2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（六）
1．（广东省五校2023-2024学年高三10月联考（二）数学试题）设函数，若方程有个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）在直四棱柱中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）已知，，当时，，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（广东省（上进联考）2024届高三10月阶段检测考数学试题）已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（ ）
A． B．或1 C．1 D．或2
6．（广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）已知椭圆：的左右顶点分别为，，圆的方程为，动点在曲线上运动，动点在圆上运动，若的面积为，记的最大值和最小值分别为和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（广东省肇庆市肇庆中学2024届高三10月月考数学试卷）已知函数图象的对称轴方程为，．则（ ）
A． B． C． D．
8．（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）若，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
10．（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为，下列各式的展开式中的系数为的选项是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考（二）数学试卷）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
12．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考（二）数学试卷）设函数，若，则a的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
13．（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）在平面直角坐标系中，双曲线的左 右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
17．（湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题）已知函数，，函数，若为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．（湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
22．（河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题）如图所示，直线与曲线相切于两点，其中．若当时，，则函数在上的极大值点个数为（ ）
A． B． C． D．
23．（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，则在区间内的极值点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
25．（河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷）已知函数及其导函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．10 B．20 C． D．
26．（河南省部分名校2024届高三月考（一）数学试题）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
27．（河南省部分名校2024届高三月考（一）数学试题）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
28．（多选题）（广东省五校2023-2024学年高三10月联考（二）数学试题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
29．（多选题）（广东省五校2023-2024学年高三10月联考（二）数学试题）若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
30．（多选题）（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面，则点P的轨迹长度为
B．若平面，则三棱锥的体积为定值
C．若，则点P的轨迹长度为
D．若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
31．（多选题）（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）已知抛物线的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．直线PN的倾斜角
C．若，则直线AB的方程为 D．的最小值为2
32．（多选题）（广东省（上进联考）2024届高三10月阶段检测考数学试题）已知函数不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记的导函数为，则（ ）
A．存在和实数，使得
B．不存在和实数，满足
C．存在和实数，满足
D．若存在实数满足，则只能是指数函数
33．（多选题）（广东省（上进联考）2024届高三10月阶段检测考数学试题）已知，圆，点为圆上一动点，以为直径的圆交轴于两点，设，则（ ）
A．当点在轴上时， B．的取值范围是
C． D．
34．（多选题）（广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）设函数，则（ ）
A．存在a，b，使得为曲线的对称轴
B．存在a，使得点为曲线的对称中心
C．当时，是的极大值点
D．当时，有三个零点
35．（多选题）（广东省肇庆市肇庆中学2024届高三10月月考数学试卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（ ）
A．第10个倒“L”形的面积为100
B．长方形的面积为
C．点，，，…，均在曲线上
D．能被110整除
36．（多选题）（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜度的不同，始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图（3）所示时，为定值
37．（多选题）（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）已知奇函数在上单调递增，，，若，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．或
D．
38．（多选题）（湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考（二）数学试卷）已知函数的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．满足条件的正实数存在且唯一
D．是周期函数，且最小正周期为
39．（多选题）（湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考（二）数学试卷）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A．的斜率为
B．是锐角三角形
C．四边形的面积是
D．
40．（多选题）（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
41．（多选题）（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）设是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
42．（多选题）（湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题）设函数，则（ ）
A．当时，直线是曲线的切线
B．若有三个不同的零点，则
C．存在，使得为曲线的对称轴
D．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
43．（多选题）（湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数．当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．在上单调递减 B．
C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解
44．（多选题）（湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题）表示不超过的最大整数，例如，，，已知函数，下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．
C．设，则
D．所有满足的点组成的区域的面积和为
45．（多选题）（河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有整数解
C．是偶函数 D．是偶函数
46．（多选题）（河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题）如图，在长方体中，，为棱中点，为线段上一动点，下列结论正确的是（ ）
A．线段长度的最小值为
B．存在点，使
C．存在点，使平面
D．以为球心，为半径的球体被平面所截的截面面积为
47．（多选题）（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的值域为
C．的图象关于直线对称
D．以为周期
48．（多选题）（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．1 B． C．e D．
49．（多选题）（河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象无对称中心
B．
C．的图象与的图象关于原点对称
D．的图象与的图象关于直线对称
50．（多选题）（河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷）记函数的零点为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，
D．为函数的极值点
51．（多选题）（河南省部分名校2024届高三月考（一）数学试题）已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．的图像关于点成中心对称
B．
C．
D．
52．（多选题）（河南省部分名校2024届高三月考（一）数学试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．在区间上为增函数 D．方程仅有4个实数解
53．（广东省五校2023-2024学年高三10月联考（二）数学试题）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为 .
