2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（五）
一、单选题
1．（黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出的图象如图：
若存在实数，且，使得
因为的图象关于直线对称，
所以,
所以，
由图可知，,
所以
设，，
所以，
易知在上单调递增，
又，
所以当时，，
所 以 在 上 单 调 递 增，
所以.
故选：A
2．（黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（ ）．
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，令，则，，
所以，，，
令，所以，
令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，
即的最小值为.
故选：D．
3．（黑龙江省齐齐哈尔市多校2024-2025学年高三第一次联考（月考）数学试题）已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，且
因此，
令，则；
又；
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为.
故选：C
4．（东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试卷）已知函数，对任意的都有，且，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．是奇函数
C．是上的增函数 D．
【答案】C
【解析】对于A，在中，
令，得到，因此，所以选项A正确；
对于B，令，得到，即，所以选项B正确；
对于C，由可化为，，
记，则，不妨取函数，显然符合条件，
则，因，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D，令，，得，即，
又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，，故D正确.
故选：C.
5．（东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试卷）已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为.
圆心到直线l距离为，
因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是.
故选：D
6．（黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试数学试题）已知函数满足：对任意实数x，y，都有成立，且．给出下列四个结论：①；②的图象关于点对称；③若，则；④，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
【答案】C
【解析】对于①，令，则，所以，故错误；
对于②，令，则，
所以的图象关于对称，所以的图象关于点对称，故正确；
对于③，因为，若，则，故正确；
对于④，令，则，可得，
令，则，故错误.
故选：C.
7．（广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试题）设函数，，当时，曲线与曲线的图象依次交于A，B，C不同的三点，且，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】因为A，B，C在直线上，且，
所以为的中点，又因为，
所以，设，，
又因为B，C均在上，即，
所以，化简可得：，
因为，所以，
所以.
故选：C.
8．（广西桂平市部分示范性高中2025届高三开学摸底考试数学试卷）在中，，且边上的高为，则（ ）
A．的面积有最大值，且最大值为
B．的面积有最大值，且最大值为
C．的面积有最小值，且最小值为
D．的面积有最小值，且最小值为
【答案】D
【解析】因为
所以
所以，又为三角形内角，
所以，所以
设角的对边分别为，边的高为，
由三角形面积公式可得：，又，
所以，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以
所以
故选:D
9．（广西名校2024-2025学年高三上学期9月联合调研测试数学科试卷）根据公式，的值所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
设，则，
所以，
所以当时，，
所以在上单调递减且，
因为，，结合各选项，
由零点存在性定理可知.
故选：.
10．（重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题）已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为奇函数，则，
即，两边求导得，
则，可知关于直线对称，
又因为为奇函数，则，
即，可知关于点对称，
令，可得，即，
由可得，
由，可得，即，
可得，即，
令，可得；
令，可得；
且，可知8为的周期，
可知，
所以.
故选：D.
11．（重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，，，
，，
则，
令，，当时，，所以在时单调递增，
所以当时，，
所以在时单调递减，所以，所以；
当时，，令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，
所以，所以，
综上，.
故选：D.
12．（重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题）在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【解析】如图所示，
因为，所以，
在Rt△ABD中，，即，
因为，
由正弦定理可得：，即，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C
13．（重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题）若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】令，则或，
由，
当时，在上没有零点，
则在上应有3个零点，
因为，所以，即，
与联立得，因为，所以m的值依次为9，10；
当时，在上有1个零点，
在上有3个零点，不满足题意；
当时，在上有2个零点，
故在上应有1个零点，
因为，所以该零点与的零点不相同，
所以，即，与联立得，
因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5．
故选：B．
14．（重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题）定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由可知函数的图象关于直线对称，
且，因是偶函数，则，故有，
即函数的周期为2.又当时，，故可作出函数的图象如图.
由关于x的方程恰有5个实数解，可理解为与恰有5个交点.
而这些直线恒过定点,考虑直线与相交的两个临界位置,
由图知，需使，即.
故选：D.
15．（重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题）已知定义在上的函数，设的极大值和极小值分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
令，显然函数的图象开口向下，且，
则函数有两个异号零点，
不妨设，有，
而恒成立，则当或时，，
当时，，
因此函数在，上单调递减，在上单调递增，
又当时，恒成立，
当时，恒成立，且，
于是的最大值，
最小值，
于是，
由，得
，，则，
所以的取值范围是.
