2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（八）
一、单选题
1．（广东省茂名市区域2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，且直线垂直于轴，则（）
A．e B． C． D．e或3e
【答案】A
【解析】依题意可设，其中.
因为，
所以曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，
所以，即.
设函数，则，
所以为增函数，又，所以，
所以，，故.
故选：A
2．（广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷）函数在上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
令，得或，
又，所以有两个解，分别为和，
在上有两个解，
且在上单调递增，，，
所以在有一个解，
综上所述在上有个解，即在上有个零点，
故选：C.
3．（广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷）已知函数为，在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，函数在上单调递增，
则对恒成立，
即，，而函数在上单调递增，，则，
显然函数在上递增，
又函数在上递增，则，解得，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：D
4．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷）定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是奇函数，可得是偶函数，
又因为，所以，
令，可得，所以在上单调递增，
因为且是奇函数，
可得，则，
所以的周期为的周期函数，
因为，所以，
则不等式，即为，即，
又因为在上单调递增，所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：C．
5．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷）已知函数的图象关于直线轴对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】
，
因为的图象关于直线轴对称，
所以，
故，即，
当，，,
即当时，函数取得最小值，
当时，为轴右侧第条对称轴.
因为在上没有最小值，所以，即，
故由，解得，
故，得．
故选：C.
6．（河南省周口市、商丘市部分学校2024-2025学年高三上学期10月大联考数学试题）已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，而，则，，
由对任意，都有，
得函数在上单调递增，
当时，，
而余弦函数的递增区间为：，
则，
于是，解得，显然，
即，而，因此或，
所以的取值范围是或.
故选：C
7．（河南省周口市、商丘市部分学校2024-2025学年高三上学期10月大联考数学试题）已知函数满足，若函数在上的零点为，，…，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，
解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称，
则函数在上的图象关于原点对称，
故函数在上的零点也关于原点对称，和为0，
在上的零点和即为上的零点和，
令，得，
，，作出和在同一坐标系中的图象，
可知在内的零点有和两个，
故.
故选：B.
8．（山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题）设且，n为正整数，集合．有以下两个命题：①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则，那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题 D．①、②都是真命题
【答案】A
【解析】对于①命题，设，令函数，
因为，，
所以存在有，
当时，，
所以存在有，
对于，因为是偶函数，
所以和情况一样，故①是真命题；
对于②命题，通过①得出一下结论：越小，集合元素数量越少，同理得出如果集合只能有一个元素，只能是的区间存在一个零点，
因此先讨论的零点情况（如果只有一个零点，也只有一个零点），
其图象如下图：
即时，也满足
故②是假命题.
故选：A.
9．（山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题）设数列的前项和为，数学家墨卡托、牛顿、Gregory Saint-Vincen曾分别独立发现当足够大时，会趋向于一常数，先给出以下三个数学事实：①；②如果求数列前项和时存在给其中的某些项用括号括起后得到，，则；③.基于以上数学事实我们可以推出：将数列的项按某种规律重新排列（如：将第个偶数项排到第个奇数项后）后前项和在足够大时（ ）.
A．最终一定趋于 B．最终一定不趋于任何一个常数
C．最终一定趋于某一常数但不一定是 D．以上均不正确
【答案】D
【解析】 ①， ②，
由①+②得： ，
是将中第个偶数项排到原来第个奇数项后得到的一个重新排序，
但此时前项和趋向于，故A、B两项错误；
若将中第个偶数项排到原来第个奇数项并适当添加括号后得到：
，
因 ，故.
即，
故：，由事实②：去掉括号后仍有，此时前项和不趋向于某一常数，故C错误.
故选：D.
10．（江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，
令，得，
则，
则，
将以上各式相加得
，
所以.
故选：D.
11．（福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为且的垂直平分线经过点A，
所以为等腰三角形且，
在中，，
由，
得，解得，由正弦定理可知：
，即，
有，整理得，
即，解得.
故选：C.
12．（福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造函数
因为，即，所以函数在上单调递减.
可变形为，即，即.
故选：C
13．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．直线是曲线的一条对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．函数在上恰有2024个零点
【答案】C
【解析】对于A,因为与不恒相等，所以不是的周期，故A错误；
对于B,又与不恒相等，故B错误；
对于C,易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值.
①当时，，令，
则，易知在区间上的最大值为，最小值为，
②当时，,令，
则，知在区间上的最大值为，最小值为，
综上所述函数的最大值为，最小值为，故C正确；
对于D,先研究函数在上的零点个数，由C可知,当时，令得，
又因为，在只有唯一解，即此时函数只有唯一零点.