54．（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）已知函数，数列满足，，，，则 .
55．（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）函数在区间上的零点个数为 个．
56．（广东省（上进联考）2024届高三10月阶段检测考数学试题）已知正数满足，则的最小值为 ．
57．（广东省（上进联考）2024届高三10月阶段检测考数学试题）若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数 ．
58．（广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ．
59．（广东省肇庆市肇庆中学2024届高三10月月考数学试卷）若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s的最大值为 ．(ln3≈1.099，ln4≈1.386)
60．（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）如图，中，，，为中点，则的取值范围为 .
61．（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为 .
62．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考（二）数学试卷）小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将中的1颗糖放入中，否则将中的1颗糖放入中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时中没有糖的概率是 ．
63．（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）在如图所示的直角梯形中，为梯形内一动点，且，若，则的最大值为 .
64．（湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为 ；（2）恰好得n分的概率为 ．（用与n有关的式子作答）
65．（湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题）任意一个三次多项式函数的图象都有且仅有一个中心对称点为，其中是的根，是的导数.若函数图象的中心对称点为，存在，使得成立，则的取值范围为 .
66．（河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为 ．
67．（河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，分别为轴上的点，，则以原点为顶点且经过两点的抛物线的准线斜率为 .
68．（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）已知均为正实数，且，则的最小值为 .
69．（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为 .
70．（河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷）若函数的图象上存在两点使得在处的切线与在处的切线的夹角为，则实数的取值范围是 .
71．（河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷）已知，则的最小值为 .
72．（河南省部分名校2024届高三月考（一）数学试题）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（六）
1．（广东省五校2023-2024学年高三10月联考（二）数学试题）设函数，若方程有个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令；
方程有个不同的实根等价于与有个不同的交点；
当时，，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
则可得图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有个不同的交点；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：A.
2．（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）在直四棱柱中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图所示，过点作，过点作，
因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为直线平面，
所以，
因为，，
所以，
又因为，
所以，
因为点在侧面内，
所以在平面直角坐标系中来研究点轨迹的长度，如图所示：
点的运动轨迹为以点为圆心、半径为2的圆在正方形内部的弧，
显然，，所以，
所以.
故选：C.
3．（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）已知，，当时，，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以在 为增函数，由与图象知，在 有唯一的零点，
当时，，当时，，
若，则在恒成立，与矛盾，故.
显然的定义域为，且
因为，所以均在单调递增，
所以当时，，因为，所以；
当时，，因为，所以，
所以当时，，
即，
令，得 ，
所以当时，，单调增，
当时，，单调减，
故 ，
所以，当且仅当即时等号成立；
故选：D
4．（广东省（上进联考）2024届高三10月阶段检测考数学试题）已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为，
联立解得，
不妨取，同理可得，
则，
因为四边形是平行四边形，
于是，
由于点在上，所以，因此，故C正确.
故选：C．
5．（广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（ ）
A． B．或1 C．1 D．或2
【答案】B
【解析】当时，，则，
由得，即时，单调递减，
由得，即时，单调递增，
当时，取得极小值，，
作出的图象如图：
由图象可知当时，有三个不同的x与对应，
设，方程有六个不等的实数根，
所以在内有两个不等的实根，
设，
所以，
则实数a可能是或1.
故选：B．
6．（广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）已知椭圆：的左右顶点分别为，，圆的方程为，动点在曲线上运动，动点在圆上运动，若的面积为，记的最大值和最小值分别为和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆：中，，设，因的面积为，
则，解得或，当时，，当时，，
即点或或或，
圆圆心，半径，
此时或或或，显然，
又点在圆上运动，则有，
此时点，，此时，
即，所以.