故选：B.
16．（重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题）已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】观察各选项可得，
作出的图象，如图所示：
，
令，先解，知其有两根和，
则方程提供个根，故方程提供个不等实根，
故，即，解得.
故选：D.
17．（重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题）已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，问题等价于在区间上有解，
即有解，而，
由二次函数的性质知，即.
故选：C.
18．（重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题）已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，
则.
若，则在上恒成立，则在上单调递减，
则，不符合题意.
若，则当时，，单调递减，
则，不符合题意.
若，则在上恒成立，则在上单调递增，
即，符合题意.
故的取值范围为.
故选：D
19．（重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为R，且，
故为偶函数，
且当时，恒成立，
故在上单调递增，
由对称性可知在上单调递减，，
令，若仅有一个实数根，则，，
此时，解得或，仅有2个实数根，不合要求，舍去；
若有两个实数根，由对称性可知，
需要满足和均有两个解，
即和均有两个解，
由，解得，
又，故且，
即.
故选：A
20．（重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题）已知定义在上的奇函数的导函数为，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】时，即，
在上单增，
又为奇函数，
为偶函数，
在上单减，
，故，
所以或时，当或时，
当时，，；
当时，，若则，，
若则，，
若则，，不符合题意；
综上，，
故选：A.
21．（重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题）已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】当时，不等式显然成立，
当时，不等式恒成立，
设，，则，
令得；令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，时，时，
故在上有两个零点，记为，
显然或时，时，
要使恒成立，则，也是的两个零点，
故，，又，所以，所以，所以，
令，则，令得,令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
故选：B.
二、多选题
22．（黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则（ ）
A．
B．平面截正方体所得的截面为等腰梯形
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．
【答案】ABD
【解析】
对于A，在正方体中，因为分别为中点，所以，在正方体中，，所以，因此A正确；
对于B，因为，，，所以四边形为等腰梯形，即平面截正方体所得截面为等腰梯形，因此B正确；
对于C，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，
设所成角为，则，因此C不正确；
对于D，由，，，平面，因此平面，
又平面，所以，因此D正确.
故选：ABD.
23．（黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知，，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有两个不等的实数根，则
B．
C．若仅有一个极值点，则实数
D．当时，恒成立
【答案】BD
【解析】对于A，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
当时，；当时，，
则图象如下图所示：
若方程有两个不等的实数根，则与有两个交点，
由图象可知：，A错误；
对于B，由知：，，，
则，故；，故；
，正确；
对于C．，
若仅有一个极值点，则仅有一个变号零点，
；
当没有变号根时，则与至多一个交点，
，在上单调递减，在上单调递增，
，，
当是方程的一根时，则不是的极值点，且，
取，则在单调递增，
又，，
故，使，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，又，
在上有一变号零点，即仅有一个极值点，符合题意；
，C错误；
对于D，要证，只需证，即证，
取，则．
在上单调递减，在上单调递增，，
即，D正确．
故选：BD.
24．（黑龙江省齐齐哈尔市多校2024-2025学年高三第一次联考（月考）数学试题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若在上单调递增，则的取值范围是
B．点为曲线的对称中心
C．若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
D．若存在极值点，且，其中，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由，可得，
若在上单调递增，则对恒成立，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
所以，所以的取值范围是，故A错误；
对于B，由，可得，
又，
所以，令，
又，所以关于原点对称，
所以点为曲线的对称中心，故B正确；
对于C ，因为，，
所以，
所以，
设切点为，则切线的斜率，
化简得，
由条件可知该方程有三个实根，所以有三个实根，
记，所以，
令，解得或，
当，，所以在上单调递增，
当，，所以在上单调递减，
当，，所以在上单调递增，
当时取得极大值，当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，因为
，
所以，
当，在上单调递增；
当，由，解得或，
由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
因为存在极值点，所以，得，
令，所以，因为，于是，
又
，
所以
化简得：，
因为，所以，于是，.所以，故选项D正确.
故选：BCD.