同理可得当时函数也只有唯一零点.所以函数在上恰有2025个零点.故D错误.
故选:C.
14．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，.
令，则，
令，则，
令，则，当时，，
∴在上是减函数，且，，
∴，使得，
∴当时，，当时，，
∴在上为增函数，在为减函数.
∵，，
∴当时，，
∴在上为增函数.
∵，
∴，
∴.
②令，
则，
∴在上为增函数.
∵,
∴，
∴.
故选：B.
15．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）设为锐角，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】解法一：由得，
所以．
因为均为锐角，所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值是．
解法二: 由得:
，
于是，
等号当时取得，
因此的最大值为．
16．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）若曲线关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】令，
由，得或，
故函数的定义域为，
由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，
则，此时必有，即，解得，
此时，
因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，
故.
故选：A．
17．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造，，
则对恒成立，则在单调递增，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
构造，，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
构造，，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
则，；
下面比较b和c的大小：
设，，，
设，，，
易知在上单调递增，则，
所以在上单调递减，，
即在上恒成立，则在上单调递减，
由，则，即，则，
综上所述，
故选：D.
18．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
则或，
又，，
当是函数的一个对称中心时，，
若，则，
所以，则，又，
所以当时；
若，则，
所以，则，又，
所以当时；
当不是函数的一个对称中心时，因为，
即，
所以，
所以，又，
所以当时，
综上所述：.
故选：C
19．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数有三个零点，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数有三个零点，
则有方程在上有三个不等的实数根，显然不符合要求，
令，问题等价于在上有三个不等的实数根，
函数，则的定义域为，有三个零点，
，
设，其中，
①当，即时，在上单调递增，有，所以，单调递增，不合题意；
②当，且，即时，，所以，单调递增，不合题意；
③当，且，即时，设的两根为，，
解得，，
，解得或，，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，
构造函数，则有，
当时，单调递增；当时，单调递减，
有，所以，即.
取，，
（其中，所以，即，
取，，
（其中，所以，即，
所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，
在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且，
所以时，有三个零点，此时，
即时，函数有三个零点.
故选：D.
二、多选题
20．（广东省茂名市区域2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小正周期为
C．曲线关于直线轴对称
D．当时，函数有个零点
【答案】BC
【解析】，
当时，取得最大值，且最大值为，A选项错误；
因为，的最小正周期均为，所以的最小正周期为，B选项正确；
因为，所以曲线关于直线轴对称，C选项正确；
令，得，则，
结合函数的图象，可知方程在上有个不同的实根，D选项错误；
故选：BC.
21．（广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷）已知函数的定义域为R，若，且，则（ ）
A． B．无最小值
C． D．的图象关于点中心对称
【答案】BCD
【解析】对于A，令，可得，可得，即A错误；
对于B，令，可得，可知函数无最小值，即B正确；
对于C，由可知，
所以，即C正确；
对于D，令，可得，
由及，可得，
因此，可得，
的图象关于点中心对称，即D正确；
故选：BCD
22．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．或
D．线段中点的横坐标为
【答案】ABD
【解析】抛物线的焦点在轴上，
过作直线，可知，则，得，A选项正确；
抛物线方程为，直线的方程代入抛物线方程，得.
设，，由韦达定理有，，
，得，解得或，
，则或，C选项错误；
则，线段中点的横坐标为，D选项正确；
，，B选项正确.
故选：ABD.
23．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷）已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．曲线的图象关于原点对称
B．对任意，直线与曲线有唯一交点
C．对任意，恒有
D．曲线在的部分与轴围成图形的面积小于
【答案】ACD
【解析】A．对于，将，替换为，，所得等式与原来等价，故A正确；
B．取，可以求得，，均可，故B错误；
C．由，，函数，故，
令，解得：，在，时，，函数单调递减，
在时，，函数单调递增，所以，
又因为是增函数，，所以有，故C正确；
D．当时，，又，
，所以．
曲线与轴围成半圆，又曲线的图象关于原点对称，
则曲线与轴围成图形的面积小于，故D正确．
故选：ACD．
24．（河南省周口市、商丘市部分学校2024-2025学年高三上学期10月大联考数学试题）已知函数对任意实数都有，且，，则（ ）
A． B．
C． D．对任意，都有
【答案】ABD
【解析】对任意实数都有，且，
对于A，令，得，则，A正确；
对于B，令，得，
因此，B正确；
对于C，由，得，即函数是周期为4的周期函数，
又，即，
因此，C错误；
对于D，由，得，
又是周期为4的周期函数，
因此对任意，都有，即，D正确.