故选：B
7．（广东省肇庆市肇庆中学2024届高三10月月考数学试卷）已知函数图象的对称轴方程为，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，又函数对称轴为，，
则函数周期，，函数，对称轴为，，与题干不符；
当时，，其中，
由函数图象的对称轴方程为，得的最小正周期，所以，
所以，
由函数图象的对称轴方程为，得，
令，得，即，得，
所以，则．
故选：C．
8．（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）若，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，设，
又由，，不妨取，
所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为，
故选：B.
9．（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【解析】
由抛物线的方程为，焦点坐标为，
设直线的方程为：，
联立方程，整理得，则，
故，
又，，
则，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故选：A.
10．（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为，下列各式的展开式中的系数为的选项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】一个砝码有，9一种情况，种情况，
两个砝码有，，，几种情况种
三个砝码有，，，，，，几种情况种
四个砝码有，，，，，种，
五个砝码有，，种，
总计种.
对A，选项系数为，故不符合，所以A错误；
对B，的系数是选个带的，其他的个括号选常数项，可得，故B错误；
对C，
系数为单独组成，其他为常数，则有种，系数为
有两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为，
系数为与组成，其他为常数，，系数为，
系数为与组成，其他为常数， ，系数为，
系数为与组成，其他为常数， ，系数为，
同理由三项组成，，，，，几种情况，其他项为常数，则系数为
同理由四项组成，，，几种情况，其他为常数，则系数，
同理由五项组成其他项为常数，则系数为，
综上系数为，故C正确；
对D，
，
系数直接有一项，其他是常数项，可有种情况，系数为，
有与组成，其他是常数项，可有,
故D错误.
故选：C
11．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考（二）数学试卷）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内，
圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示：
易知圆心到直线的距离为，所以，
又，可得；
因此可得，
所以的面积为.
故选：D
12．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考（二）数学试卷）设函数，若，则a的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【解析】函数定义域为，而，，，
要使，则二次函数，在上，在上，
所以为该二次函数的一个零点，易得，
则，且开口向上，
所以，只需，故a的最小值为.
故选：B
13．（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）在平面直角坐标系中，双曲线的左 右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，，
因为，则，
即，整理可得，则，
又因为，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以双曲线的离心率为.
故选：B.
14．（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，
由题意可得对任意恒成立，
即对任意恒成立，
又因为，则，可得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
15．（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：的定义域为，且，
由题意可知：有两个不相等的正根，
显然，即有两个不相等的正根，
则，解得，
可得，
令，则，
可知在内单调递减，则，
且当趋近于0时，趋近于，
即的值域为，所以的取值范围是.
故选：D.
16．（湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
17．（湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题）已知函数，，函数，若为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数为偶函数，可的图象关于对称，所以，
由，可得，
即，所以函数关于对称，
又因为，所以是定义在上的偶函数，
所以，
所以，即，
所以函数是周期为4的周期函数，
所以，
则.
故选：D.
18．（湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是偶函数，所以，即①，
又因为是奇函数，所以，即②，
联立①②可得，
由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，
故选：C．
19．（湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知， 要使得恰有2个零点，即有两个实数根，
当时，，
当时，，
令，当时，可得，即；
当时，，即，
在同一坐标系下，作出函数和的图象，如图所示，
由函数，可得，可得且，
所以函数在的切线方程为，
又由函数，可得，可得且，
所以函数在的切线方程为，
所以函数与只有一个公共点，
结合图象得：当时，恰有3个零点；
当时，恰有2个零点；
当时，恰有1个零点，
当时，恰有3个零点，
要使得恰有2个零点，则满足，所以实数的取值范围为.
故选：C.
20． 直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2. 分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
21． 数形结合法，利用函数与方程思想先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
22．（河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题）如图所示，直线与曲线相切于两点，其中．若当时，，则函数在上的极大值点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据图象，可分别作出斜率为的另外三条切线：，切点分别为，
如图所示：当时，；当时，；
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
有，和三个极大值点.
故选：D.
23．（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，则在区间内的极值点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】若是奇函数，则图象关于对称，
由题意得的图象向左移个单位长度得到函数的图象，
故的图象关于对称，，
则，则，
解得，又因为，
则当时，.
，，
令，
则在极值点的个数与在区间内的极值点个数相同.
而函数在内的所有极值点为，共4个.
故在区间内的极值点个数也为4个.
故选：D.