25．（东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试卷）如图，直四棱柱中，底面是菱形，其所在平面为，且，.O是，的交点，P是平面内的动点（图中未画出）.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则动点P的轨迹长度为
B．若，则动点P的轨迹是一条直线
C．若，则动点P的轨迹是一条直线
D．若动点到直线的距离为1，则为定值
【答案】BCD
【解析】对于选项A，因为，，故，
故点的轨迹是以C为圆心，半径为的圆，
其轨迹长度是，所以选项A错误；
对于选项B，因为，故总成立，
故点的轨迹是过点且垂直的平面与的交线，所以选项B正确；
对于选项C，因为，
故点的轨迹是过的中点且垂直的平面与的交线，所以选项C正确；
对于选项D，因为
空间中到直线的距离为1的点的轨迹是一个以为轴的圆柱面，
因此点P的轨迹是一个以O为中心的椭圆，短半轴长为1，
长半轴长a满足，从而半焦距，
而底面为菱形，且，故，
因此点A，C为该椭圆的焦点，，所以选项D正确.
故选：BCD.
26．（黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试数学试题）已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由题意可得方程有4个不同的根.
方程的2个根为，
所以方程有2个不同的根，且，
即函数与函数的图象有两个交点.
当直线与函数的图象相切时，设切点为，
因为，所以解得.
要使函数与函数的图象有两个交点，只需直线的斜率大于，
即.
设（），则，
由，所以在上单调递增，在单调递减，
所以的最大值为.
所以.
故的取值范围为
故选：AD
27．（黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试数学试题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为，所以，
所以，A，B均正确.
，
因为，所以，C正确，D错误.
故选：ABC
28．（广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试题）设函数，则（ ）
A．当时，是的极小值点
B．恒有两个单调性相同的区间
C．当有三个零点时，可取得的整数有2个
D．点为曲线的对称中心
【答案】BCD
【解析】由可得其定义域为，且，
对于A，当时，，
令，解得或；
当时，，此时在上单调递增，
当或时，，此时在和上单调递减，
因此可得是的极大值点，即A错误；
对于B，由且可得，在和上单调性始终相同，即B正确；
对于C，由选项B可知，分别在和处取得极值，
由三次函数性质可得当有三个零点时，需满足，
又，即可得，
解得，所以可取得的整数有和0，共2个，即C正确；
对于D，假设点为曲线的对称中心，则应满足；
易知
，
而，
所以，因此点为曲线的对称中心，即D正确.
故选：BCD
29．（广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试题）已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ）
A．
B．
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．l上存在点E，使得为等边三角形
【答案】BC
【解析】易知，准线的方程为，则直线经过焦点.
设，
由整理得，则，
根据抛物线的定义可知，，故A错误；
如图，过作，垂足为，
则，又，
所以，所以，故B正确；
以为直径的圆的半径为，
易知四边形为直角梯形，其中位线长为，
所以为直径的圆与相切，故C正确；
当为等边三角形时，，
由抛物线的定义可知，所以，这与为等边三角形矛盾，
所以上不存在点，使得为等边三角形，故D错误.
故选：BC.
30．（广西桂平市部分示范性高中2025届高三开学摸底考试数学试卷）若函数，则（ ）
A．可能只有1个极值点
B．当有极值点时，
C．存在，使得点为曲线的对称中心
D．当不等式的解集为时，的极小值为
【答案】BCD
【解析】，
则，令，
.
A项，当时，，则在上单调递增，不存在极值点；
当时，方程有两个不等的实数根，设为，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
故在处取极大值，在处取极小值，即存在两个极值点；
综上所述，不可能只1个极值点，故A错误；
B项，当有极值点时,有解，则，
即.由A项知，当时，在上单调递增，不存在极值点；
故，故B正确；
C项，当时，，
，所以，
则曲线关于对称，
即存在，使得点为曲线的对称中心，故C正确；
D项，不等式的解集为，
由A项可知仅当时，满足题意.
则且，且在处取极大值.
即，则有，
故，
，
又，
解得，
故，
则，
当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
故在处有极大值，且极大值为；
在处有极小值，且极小值为；
故D正确.
故选：BCD.