故选：ABD
25．（山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题）已知，（参考数据），则下列说法正确的是（ ）
A．是周期为的周期函数
B．在上单调递增
C．在内共有4个极值点
D．设，则在上共有5个零点
【答案】BCD
【解析】对于选项A，因为，
所以，所以选项A错误；
对于选项B，因为
，
当时，，，，
所以当时，，当且仅当时，取等号，
所以在上单调递增，故选项B正确；
对于选项C，因为，
令，得到，
又因为，当且仅当或时，取等号，
所以，不是变号零点，即，不是的极值点，
由，即，
又，解得或或或，
由图象知，每一个解都是变号零点，
所以在内共有4个极值点，故选项C正确，
对于选项D，因为，
所以的周期为，
又因为，
当时，由得到，，，
列表如下，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 单调递增
又，，，
则在上的大致图象如图所示，
当时，因为，此时无解，
由，则，又，则，
又由，，
故只需再画出在图象即可，
当时，，无解，
作出的图象，注意到，
所以时，的图象在图象下方，
由图可知与在上有5个交点，
所以在上共有5个零点，所以选项D正确，
故选：BCD.
26．（山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题）我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ）
A．三个内角满足关系
B．的周长为
C．若的角平分线与交于D，则的长为
D．若O为的外心，则
【答案】ABD
【解析】根据正弦定理知由，
不妨设，则，
由余弦定理知，
所以，故A正确；
又，则，
所以的周长为，故B正确；
如图所示，易知，
在中由正弦定理知，作商得，
又，则，
由余弦定理知：，
即，即，
解之得或（舍去），故C错误；
取的中点，则，
结合平面向量数量积的几何意义易知：
，故D正确.
故选：ABD.
27．（江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（ ）
A．的最小值为0
B．当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为
C．当的重心在轴上时，的面积为
D．当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为
【答案】AC
【解析】依题意可得，直线AB的方程为，
代入，消去得，解得，，
因为点在第一象限，所以，．
的准线方程为，设，
则，，
所以，故A正确．
当为等腰三角形时，要使得点的纵坐标最大，则，
即，且，解得，故B错误．
的重心坐标为，即，
当的重心在轴上时，，得，
的面积为，故C正确．
当，，三点共线时，，，，
所以，解得．
由A分析知，得为锐角或直角，
当为直角或为直角时，或，
所以，，
解得或，
当为钝角三角形时，且，
所以，，
解得且，
所以点的纵坐标的取值范围为，故D错误.
故选：AC.
28．（江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（ ）
A．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C．当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为
D．当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为
【答案】BCD
【解析】作圆锥的轴截面如图：
设，
由相似三角形可得：
所以
对于A：由于液体高度与圆锥高度之比为，
所以容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A错误．
对于B：设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，解得，B正确．
对于C：因为，，
所以当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为，C正确．
对于D:当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，
设容器内液体的高度为，体积，
则，，D正确．
故选: BCD
29．（福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知抛物线（）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线相交于，两点（其中），则下面说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【解析】若，则抛物线的焦点坐标为，
且直线的方程为，即，
联立直线与抛物线方程消去可得，
且直线l与该抛物线相交于，两点，，
则，，故A正确；
且，，
则，原点到直线的距离，
则，故C错误；
且，故D正确；
设直线的方程为，代入抛物线中可得，
则，则，故B正确；
故选：ABD
30．（福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
31．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）已知实数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1
B．的最小值为18
C．的最大值是
D．的最大值是
【答案】ACD
【解析】，
当且仅当时等号成立，故正确；
，当且仅当即时，等号成立，
与0矛盾，故错误；
，当且仅当时，等号成立，
则，故正确；
，
当且仅当时，等号成立，故正确.
故选：.
32．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数与的图象有相同的切线
B．函数有两个单调区间
C．存在实数，使得函数和有相同的最小值
D．已知直线与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右三个交点的横坐标分别为，则
【答案】ACD
【解析】对于A，设直线与曲线分别相切于点，，
则直线或，即或，
则有，消去得，令，
而，函数在R上的图象连续不断，
则函数有零点，即曲线有相同的切线，A正确；
对于B，函数的定义域为，，
令，则在和上单调递增，又，，
于是使得，当时，，；
当时，，则，函数有三个单调区间，B错误；
对于C，当时，令，，，，
由，得，由，得，在上递减，在上递增，，
由，得，由，得，在上递减，在递增，，C正确；
对于D，由选项C知，，，作出的大致图象：
令二图象交点，，当直线与曲线和共有三个不同的交点时，
直线必经过点，即，而，，
即，令，得，
解得或，由，得，
因此当直线与曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，则，
而，因此，D正确.
