立。小 结请 你 诊 断学完定理1后，小明和小红分别提出了新见解。
小明认为，如果a, b, c是实数，则小红认为，如果a, b是实数，则如果你是老师，你能帮他们评判一下吗？小 结1、 的几何意义；2、定理1： 如果a, b是实数，则
当且仅当 时，等号成立。（向量形式、复数形式）3、定理1的完善：4、推论：（定理1的变形）（定理1的推广）作业：1、求证：（1）
（2）2、求证：（1）
（2）知识应用：例1 已知求证练习： 设求证：例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，
这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km
处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，
每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。
要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应
该建于何处？分析：如果生活区建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程
之和为S(x)km,那么 于是，上面的问题就化
归为数学问题：当x取何值时，函数 取得最小
值。这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解。解：设生活区应该建于公路路牌的第xkm处，两个施工队
每天往返的路程之和为S(x)km,则因为当且仅当 时取等号。解得所以，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，
都能使两个施工队每天往返的路程之和最小。课件23张PPT。绝对值不等式的解法复习：1.绝对值的定义:2.几何意义: 一个数的绝对值表示这个数对应的点到
原点的距离.类比：|x|<3的解|x|>3 的解观察、思考：
不等式│x│<2的解集?方程│x│＝2的解集？为{x│x=2或x=-2}为{x│-2 < x < 2 }不等式│x│> 2解集?为{x│x > 2或x<-2 }|x|<-2的解|x|>-2的解归纳：|x|0)
|x|>a (a>0) -aa 或 x<-a-aa-aa如果 a ＞0，则 如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是
| x-1 | <2如何解？引伸： 解题反思：如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就是
| 3x-1 | >2如何解？整体换元。归纳：型如| f(x)|a (a>0)
不等式的解法:例 1 解不等式 解：这个不等式等价于因此，不等式的解集是（–1，4）例 2 解不等式＞5解：这个不等式等价于或（1）（2）（1）的解集是（4，+∞），
（2）的解集是（－∞，－1），
∴ 原不等式的解集是
（4，+∞）∪ （－∞，－1）。
巩固练习：
求下列不等式的解集
|2x+1|<5
3|1-4x|>9
|4x|<-1
|x2-5x|>-6
3<| 2x+1 | <5（-3，2）（-∞，-1/2）∪（1，+ ∞）R（-3，-2）∪（1，2） 例:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x引伸：
型如 | f(x)|a的不等式中
“a”用代数式替换，如何解？解：对绝对值里面的代数式符号讨论：(Ⅰ) 或 (Ⅱ) 解(Ⅰ)得：6/5≤x<2解(Ⅱ) 得：00
所以00时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x)由绝对值的意义，原不等式转化为：6-x>0-(6-x)<5x-6<(6-x)综合得00时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x)由绝对值的意义，原不等式转化为：6-x>0-(6-x)<5x-6<(6-x)X<6-(6-x)<5x-65x-6<(6-x)0中6-x>0是否可以去掉类型1
练习：把下列绝对值不等式转化为同解的非绝对值不等式。3、| x-1 | > 2( x-3) 4、5、| 2x+1 |> | x+2 |1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|>4类型2例：方法1：几何意义方法2：去绝对值方法3：函数的观点解不等式
课堂小结：(1)数学知识:
常见的绝对值不等式的解法
(2)数学思想分类讨论的思想整体的思想转化的思想同学们再见！ 引例：某电机厂承担一项任务，为自来水厂加工一种圆形管道，管道直径设计为50毫米，由于实际加工过程中存在误差，规定成品管道实际直径与设计值相差不能超过1毫米，否则为次品，设成品管道的实际半径x毫米，那么x应该满足什么条件？解：由题意成品管道的直径为2x 毫米由绝对值的意义可知，结果也可表示为:| 2x-50 | ≦1050解不等式：|x-1| > |x-3|方法一方法二方法三反思评价我们的解题方法：解：因为 |x-1| > |x-3|
所以 两边平方可以等价转化为
（x-1)2>(x-3)2
化简整理：x>2平方法：注意两边都为非负数|a|>|b|依据：a2>b2解：如图，设“1”对A，“3”对应B，
“X”对应 M（不确定的），即为动点。
|x-1| > |3-x|由绝对值的几何意义可知 ：|x-1| =MA|x-3|=MB几何的意义 为MA>MB,分类讨论：分析：两个|x-1| 、|x-3|要讨论，按照绝对值里面的代数式符号进行讨论。可以借助数轴分类。解:使|x-1|=0,|x-3|=0，未知数x的值为1和31、当x≧3时，原不等式可以去绝对值符号化为：x-1>x-3 解集为R，与前提取交集，所以x≧3；2、当1≦x<3时,同样的方法可以解得22课件5张PPT。随堂练习二