31．（广西名校2024-2025学年高三上学期9月联合调研测试数学科试卷）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，是的一个周期
B．将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若是奇函数，则的最小值为2
C．若存在，使得，则的取值范围是
D．存在，使得在上单调递减
【答案】ABC
【解析】对于A:当时，，所以最小正周期为，所以是的一个周期，正确；
对于B：将将的图象向右平移个单位后得到
因为是奇函数，所以，解得,
当时，最小此时为2，正确；
对于C：因为，当时，，
当时，
又存在，使得，
所以当时，，解得：，正确；
对于D: 存在，若在上单调递减，
由复合函数的单调性可得：
因为，所以，故
可得：解得：，因为，，则必有，
所以同时满足的必然小于0，这与矛盾，错误.
故选:ABC
32．（广西名校2024-2025学年高三上学期9月联合调研测试数学科试卷）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的虚轴长为 B．
C．的周长的最小值为16 D．当时，的内切圆面积为
【答案】BCD
【解析】
对于A:因为，所以虚轴长为，A错误；
对于B:因为双曲线渐近线方程为，倾斜角为，
过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点,得出B正确；
对于C: 的周长为,
结合双曲线的定义，
设双曲线的右焦点为，，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，则
当直线斜率存在时，设直线的方程为
联立，消去，得，
又，故或,
而
，
所以当直线与x轴垂直时，的长最小，即最小值为，的周长最小值为，故C正确；
对于D: 当时, 设直线的方程为
联立，消去，得，
，当时,A点坐标 ，
，
的周长，
设的内切圆半径为r，则，解得，
因此的内切圆面积为，D正确.
故选：BCD.
33．（重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有且仅有两个零点
B．函数有且仅有三个零点
C．当时，不等式恒成立
D．在上的值域为
【答案】AC
【解析】令，则，故（为常数），
又，故可得，故，.
对A：令，即，解的或，
故有两个零点，A正确；
对B：，则，
令，可得，
故在和单调递增；
令，可得，故在单调递减；
又，，又，
故存在，使得；
又， 故存在，使得；
又当时，，故不存在，使得；
综上所述，有两个根，也即有个零点，故B错误；
对C：，即，，
当时，，上式等价于，
令，故可得，
故在上单调递增，，满足题意；
当时，，也满足；
综上所述，当时，恒成立，故C正确；
对D：由B可知，在单调递减，在单调递增，
且，，
故在上的值域为，D错误.
故选：AC.
34．（重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题）已知一组函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．恒成立
C．在上单调递增，在 上单调递减
D．在上单调递减，在 上单调递增
【答案】ABD
【解析】对于项，，故项正确；
对于项，因为，
故项正确；
对于项，
当，因此在上单调递减，
当，因此在上单调递增，
故错误；
对于项，
当，因此在上单调递减，
当，因此在上单调递增，
故正确．
故选：
35．（重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题）已知函数，则（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．
D．在区间上的极小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
所以的图象关于对称，所以A正确，
对于B，
，
当且仅当，即时取等号，所以B正确，
对于C，因为
，所以C错误，
对于D，由，得，
当时，，所以，
当时，，
令，则，
所以在上递减，
当时，，所以，
所以，所以，
当时，，所以，
所以，所以，
所以在上递减，在上递增，
所以在处取得极小值，
所以的极小值为，所以D正确.
故选：ABD
36．（重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题）已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，，，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．数列的前项之和为
【答案】ACD
【解析】因为，所以，
而，故，
故即，故，
故，故函数的周期为，故A正确；
又，而，而即，
故，若关于对称，则，矛盾，故B错误.
因为，故，
故即，故
故的图象关于直线对称，故C正确.
因为的周期为，故的周期也是4，
而，故，
故，
因为，故，故，
又，故，故，
故，
故数列的前项和为，故D正确；
故选：ACD.
37．（重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．方程有且只有一个实根
B．存在正整数，使得对任意的，都有成立
C．若对任意的，都有成立，则
D．若方程有两个不等实根，则
【答案】ACD
【解析】函数，求导得，
对于A，只有这一个变号零点，函数在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，当时，；当时，
，因此方程只有一个实根，A正确；
对于B，，整理得，
当时，，而在上不恒小于等于0，
因此不存在正整数满足题意，B错误；
对于C，，而，则必为极小值点，
由知，，解得，
当时，对于，当时，，则，
当时，，则，因此在取最小值0，C正确；
对于D，由C选项知，且是在点处的切线，
不妨设，，即有，则，D正确.