故选：ACD
33．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）已知函数在上单调递增，则的值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】ABC
【解析】由题意，，
，
由 ，
得 ，
所以 ，
所以 .
令 得 .
又 ，所以 .
故选：
34．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）已知在矩形中，，，E为的中点.将沿翻折折到构成四棱锥的翻转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．一定存在某个位置，使得
B．若F为线段的中点，则平面
C．若F为线段的中点，则点F在球面上运动
D．与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】BC
【解析】
对于A：由已知可得，又，即，
取中点M，连接，，，
假设，，且，平面，
∴平面，又平面，，
又，这与在一个平面内过一点只有一条直线与已知直线垂直矛盾，故A错误；
对于B，设G为的中点，又为的中点，连接，
，，又 E为CD的中点，，
，，四边形FGED为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，故B正确；
对于C，由B知F为线段的中点时，恒有，
因此点F在以D为球心，为半径的球面上运动，故C正确；
对于D，作直线垂直底面，以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则是平面的一个法向量，
设，，
由，，，，
则，，
因为F为线段的中点，所以有，又因为，
所以，可得，
由C知，，所以，
设与平面所成角为，
则，
又因为，
所以有，
当且仅当时等号成立，因此，
因此与平面所成角的正弦值的最大值为，故D错误，
故选：BC．
35．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是偶函数
C． D．的图象关于对称
【答案】BCD
【解析】因为，，
令可得，解得或，
又当时，恒成立，所以，故A错误；
令，，则，即，
所以为偶函数，故B正确；
令，，则，所以，
令，，则，所以，故C正确；
令可得，
令，可得，又，
所以，即，
所以，
所以的图象关于对称，故D正确.
故选：BCD
36．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（ ）
A．球的体积为 B．点的轨迹长度为
C．异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为 D．三棱锥外接球与球内切
【答案】ACD
【解析】由题意知球的半径为1，故其体积为，故A选项正确；
取的中点为，
连结，易知，平面，平面，
故平面，
连接MN，，即四边形为平行四边形，
则，平面，平面，所以平面．
又因为，平面，
故平面平面，平面平面，结合平面，
故点的轨迹为线段，故B选项错误；
因为，故异面直线与BP所成角等于或其补角，
当P位于N点时，得取得最小，;
当P位于点时，取得最大，，故选项正确；
由正方体几何性质易知，
故BM为三棱锥外接球的直径，取为BM的中点，
即为三棱锥外接球的球心，由题意知为的中点，
故，
因为球的半径为，球的半径为，
故三棱锥外接球与球内切，D正确
故选：ACD．
三、填空题
37．（广东省茂名市区域2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知关于的方程在内有2个不同的解，则 .
【答案】/
【解析】设，，
所以是方程在内的一个解，不妨设，
画出的图象以及的图象如下图所示，
，
其中，
结合图象，令，解得，
则，
所以
.
故答案为：
38．（广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷）为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.
奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉
概率
则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为 .
【答案】
【解析】记事件“顾客有两次终极抽奖机会”，
事件“顾客有一次终极抽奖机会”，事件“获得蛋白粉”，
，，，
两次投掷的数字之和是5的情况有：“1,4”，“4,1”，“2,3”，“3,2”，
两次投掷的数字之和是9的情况有：“6,3”，“3,6”，“4,5”，“5,4”，
所以，
.
故答案为：.
39．（广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，M为AB的中点，则线段CM的长为 .
【答案】
【解析】由正弦定理得，所以，
又因为，所以，
，
因为，，
所以，
则，所以.
故答案为：.
40．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷）若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ．
【答案】
【解析】因为恒成立，
即恒成立，
若存在实数，使得上式成立，则，
则，
可得，可得，
解得，
由，
则取得最大值时，
此时.
故答案为：.
41．（河南省周口市、商丘市部分学校2024-2025学年高三上学期10月大联考数学试题）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】原不等式等价于，
也就是，
因为均为上的增函数，故为上的增函数，
故原不等式即为，故对任意恒成立，
故对任意恒成立，
设，则，
设，则，
故在上为减函数，而，
故当时，即，故在上为增函数；
当时，即，故在上为减函数，
故，故，
故答案为：.