24．（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即，
因为为偶函数，所以，则，
所以，，所以，故的周期为，
因为，
所以，
故选：B.
25．（河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷）已知函数及其导函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．10 B．20 C． D．
【答案】A
【解析】的图象关于直线对称，则，
所以，又，则，
所以，从而，
因此及是公差为的等差数列，其中，
又在中令得，即得，
在中令得，则，因此，
于是，
，
所以，
又由及得，
从而，而
所以，
所以，
故选：A．
26．（河南省部分名校2024届高三月考（一）数学试题）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设的中点为，正与正的中心分别为，，如图，
根据正三角形的性质有，分别在，上，平面，平面，
因为与都是边长为2的正三角形，则，又，
则是正三角形，
又，，，平面，
所以平面，所以在平面内，
故，易得，
故，
故，又，故球的半径，
故球的表面积为．
故选：D．
27．（河南省部分名校2024届高三月考（一）数学试题）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得
则当时,得,
，
则当时,,得函数在上单调递增,
因为,所以,
由于是偶函数,则,
而函数在上单调递增,得,
得,
得,
故选：C.
28．（多选题）（广东省五校2023-2024学年高三10月联考（二）数学试题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
29．（多选题）（广东省五校2023-2024学年高三10月联考（二）数学试题）若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，
因为，所以，则，
令，，则，
所以在上单调递增，
由，可得，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即当且仅当时取等号，
即当且仅当时取等号，
又，所以，当且仅当时取等号，
当时或，
结合与的图象也可得到
所以或.
故选：AC
30．（多选题）（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面，则点P的轨迹长度为
B．若平面，则三棱锥的体积为定值
C．若，则点P的轨迹长度为
D．若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
【答案】ABD
【解析】对A选项，如图，
分别取，的中点N，M，
则易得，，，
，，
平面，平面
从而易得平面平面，
又P是正方形内的动点，且平面，
∴P点的轨迹为线段，又，∴A选项正确；
对B选项，由A选项分析可知P点的轨迹为线段，，
∴三角形的面积为定值，又D到平面的距离也为定值，
∴三棱锥的体积为定值，∴B选项正确；
对C选项，如图，若，又，且平面，
则，
∴P点的轨迹是正方形内以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，
∴P的轨迹长度为，∴C选项错误；
对D选项，如图，
若P是棱的中点，取的中点G，的中点H，
则，∴G到E，F，P的距离相等，又平面，
∴三棱锥的外接球的球心O在上，
设，则，又，，
设三棱锥的外接球的半径为R，则，
∴在与中，根据勾股定理可得：
，解得，
∴，
∴三棱锥的外接球的表面积是，∴D选项正确.
故选：ABD.
31．（多选题）（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）已知抛物线的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．直线PN的倾斜角
C．若，则直线AB的方程为 D．的最小值为2
【答案】BCD
【解析】由题，则向量的夹角为，故F，A，B三点共线，
设，与C的方程联立得，设，
则，，故，
由抛物线的定义得，
故，，所以A错误；
设，，当时，直线PN倾斜角大于等于，
当时，，所以直线PN的倾斜角，B正确；
记直线AB的斜率为k，令，则，则，
又，所以，所以，又直线AB过点，故直线AB的方程为正确；
，又，所以，
同理，联立解得，即，又，
所以，当时，等号成立，所以的最小值为2，D正确；
故选:BCD.