故选：ACD
38．（重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
【答案】ABD
【解析】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为,
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确；
对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，
由图象对称性，可得,故，即B正确；
对于C，
如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点,
由解得，由解得，,
即得,
则弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得，，（）
由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.
如图，
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为，
于是,由图知，半个花瓣的面积必大于，
故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故选：ABD.
39．（重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题）已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为1，2，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C，，则（ ）
A．面积的最小值为
B．点到直线的距离为定值
C．当时，的外接圆半径为
D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，过作的垂线，分别交于点，则，设，
则在中，，
因为，所以在中，，所以，
所以，
因为，所以当且仅当时，取到最大值，
所以面积的最小值为，所以A正确，
对于B，如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，所以，，
所以，
所以，
所以，
所以点到直线的距离为，是定值，所以B正确，
对于C，因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以，，
所以，
所以，，
因为，所以，
所以由正弦定理得，
所以，即的外接圆半径为，所以C错误，
对于D，因为，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，所以D正确，
故选：ABD
40．（重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】令，
令，
由题可知，，，
令，得，
显然，当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递増；
，得示意图
所以都符合题意，故A错误；
由示意图可知 ，
显然，
当且时，易知取两个互为倒数的数时，函数值相等，
因为，所以互为倒数，即，故B正确；
，
等且仅当时等号成立，
因为，所以，故C正确；
因为，要证，
即证，
因为，所以，
即证，
我们分别证明，，
证明：
因为，
所以，
证明：
要证，即证，
不妨设，得，
显然，当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递増；
故，故，即，
所以证得，即证得，
即得，故选项D正确.
故选：BCD
41．（重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题）若函数有三个零点，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，，成等差数列，则
D．若，，成等比数列，则
【答案】BC
【解析】A，由题意得，有三个零点，则至少有三个单调区间，
故有两个不等实根，，即，A错误；
B，又，则，
，同理，，，В正确；
C，
，，，
若，，成等差数列，则，，，即，C正确；
D，若，，成等比数列，则，
故，，，D错误.
故选：BC
42．（重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题）关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称 B．图象关于直线对称
C．最小正周期为 D．最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故В正确；
对于C，，故是的周期，
设正数为的周期，则恒成立，
，，，，
故为的最小正周期，故C正确；
对于D，根据BD选项可知的最大值即在上的最大值，
求，设，
则在上单减，在上单增，在上单减，，
，故的最大值为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
43．（黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为是奇函数，是偶函数，满足，
可得，
联立方程组，解得，
又因为对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
(i)若，则对称轴，解得；
(ii) 若，在单调递增，满足题意；
(iii) 若，则对称轴恒成立；
综上可得，，即实数的取值范围为.
故答案为：.
44．（黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为 .
【答案】
【解析】如图，作出函数的图象，
令，即，
由图可知，或，
则或，
当，函数无解；
当或，函数只有一个解；
当或，函数有两个解；
当，函数有三个解；
当恰有3个零点时，
或或
或或或
或或或或，
解得.
故答案为：.
45．（黑龙江省齐齐哈尔市多校2024-2025学年高三第一次联考（月考）数学试题）设函数，若，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】当时，，则，即，
当时，，则，即，
即有，即，
则，令，，
，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，即的最小值为.
故答案为：.
46．（东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试卷）已知且时，不等式恒成立，则正数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】将a视为主元，设，
则，
当且仅当时取等号，
故当时，恒成立.
设，
则，易知单调递增，且，
①若，即时，则，所以在单调递增，
故只需，即，解得；
②若，即时，
，
即时，恒成立.
综上，m的取值范围是.
故答案为：
47．（黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试数学试题）已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得.
由，得，
由，得.
因为，所以，
则解得，即的取值范围是
故答案为：.
48．（广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试题）在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色.
①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有 种不同涂法.
②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有 种不同涂法.
【答案】
【解析】①先涂，共有种，再涂鸦，共有种，
故共有种涂法.