42．（山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题）已知，，，为有穷整数数列，对于给定的正整数m，若对于任意的，在中存在，，，使得，则称为“同心圆数列”．若为“同心圆数列”，则k的最小值为 ．
【答案】64
【解析】对于此题，我们先从简单的算起．
当时，则最多能表示共1个数字；
当时，则，最多能表示，，共3个数字；
当时，则，，最多能表示，，，，，共6个数字；
当时，则，，…，最多能表示个数字；
∴，
故答案为：64.
43．（江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 .
【答案】 4
【解析】在中，，.
根据正弦定理（为外接圆半径），
这里，，所以，解得.
因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径.
因为、、三点所在平面经过球心，
当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径，
所以点到平面的距离的最大值为.
则球的表面积为.
故答案为：；.
44．（江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）若，，均为正数，且，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】解法1：由，可得，
不妨令，，，，则，且，
所以，再令，则，
令，可得，在上单调递增；
令，可得，在上单调递减，
所以，即的最大值为．
解法2：由，可得．
又有，可得，所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.
故答案为：.
45． 根据等价转化，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与极值（最值）；
46． 利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题进行求解；
47． 适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，进行求解；
48． 构造“形似”函数，变形再构造，结合相似结构构造辅助函数，利用导数求得函数的单调性与最值，进行求解；
49． 根据题设条件，转化为基本不等式或柯西不等式，进而求得最值.
50．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．若，，，则的最小值为 ．
【答案】/
【来源】福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题
【解析】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，其方程为，
设点，，，
依题意，，且，
所以，且，
可得，且，
因为t不恒为0，于是，所以，，
代入，可得，
则，
因为，所以，当时，取最小值，
故的最小值为.
故答案为：.
51．（福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是
【答案】3
【解析】由题意知，，，，
则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，
其中，则，解得，
将代入切线方程，得，
则，解得；
故答案为：3
52．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】，则，
在区间恰有三个极值点，两个零点，则，
解得.
故答案为：.
53．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）已知定义在上的可导函数为奇函数，为奇函数且，则 .
【答案】
【解析】因为为奇函数，所以，
则的图象关于中心对称，则，
因为为奇函数，所以，
即，得，
设为常数，令，得，
则，所以的图象关于轴对称，
又因的图象关于中心对称,
可得，
则，故函数是周期为4的函数，
因为，所以，，
所以，所以.
故答案为：
54．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）设函数，若关于x的方程有5个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
而，
由零点存在定理可得：存在，
当时，
又，故可大致画出的图象，如下图所示：
令，由关于x的方程有5个不相等的实数根，
则与的图象有5个交点，
且关于t的方程有两个解，不妨设为，，
①若，那么才能满足条件.
由是方程的解，所以，
解得，此时与的图象只有4个交点，不满足条件.
②若，，此时与的图象有5个交点，
关于t的方程要满足，，
则，解得
综上所述，实数m的取值范围是
故答案为：
55．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知抛物线的焦点为F，点M（异于原点O）在抛物线上，过M作C的切线l，，垂足为N，直线MF与直线ON交于点A，点，则的最小值是 ．
【答案】/
【解析】如图：
因为点在抛物线上，且不与原点重合，可设（）.
则过点的切线方程为：，即.
因为直线与直线垂直，所以直线的方程为：.
当时，因为点坐标为，直线的方程为：.
由得.
设（）.
当时，直线：，直线：，此时；
当时，直线：，直线：，此时.
点，都在圆上.
所以点的轨迹为圆：.
又，所以.
故的最小值为：.
故答案为：
56．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）函数，若实数满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由，得到，
因为，
所以，
因为，得到，所以，
当且仅当，即时取等号，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，所以在定义域上单调递增，
又，所以，
由，得到，
所以，解得，
故答案为：.