32．（多选题）（广东省（上进联考）2024届高三10月阶段检测考数学试题）已知函数不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记的导函数为，则（ ）
A．存在和实数，使得
B．不存在和实数，满足
C．存在和实数，满足
D．若存在实数满足，则只能是指数函数
【答案】AC
【解析】令，则存在实数使得，A正确；
存在，故B错误；
令，则，C正确；
若，，故D错误．
故选：AC．
33．（多选题）（广东省（上进联考）2024届高三10月阶段检测考数学试题）已知，圆，点为圆上一动点，以为直径的圆交轴于两点，设，则（ ）
A．当点在轴上时， B．的取值范围是
C． D．
【答案】ACD
【解析】
当在轴上时，，则，则，故A正确；
设且，则，代入得，
可得在以坐标原点为圆心、为半径的圆上运动，又圆交轴于，故，故B错误；
以为直径的圆的方程可写为，
令，可得，即，
则分别为方程的两根，由韦达定理得，故C正确；
要证，即证，
，
，
所以，即，故D正确．
故选：ACD．
34．（多选题）（广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）设函数，则（ ）
A．存在a，b，使得为曲线的对称轴
B．存在a，使得点为曲线的对称中心
C．当时，是的极大值点
D．当时，有三个零点
【答案】BCD
【解析】对于选项A，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
因为等式右边展开式含有的项为，
可知等式左右两边的系数不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，故A错误；
对于选项B：因为，
若存在，使得为的对称中心，则，
且，
可得，则，解得，
所以存在使得是的对称中心，故B正确；
对于选项C：因为，
若，当时，，当时，，
可知在内单调递减，在内单调递增，
所有在处取到极大值，是的极大值点，C选项正确；
对于选项D，由题意可知：的定义域为，且，
因为，当时，；时，；
可知在上单调递增，在上单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
且，，，
则在上各有一个零点，
所以当时，有三个零点， 故D正确；
故选：BCD.
35．（多选题）（广东省肇庆市肇庆中学2024届高三10月月考数学试卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（ ）
A．第10个倒“L”形的面积为100
B．长方形的面积为
C．点，，，…，均在曲线上
D．能被110整除
【答案】BCD
【解析】，
，所以C正确.
，所以B正确.
第10个倒“L”形的面积为，所以A错误.
由于，
所以，所以D正确.
故选：BCD
36．（多选题）（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜度的不同，始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图（3）所示时，为定值
【答案】AD
【解析】由于始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A正确；
图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B错；
图（3）中与水面就不平行，C错；
图（3）中，水体积不变，因此面积不变，从而为定值，D正确．
故选：AD．
37．（多选题）（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）已知奇函数在上单调递增，，，若，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．或
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由为上的奇函数，则，，
则，所以，即为偶函数，因此关于直线对称，故A正确；
对于B，由，则两边同时求导得：，即，故B正确；
由，则，即，即，
则（为常数），设（为常数），
对于C，由，则，即，解得或，
当，则，则，即，
又为偶函数，则即是奇函数也是偶函数，与在上单调递增矛盾，
因此不符合题意，则，故C错误；
对于D，当时，则，则，即，故D正确；
故选：ABD.
38．（多选题）（湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考（二）数学试卷）已知函数的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．满足条件的正实数存在且唯一
D．是周期函数，且最小正周期为
【答案】ACD
【解析】由函数，且，
因为函数的最大值为，可得，解得，
又因为，所以，所以A正确；
因为，且函数在的附近单调递减，
所以，所以，
又因为，可得，所以，解得，所以，
此时，其最小正周期为，所以C、D正确；
设，
，所以为奇函数，
即函数为奇函数，所以B不正确.
故选：ACD.
39．（多选题）（湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考（二）数学试卷）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A．的斜率为
B．是锐角三角形
C．四边形的面积是
D．
【答案】ABD
【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，
设，
则，可得，
因为，即，
可知为等边三角形，即，
且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；
则直线，
联立方程，解得或，
即，，则，
可得，
在中，，且，
可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；
四边形的面积为，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选：ABD.
40．（多选题）（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A：因为，且，
若，则，则，不合题意，所以；
若，则，则，不合题意，所以；
综上所述：，故A正确；
对于C：因为，则，可得，
即，可得，故C错误；
对于B：由选项AC可知：，且，得，
即，且，所以，故B正确；
对于D：因为，可得，
又因为，可得，
所以，故D正确；
故选：ABD.
41．（多选题）（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）设是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为是锐角三角形的两个内角，且，
可得：，且，，
对于选项A：因为，且，则，
可得，
因为，则，可得，
所以，故A正确；
对于选项B：因为，
且，即，
则，即，故B错误；
对于选项C：因为，则，
则，
由选项A可知：，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，
又因为，则，
可得，即，
所以，故D正确；
故选：ACD
42．（多选题）（湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题）设函数，则（ ）
A．当时，直线是曲线的切线
B．若有三个不同的零点，则
C．存在，使得为曲线的对称轴
D．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
【答案】ABD
【解析】A选项，当时，，
令解得，且，
此时在处的切线方程为，即，正确.