②先涂，共有，
若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
同理所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法；
故共有涂法种，
故答案为：.
49．（广西桂平市部分示范性高中2025届高三开学摸底考试数学试卷）甲 乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为 .
【答案】/
【解析】将问题转化为：在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率.
甲从三个盒子中各取一球，共有种取法，三个都是编号较大小球只有一种取法，
所以，甲获得3分的概率为.
故答案为：
50．（广西名校2024-2025学年高三上学期9月联合调研测试数学科试卷）已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是 ．
【答案】
【解析】若两次取球后，盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜，
第一次取球甲乙都取到黑球，其概率为，
第一次取球后盒中有4个黑球和3个白球，盒中有2个黑球和2个白球，
第二次取到同色球的概率为，
此时盒中有8个球的概率为；
若第一次取球甲乙都取到白球，其概率为，
第一次取球后盒中有3个黑球和4个白球，盒中有3个黑球和1个白球，
第二次取到同色球的概率为，
此时盒中有8个球的概率为；
所以盒中有8个球的概率为.
故答案为：.
51．（重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题）已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，，所以，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
且，，，
当时，，当时，，
当时，与一次函数相比，函数增长速度更快，
从而，
当时，，所以，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
且，，
当时，，当时，，
当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快，
从而，
当，且时，，
根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：
函数的零点个数与方程的解的个数一致，
方程，可化为，
所以或，
由图象可得没有解，
所以方程的解的个数与方程解的个数相等，
而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，
由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.
故答案为：.
52．（重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题）表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是 ．
【答案】2
【解析】设，则，，，
因，则得．又因，所以，
当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2．
故答案为：2.
53．（重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可得，故，
即，
因为,所以，
因为，所以或，
即或，即或.
若，则，则无意义，故.
又，所以，即.
因为，所以,，，
所以，解得，故.
由正弦定理可得
，
令，则.
设，
由对勾函数的性质可得在上单调递增，
所以，即.
故答案为:.
54．（重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题）函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】因为，
所以，
令，则，可得为奇函数，
又因为，
，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
所以，可得在上为增函数，
因为，
所以在上恒成立，
当时，显然成立；
当，需满足，解得，
综上，，
故答案为：．
55．（重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题）若对恒成立，则实数a的取值范围为
【答案】
【解析】两边同乘以后移项，得，即.
令，则有，
由知，所以在上单调递增.
因为，所以，所以，
令，
显然当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，所以.
故答案为：.
56．（重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题）已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数，其中，
函数周期是，由①知，
又因为在区间是单调函数，
所以，
即，
所以或.
故答案为：
57．（重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）对于函数，，若对任意的，存在唯一的使得，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数，求导得，令，求导得，
函数在R上单调递增，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此函数在R上单调递增，当时，，
函数，求导得，当时，，
当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到；
在上单调递增，函数值从增大到，
由对任意的，存在唯一的使得，得，
即，解得，所以实数a的取值范围是.
故答案为：
58．（重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】当时，，无零点；
当时，在上单增，至多一个零点，不合题意；
设，，
当时，与的图象大致如图1所示，
时，，二者无交点，
当时，在单调递增，，
则在上单增，，故至多一个零点，不合题意；
当时，与的图象大致如图2所示，此时显然有两个交点，
故有两个零点；综上，，
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（五）
一、单选题
1．（黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（ ）．
A．1 B．
C． D．
3．（黑龙江省齐齐哈尔市多校2024-2025学年高三第一次联考（月考）数学试题）已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试卷）已知函数，对任意的都有，且，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．是奇函数
C．是上的增函数 D．
5．（东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试卷）已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试数学试题）已知函数满足：对任意实数x，y，都有成立，且．给出下列四个结论：①；②的图象关于点对称；③若，则；④，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
7．（广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试题）设函数，，当时，曲线与曲线的图象依次交于A，B，C不同的三点，且，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．（广西桂平市部分示范性高中2025届高三开学摸底考试数学试卷）在中，，且边上的高为，则（ ）
A．的面积有最大值，且最大值为
B．的面积有最大值，且最大值为
C．的面积有最小值，且最小值为
D．的面积有最小值，且最小值为
9．（广西名校2024-2025学年高三上学期9月联合调研测试数学科试卷）根据公式，的值所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
10．（重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题）已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．（重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题）在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
13．（重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题）若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
14．（重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题）定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
15．（重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题）已知定义在上的函数，设的极大值和极小值分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题）已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
17．（重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题）已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
18．（重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题）已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题）已知定义在上的奇函数的导函数为，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