点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用导数和基本不等式得到在定义域上单调递增，根据条件得到，从而将问题转化成求解不等式，再利用单调性，即可求解.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（八）
一、单选题
1．（广东省茂名市区域2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，且直线垂直于轴，则（）
A．e B． C． D．e或3e
2．（广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷）函数在上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷）已知函数为，在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷）定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷）已知函数的图象关于直线轴对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（河南省周口市、商丘市部分学校2024-2025学年高三上学期10月大联考数学试题）已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（河南省周口市、商丘市部分学校2024-2025学年高三上学期10月大联考数学试题）已知函数满足，若函数在上的零点为，，…，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题）设且，n为正整数，集合．有以下两个命题：①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则，那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题 D．①、②都是真命题
9．（山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题）设数列的前项和为，数学家墨卡托、牛顿、Gregory Saint-Vincen曾分别独立发现当足够大时，会趋向于一常数，先给出以下三个数学事实：①；②如果求数列前项和时存在给其中的某些项用括号括起后得到，，则；③.基于以上数学事实我们可以推出：将数列的项按某种规律重新排列（如：将第个偶数项排到第个奇数项后）后前项和在足够大时（ ）.
A．最终一定趋于 B．最终一定不趋于任何一个常数
C．最终一定趋于某一常数但不一定是 D．以上均不正确
10．（江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．（福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．直线是曲线的一条对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．函数在上恰有2024个零点
14．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
15．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）设为锐角，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
16．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）若曲线关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
17．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
18．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
19．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数有三个零点，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
20．（广东省茂名市区域2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小正周期为
C．曲线关于直线轴对称
D．当时，函数有个零点
21．（广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷）已知函数的定义域为R，若，且，则（ ）
A． B．无最小值
C． D．的图象关于点中心对称
22．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．或
D．线段中点的横坐标为
23．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷）已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．曲线的图象关于原点对称
B．对任意，直线与曲线有唯一交点
C．对任意，恒有
D．曲线在的部分与轴围成图形的面积小于
24．（河南省周口市、商丘市部分学校2024-2025学年高三上学期10月大联考数学试题）已知函数对任意实数都有，且，，则（ ）
A． B．
C． D．对任意，都有
25．（山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题）已知，（参考数据），则下列说法正确的是（ ）
A．是周期为的周期函数
B．在上单调递增
C．在内共有4个极值点
D．设，则在上共有5个零点
26．（山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题）我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ）
A．三个内角满足关系
B．的周长为
C．若的角平分线与交于D，则的长为
D．若O为的外心，则
27．（江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（ ）
A．的最小值为0
B．当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为
C．当的重心在轴上时，的面积为
D．当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为
28．（江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（ ）
A．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C．当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为
D．当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为
29．（福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知抛物线（）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线相交于，两点（其中），则下面说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
30．（福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
31．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）已知实数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1
B．的最小值为18
C．的最大值是
D．的最大值是
32．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数与的图象有相同的切线
B．函数有两个单调区间
C．存在实数，使得函数和有相同的最小值
D．已知直线与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右三个交点的横坐标分别为，则
33．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）已知函数在上单调递增，则的值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
34．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）已知在矩形中，，，E为的中点.将沿翻折折到构成四棱锥的翻转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．一定存在某个位置，使得
B．若F为线段的中点，则平面
C．若F为线段的中点，则点F在球面上运动
D．与平面所成角的正弦值的最大值为
35．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是偶函数
C． D．的图象关于对称
36．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（ ）
A．球的体积为 B．点的轨迹长度为
C．异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为 D．三棱锥外接球与球内切
三、填空题
37．（广东省茂名市区域2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知关于的方程在内有2个不同的解，则 .
38．（广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷）为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.
奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉
概率
则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为 .
39．（广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，M为AB的中点，则线段CM的长为 .
40．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷）若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ．
41．（河南省周口市、商丘市部分学校2024-2025学年高三上学期10月大联考数学试题）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
42．（山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题）已知，，，为有穷整数数列，对于给定的正整数m，若对于任意的，在中存在，，，使得，则称为“同心圆数列”．若为“同心圆数列”，则k的最小值为 ．
43．（江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 .
44．（江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）若，，均为正数，且，则的最大值为 ．
45． 根据等价转化，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与极值（最值）；
46． 利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题进行求解；
47． 适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，进行求解；
48． 构造“形似”函数，变形再构造，结合相似结构构造辅助函数，利用导数求得函数的单调性与最值，进行求解；
49． 根据题设条件，转化为基本不等式或柯西不等式，进而求得最值.
50．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．若，，，则的最小值为 ．
51．（福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是
52．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是 .
53．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题）已知定义在上的可导函数为奇函数，为奇函数且，则 .
54．（江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期10月名校联考数学试卷）设函数，若关于x的方程有5个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .
55．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知抛物线的焦点为F，点M（异于原点O）在抛物线上，过M作C的切线l，，垂足为N，直线MF与直线ON交于点A，点，则的最小值是 ．
56．（河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）函数，若实数满足，则的取值范围为 ．
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