B选项，，
要使有三个零点，则，
若有三个不同的零点，
则
，
通过对比系数可得，正确.
C选项，若存在，使得为曲线的对称轴，
则，即，
即，
即，此方程不恒为零，
所以不存在符合题意的，使得为曲线的对称轴，错误.
D选项，当时，，
则，
所以在处的切线方程为，
，
由，
消去得①，
由于，
，
所以①可化为，
提公因式得，
化简得，
进一步因式分解得，解得，
由于，所以，
所以，所以，
所以当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点，正确.
故选：ABD
43．（多选题）（湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数．当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．在上单调递减 B．
C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解
【答案】BCD
【解析】因为为奇函数，所以，即，
因为为偶函数，所以，
所以，即，则周期为，
由得，的一条对称轴为直线，
因为当时，，所以当时，，
对于A，在上单调递增，所以在上单调递增，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由得，点是函数的一个对称中心，故C正确；
对于D，在同一直角坐标系中作出的图象，如图所示，
因为与有5个交点，所以方程有5个实数解，故D正确；
故选：BCD．
44．（多选题）（湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题）表示不超过的最大整数，例如，，，已知函数，下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．
C．设，则
D．所有满足的点组成的区域的面积和为
【答案】AD
【解析】A选项，由题时，，，
则，故A正确；
B选项，取，则，
故B错误；
C选项，，则当时，，
则，
又，则，故C错误；
D选项，由题要使，则，或，或，
或，或，所表示区域如下图阴影部分所示：
则区域面积为： ，故D正确.
故选：AD
45．（多选题）（河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有整数解
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】A
【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得：，则
取，得，则，
取，得，则，故正确；
对于B，取，得，则，
当时，有：
，
以上各式相加得，
所以，
而，故当时，有
所以,
所以当时，令，得，此方程无解，
当时，，也无解，当时，，也无解，故B错误.
对于C,若是偶函数，则应有，而，故C错误;
对于D,若是偶函数，则应有，
由，，
取，得所以
而，故D错误;
故选：A
46．（多选题）（河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题）如图，在长方体中，，为棱中点，为线段上一动点，下列结论正确的是（ ）
A．线段长度的最小值为
B．存在点，使
C．存在点，使平面
D．以为球心，为半径的球体被平面所截的截面面积为
【答案】AC
【解析】选项A，由已知，，如图1，
是等腰三角形，，则，
所以边上高为，A正确；
选项B，把矩形沿摊平到平面上，如图2
，则，
，这是的最小值，显然，即，因此B错；
选项C，连接，设，在平面上过作交于点，如图3，
长方体中易知，由已知，，又且，
因此，则，
所以，所以，
又长方体中与侧面垂直，侧面，因此，
与是平面内两条相交直线，因此平面，又平面，所以，
，且平面，所以平面，C正确；
选项D，设，连接，作，垂足为，如图4，
由平面，平面得，
又正方形中，，，平面，
所以平面，而平面，所以，
，平面，所以平面，
由已知，，则，
平面截球所得截面圆半径为，则，
所以截面圆面积为，D错．
故选：AC．
47．（多选题）（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的值域为
C．的图象关于直线对称
D．以为周期
【答案】ACD
【解析】，
，则，，则函数的定义域为，函数的定义域关于原点对称，且满足，所以函数是奇函数，故A正确；
设，在区间单调递减，，因为函数是奇函数，所以函数的值域是，故B错误；
，所以函数关于对称，故C正确；
，所以函数的周期为，故D正确.
故选：ACD
48．（多选题）（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．1 B． C．e D．
【答案】ABC
【解析】由，可化为，
则又可化为，
令，则，令，得，
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
故，且当，.
再令，则，
则关于的不等式在恒成立，
即在恒成立，
令，，
则，由解得，
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
所以，
要使在恒成立，则.
故选：ABC.