21．（重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题）已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
22．（黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则（ ）
A．
B．平面截正方体所得的截面为等腰梯形
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．
23．（黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知，，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有两个不等的实数根，则
B．
C．若仅有一个极值点，则实数
D．当时，恒成立
24．（黑龙江省齐齐哈尔市多校2024-2025学年高三第一次联考（月考）数学试题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若在上单调递增，则的取值范围是
B．点为曲线的对称中心
C．若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
D．若存在极值点，且，其中，则
25．（东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试卷）如图，直四棱柱中，底面是菱形，其所在平面为，且，.O是，的交点，P是平面内的动点（图中未画出）.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则动点P的轨迹长度为
B．若，则动点P的轨迹是一条直线
C．若，则动点P的轨迹是一条直线
D．若动点到直线的距离为1，则为定值
26．（黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试数学试题）已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
27．（黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试数学试题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
28．（广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试题）设函数，则（ ）
A．当时，是的极小值点
B．恒有两个单调性相同的区间
C．当有三个零点时，可取得的整数有2个
D．点为曲线的对称中心
29．（广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试题）已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ）
A．
B．
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．l上存在点E，使得为等边三角形
30．（广西桂平市部分示范性高中2025届高三开学摸底考试数学试卷）若函数，则（ ）
A．可能只有1个极值点
B．当有极值点时，
C．存在，使得点为曲线的对称中心
D．当不等式的解集为时，的极小值为
31．（广西名校2024-2025学年高三上学期9月联合调研测试数学科试卷）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，是的一个周期
B．将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若是奇函数，则的最小值为2
C．若存在，使得，则的取值范围是
D．存在，使得在上单调递减
32．（广西名校2024-2025学年高三上学期9月联合调研测试数学科试卷）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的虚轴长为 B．
C．的周长的最小值为16 D．当时，的内切圆面积为
33．（重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有且仅有两个零点
B．函数有且仅有三个零点
C．当时，不等式恒成立
D．在上的值域为
34．（重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题）已知一组函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．恒成立
C．在上单调递增，在 上单调递减
D．在上单调递减，在 上单调递增
35．（重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题）已知函数，则（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．
D．在区间上的极小值为
36．（重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题）已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，，，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．数列的前项之和为
37．（重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．方程有且只有一个实根
B．存在正整数，使得对任意的，都有成立
C．若对任意的，都有成立，则
D．若方程有两个不等实根，则
38．（重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
39．（重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题）已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为1，2，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C，，则（ ）
A．面积的最小值为
B．点到直线的距离为定值
C．当时，的外接圆半径为
D．的最大值为
40．（重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．
C． D．
41．（重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题）若函数有三个零点，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，，成等差数列，则
D．若，，成等比数列，则
42．（重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题）关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称 B．图象关于直线对称
C．最小正周期为 D．最大值为
三、填空题
43．（黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 .
44．（黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为 .
45．（黑龙江省齐齐哈尔市多校2024-2025学年高三第一次联考（月考）数学试题）设函数，若，则的最小值为 .
46．（东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试卷）已知且时，不等式恒成立，则正数m的取值范围是 .
47．（黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试数学试题）已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为 .
48．（广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试题）在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色.
①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有 种不同涂法.
②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有 种不同涂法.
49．（广西桂平市部分示范性高中2025届高三开学摸底考试数学试卷）甲 乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为 .
50．（广西名校2024-2025学年高三上学期9月联合调研测试数学科试卷）已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是 ．
51．（重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题）已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 .
52．（重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题）表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是 ．
53．（重庆市南开中学2025届高三上学期9月数学测试题）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ．
54．（重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题）函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是
55．（重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题）若对恒成立，则实数a的取值范围为
56．（重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题）已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是 .
57．（重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）对于函数，，若对任意的，存在唯一的使得，则实数a的取值范围是 ．
58．（重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
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