2024-2025学年广东省中山一中高二（下）4月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省中山一中高二（下）4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.有四对双胞胎共人，从中随机选出人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在区间上存在唯一一个极大值点，则的最大值( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，含的项的系数是( )
A. B. C. D.
6.有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为( )
A. B. C. D.
7.今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期( )
A. 二 B. 三 C. 四 D. 五
8.已知，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上单调递减
B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值
D. 函数在处取得极大值
10.若，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 当时，除以的余数是
D. 展开式中二项式系数最大项为第项
11.已知函数，其中对于不相等的实数，，设，则( )
A. 对于任意不相等的实数，，都有
B. 对于任意的及任意不相等的实数，，都有
C. 对于任意的，一定存在不相等的实数，，使得
D. 若存在不相等的实数，，使得，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色如：与为相邻区域，与为不相邻区域，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是______．
13.某测试由道四选一的单选题组成学生小胡有把握答对其中道题，且在剩下的道题中，他对道有思路，其余道则完全不会若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这道题中任抽题作答时，能答对的概率为______．
14.设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算： ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
位同学报名参加年杭州亚运会个不同的项目记为，，，的志愿者活动，每位同学恰报个项目．
位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
16.本小题分
甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出对双打两对男双、两对女双、一对混双进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场没有平局的学校获胜并结束比赛已知甲学校混双获胜的概率是，其余对双打获胜的概率均是．
Ⅰ若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前场比赛结束就获胜的概率；
Ⅱ求混双比赛在前场进行的前提下，甲学校前场比赛结束就获胜的概率．
17.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与直线垂直，求的方程；
证明：无极值点．
18.本小题分
某校甲、乙两班参加学校举办的三青杯篮球比赛比赛双方均为三名运动员，已知甲班三名运动员，，一次罚球命中的概率分别是，，，乙班三名运动员，，一次罚球命中的概率分别是，，，且每位动动员罚球是否命中相互独立．
求甲班三名运动员，，每人罚球一次，至少有一人命中的概率；
为了评估甲乙班两支球队哪个更优秀，现名运动员各罚球一次，命中得分，不命中得分，设甲班得分，乙班得分，求，，判断哪班球队更优秀．
19.本小题分
若函数的图象上存在三点，，，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”．
Ⅰ若函数在区间上的中值点为，证明：，，成等差数列．
Ⅱ已知函数，存在，使得．
求实数的取值范围；
当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：
参考答案
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15.解：根据题意，第一步：把甲乙看成整体和除丙丁外的两位同学排列有种排法，
第二步：再把丙丁插空排列有种排法，
所以共有种排法；
先将为同学分成组，按人数分有，，，和，，，种分法：
第一类：按，，，分法有种分法；
第二类：按，，，分法有种分法；
所以共有：种分法．
所以一共有种不同报名方式．
16.解：Ⅰ已知甲学校混双获胜的概率是，其余对双打获胜的概率均是，
若混双比赛抽签排到最后，则前三局甲连胜，
所以所求概率为；
Ⅱ设事件“混双比赛在第场进行”，
“混双比赛在前场进行的前提下，甲学校前场比赛结束就获胜”，
则，，
．
17.解：函数，，
则，由直线的斜率为，
根据垂直直线的斜率之积为，，解得或．
当时，，此时的方程为，即；
当时，，此时的方程为，即．
证明：，令，则，
，，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
即的最小值为，
设，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
即的最小值为，
，即恒成立，
在上单调递增，故无极值点．
18.解：由题意甲班名运动员，，一次罚球命中的概率分别是，，，且每位动动员罚球是否命中相互独立．
知甲班三名运动员，，每人罚球一次都不命中的概率为，
甲班三名运动员，，每人罚球一次至少人命中的概率为；
根据题目所给命中得分，不命中得分，
所有取值可能为，，，，所有取值可能为，，，，
则，
，
，
；
，
，
，
，
列出的分布列为：
的分布列为：
，
，
由于，故甲班球队更优秀．
19.解：证明：由题意知．
因为，
又，
所以，即，
所以，，成等差数列．
，
设，则，
令，解得，则在上单调递增，
令，解得，则在上单调递减．
故，
且当时，，当时，．
若，则在和上分别存在一个零点，记为，，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减，
故存在，满足；
若，则恒有，所以在上单调递减，不符合题意；
综上，的取值范围是．
证明：因为，所以中值点满足，
由知当时，即有两个零点，，
所以在区间上所有可能的中值点即，．
先证明：
由，得．
要证，即证．
设，
则．
设，当时，，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递减．
所以当时，，即．
因为，所以，即，
又，，再结合在上单调递减，
可得，从而．
令，得，
所以．
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