49．（多选题）（河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象无对称中心
B．
C．的图象与的图象关于原点对称
D．的图象与的图象关于直线对称
【答案】BC
【解析】选项A，由已知的定义域是且，
假设的图象有对称中心，取，其中，关于点的对称点是，但不在的定义域内，即不是图象上的点，与对称性矛盾，因此假设错误，所以A正确；
选项B，，B正确；
选项C，设是图象关于原点对称的图象上任一点，它关于原点的对称点为在的图象上，
因此，即，
所以的图象上任一点关于原点的对称点在的图象上，
同理可证的图象上任一点关于原点的对称点都在的图象上，C正确；
选项D，由得，，所以的图象关于直线对称的图象的函数式为，D错，
故选：BC．
50．（多选题）（河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷）记函数的零点为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，
D．为函数的极值点
【答案】BC
【解析】A选项，由题，故A错误；
B选项，，则在上单调递增，即在上有唯一零点.
又，，因，则.
则由零点存在性定理，，故B正确；
C选项，令，.
则，得在上单调递增，
，由B选项分析，
则当时，，故C正确；
D选项，设，两边求导得.
则，.
由A选项分析， ，
又，则.
又由B分析，，又，则，
得，则不为函数的极值点，D错误.
故选：BC
51．（多选题）（河南省部分名校2024届高三月考（一）数学试题）已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．的图像关于点成中心对称
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对A：令，则有，即，
令，则有，又，故，不关于对称，故A错误；
对于B，令，则有，
两边同时求导，得，
令，则有，故B正确；
对C：令，则有，即，
则
，故C正确；
对D：令，则有，即，
则，即，
又，故，
则，故D正确.
故选：BCD.
52．（多选题）（河南省部分名校2024届高三月考（一）数学试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．在区间上为增函数 D．方程仅有4个实数解
【答案】ACD
【解析】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称．
可画出的部分图象大致如下（图中x轴上相邻刻度间距离均为）：
对于A，由图可知的最小正周期为，所以，故A正确．
对于B，的图象关于点中心对称，故B错误．
对于C，由图可知在区间上单调递增，故C正确．
对于D，，，，，
由图可知，曲线与的图象有4个交点，所以方程仅有4个实数解，故D正确．
故选：ACD.
53．（广东省五校2023-2024学年高三10月联考（二）数学试题）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为 .
【答案】
【解析】令函数，则，因此函数在上单调递减，
，因此，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
54．（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）已知函数，数列满足，，，，则 .
【答案】3
【解析】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上的奇函数；
且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因为，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.
故答案为：3.
55．（广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷）函数在区间上的零点个数为 个．
【答案】
【解析】
，
令，则，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以函数在区间上的零点个数为个.
故答案为：.
56．（广东省（上进联考）2024届高三10月阶段检测考数学试题）已知正数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，故，又，
所以，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
57．（广东省（上进联考）2024届高三10月阶段检测考数学试题）若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数 ．
【答案】
【解析】等号左边的分子和分母同时除以，等号右边的分子和分母同时除以，
分离出参数，
设，
则当时，单调递增，
当时，单调递减，
且时，时，，且方程有唯一解，
故．
故答案为：.
58．（广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ．
【答案】
【解析】因为是“黄金椭圆”，故，故，
连接，因为为内心，故为角平分线，
由角平分线性质，有，故，
故答案为：，.
59．（广东省肇庆市肇庆中学2024届高三10月月考数学试卷）若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s的最大值为 ．(ln3≈1.099，ln4≈1.386)
【答案】2
【解析】令，，
，，
令，
∴当时， ，单调递增；
当时，，单调递减，
，分别作出，大致图象如下：
联立，即，
设，，令，即，
令，知在上单调递减，
，，
，∴整数的最大值为2．
故答案为：2
60．（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）如图，中，，，为中点，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】
以为坐标原点，所在的直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设，又，则在第一象限或者第四象限，结合对称性，不妨设在第一象限，
则，整理得且，
又，结合图象知，，
则，
当时，取最大值为，
则，即的取值范围为，
故答案为：.
61．（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为 .
【答案】
【解析】设黑球数为，白球数为，由，，则可能有以下几种情况：
①，小军可先手在白盒子中取颗球，此时两盒球数为，则小方必不可能全部取完，小方后手取球后可能为，，，，此时无论何种情况小军都可全部取完，故小军有必定获胜的策略，不符合题意；
②，小军可先手在白盒子中取颗球，此时两盒球数为，同①进行分析可知，小军有必定获胜的策略，不符合题意；
③，小军可先手在白盒子中取颗球，此时两盒球数为，小方取球后，若两盒中球数一样或有一盒取空，则小军可全部取完，小军必胜；
若两盒中球数不一样，且均不为，则一定是以下三种情况之一：
（1）两盒球数为；
（2）有一盒中只有一个球，另一盒中多于两个球，即，，；
（3）有一盒中有两个球，另一盒中多于两个球，即，，；
无论为哪种情况，小军都可将其取为或，知此时小军必胜，不符合题意；
④，若小军只从白盒中取球，
则两盒球数为，，时，由③的推理过程知，小方必胜；符合题意.
若两盒球数为时，小方可将球数转为，知小方必胜；
若两盒球数为时，小方可将球数转为，知小方必胜；
若两盒球数为时，知小方必胜
若小军从黑盒中取出了球，则黑盒中球数，白盒中球数黑盒中球数，从而由③推理过程知小方必胜；
⑤，小军可将球数转化为，小军必胜，不符合题意；
因此小方有必胜策略，则黑盒中球数为，
故答案为：.
62．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考（二）数学试卷）小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将中的1颗糖放入中，否则将中的1颗糖放入中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时中没有糖的概率是 ．
【答案】
【解析】设A中有k颗糖，B中有颗糖，游戏结束时B中没有糖的概率为.
显然，，
可得，则，
，
同理，
，解得
故答案为：
63．（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）在如图所示的直角梯形中，为梯形内一动点，且，若，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，
且，可知点在标准单位圆上，可设，
可得，
若，
可得，解得，
则，
其中，
当且仅当，即，时，
，此时为第四象限角，符合题意，取到最大值
故答案为：.
64．（湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为 ；（2）恰好得n分的概率为 ．（用与n有关的式子作答）
【答案】
【解析】（1）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3的概率,
掷一个质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率.
因为一次得2分，另一次得1分或三次得1分时恰好得3分，
所以恰好得3分的概率等于.
（2）令表示“恰好得n分”的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次不小于3的情况，
因为“不出现分”的概率是，所以“恰好得到分”的概率是.
因为“掷一次得2分”的概率是，所以有，
即，则构造等比数列，
设，即，则，，
所以，
又，，所以是首项为，公比为的等比数列，
即，.
故恰好得n分的概率为.
故答案为：（1）；（2）.
65．（湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题）任意一个三次多项式函数的图象都有且仅有一个中心对称点为，其中是的根，是的导数.若函数图象的中心对称点为，存在，使得成立，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】，，，
又的图象的对称中心点，
所以，解得，所以，
不等式为，
因为，所以，
令，则，
当时，，递减，时，，递增，
所以，所以，
从而，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以的最小值是，
所以．
故答案为：．
66．（河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为 ．
【答案】211
【解析】设数列为,根据题意，
则累加可得,
所以，故.
故答案为：.
67．（河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，分别为轴上的点，，则以原点为顶点且经过两点的抛物线的准线斜率为 .
【答案】
【解析】设抛物线，，，，，如图所示，
则，，即，
又在上，
，故，
又，所以，
故逆时针旋转后,分别旋转到轴上的点，
此时抛物线对称轴斜率为，而准线与对称轴垂直，故.
故答案为：.
68．（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）已知均为正实数，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由，得，
则，
由已知，则，所以，
且，所以.
所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为
故答案为：.
69．（河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试（二）数学试题）已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】曲线与关于直线对称，
又点关于直线的对称点在曲线上，
曲线与有个交点，即有个不同的实根，即方程有个不同的实根，
设函数，则，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增，
，再根据当时，，当时，，
作出的大致图象，如图，
由于直线过定点，当直线与的图象相切时，设切点为，此时，
即，可得，此时切线的斜率为，
由图可知，时，直线与的图象有个交点，
实数的取值范围为，
故答案为：.
70．（河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷）若函数的图象上存在两点使得在处的切线与在处的切线的夹角为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】，，，
设斜率最大与斜率最小的两条切线的夹角为，
，由题意，解得．
故答案为：．
71．（河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷）已知，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，令，所以，
则，
当且仅当，即，时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
72．（河南省部分名校2024届高三月考（一）数学试题）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为，连接，
由关于原点对称，也关于原点对称，可知四边形是平行四边形，
又，，则有，，
又由双曲线的定义得，解得，
再由余弦定理：，
即，得，
再由，
故渐近线方程为：，
故答案为：.
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