第7讲 立体几何中的交线问题
一、单选题
1．（2025·高三·全国·专题练习）已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ）
A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形
B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形
C．长度的最大值是2
D．长度的最小值是
【答案】B
【解析】如图，
因为满足平面，则所在的平面与正方体表面的交线，上下平面交线平行于，
前后平面交线平行于，左右平面交线平行于，
所以所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形，故A错误，B正确；
以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
其中，分别是的中点，
则直线的方程为
因为满足平面，则在所以设线段上的点，
点，则，
所以当时，；当时，．故C，D错误．
故选：B．
2．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球的半径为，记的中点为，则，
易知，当点在的延长线上，且棱锥的高等于求的半径时，棱锥体积最大.
因为，所以，.
当点在的延长线上时，的面积最大，为，
四面体体积的最大值为，解得，
从而球的体积为.
故选：D
3．（2025·高二·重庆·期中）如图所示．用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设交于，以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立如图所示坐标系，
因为圆锥的高，是中点，且截面垂直于底面，
所以，所以，
又因为底面圆半径，
所以，，所以，
设双曲线方程为，
将，代入双曲线方程得，解得，
则双曲线的两条渐近线方程为，
由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为，
所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为.
故选：B.
4．（2025·高三·湖北武汉·开学考试）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由阅读材料可知：平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
设直线的方向向量，
则，令，则，
故选：B
5．（2025·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】如图所示，
分别取的中点，连结E，F，
则由正四面体的性质，EF过正四面体的中心O，
所以平面即平面，平面即平面，
又因为平面，平面，
所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段，
又因为正四面体的棱长为1，
则由勾股定理可得，
所以在等腰三角形FAB中：
．
故选：A．
6．（2025·高二·湖南·期末）给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面可以表示为集合，即在空间直角坐标系中，若，，设，则平面的方程为.根据以上信息，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为.
又直线是平面与平面的交线，设直线的方向向量为，
则取，则.
设与平面所成的角为，则.
故选:D.
7．（2025·山东枣庄·一模）在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取中点，连接、，则有，，
又，、平面，故平面，
又平面，故，又，
，、平面，故平面，
又、平面，故，，
由正三棱锥的性质可得、、两两垂直，
故，即以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为：
，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为.
故选：C.
8．（2025·高一·安徽铜陵·期末）截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意可知，正三棱锥，满足，
可得平面，得底面正的边长为，设正的中心为，
由，即，
得，又，
点在内部（含边界）运动，且，
所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面与内部（含边界）包含的平面相交所得的弧，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧，
如图，作于，圆与交点为，则，
，
所以，则，所以，
则点的轨迹在内部（含边界）的弧所对的圆心角为，
则弧长为，
即点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为.
故选：A.
9．（2025·广东广州·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，以为球心，为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为球的半径为6，，所以球不与侧面及侧面相交，
设分别为的中点，连接，
则由题意可得，
所以，
所以球与侧面交于点，与侧面交于点，
在正六边形中，因为，所以，
所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，所以平面，且，
所以，
所以球与侧面的交线是以为直径的半圆，
同理可得球与侧面的交线是以为直径的半圆，
因为，所以球与上下底面的交线均为个半径为的圆，
所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为
故选：D
10．（2025·高三·辽宁·阶段练习）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为 B．的长度为
C．的长度为 D．的长度为
【答案】A
【解析】如图所示，
连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点，
交的延长线于点，连接，交于点，连接，
则即为，即为，
由，得，所以，，
由，得，则，
所以，故C，D项错误；
由，得，
又易知，得，所以，
所以，故A项正确，B项错，
故选：A.
11．（2025·高三·广东广州·阶段练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】根据材料可知平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
因为直线是两平面与的交线，设的方向向量，
则，取可得的一个方向向量，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为，
故选：A
12．（2025·高二·广东·阶段练习）阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为平面的方程为，所以平面的法向量可取，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
设两平面的交线的方向向量为，
由，令，则，
所以两平面的交线的方向向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则.
故选：A．
13．（2025·高三·江西·阶段练习）如图，二面角的大小为，且与交线所成的角为，则直线所成的角的正切值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先证明一个结论：如图，直线为平面的一条斜线，为斜足，与平面所成的角为，则平面内的直线与直线所成角的最小值为.
证明：对于平面内的任意一条直线，如果其不过点，则可以平移该直线至点，
此时直线与直线所成角即为平移后的直线与直线所成的角.
设平移后的直线为直线（如图），过作的垂线，垂足为，
在平面内的射影为，连接，则，
而直线与直线所成的角即为，其中，.
因为，
故，当且仅当与重合时等号成立，
所以平面内的直线与直线所成角的最小值为.
回到原题，
如图，设，取上一点，过作，垂足为，
垂足为，连接，
因为，，故，而，，
平面，故平面，
而平面，故，故为平面的平面角的补角，
故.
不妨令，则.
又，所以，所以，
所以.
因为，故与平面所成的角为，
由前述所证结论可得，直线所成角的最小值为，其正切值为.
故选：B.
二、多选题
14．（2025·安徽淮南·一模）如图，在正方体中，是对应棱的中点，则（ ）
A．直线∥平面 B．直线平面
C．直线与的夹角为 D．平面与平面的交线平行于
【答案】BCD
【解析】以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，
则由题意可得，，
，
对于A，设平面的法向量为，因为，
所以，令，解得，
所以平面的法向量可以为，
注意到，
而，
从而直线与平面不平行，故A错误；
对于B，注意到，，所以，
所以，这表明也是平面的法向量，
故直线平面，故B正确；
对于C，，
所以直线与的夹角的余弦值为，
所以直线与的夹角为，故C正确；
对于D，设平面与平面的交线为，
因为平面平面，平面平面，平面平面直线，
所以直线直线，即平面与平面的交线平行于，故D正确.
故选：BCD.
15．（2025·福建福州·模拟预测）如图，为平面与平面的交线，点在平面上，点在平面上．以为原点建立空间直角坐标系，轴已经给出，平面的两个法向量，，平面的两个法向量，，则二面角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】根据题意作图：
设二面角为，
则根据二面角定义可知，，
，，.
故选：BC.
16．（2025·高三·云南楚雄·期末）空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为，则下列结论正确的是（ ）
A．经过点的平面的方程为
B．若方程为的平面经过点，则满足条件的实数的个数为3
C．若平面的方程为，则坐标原点到平面的距离为
D．与方程为的平面所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】经检验，均满足方程，且不共线，
则可以确定唯一平面，则平面的方程为，A正确；
若方程为的平面经过点，则，
整理得，因为无实数解，所以，B不正确；
显然，点满足方程，则是平面内一点，
平面的一个法向量为，则，
点到平面的距离，C正确.
易知方程的一组公共解为，且的另一组公共解为，
则直线经过和的一个方向向量为，
平面的一个法向量为.设与平面所成角的大小为，
则，D正确.
故选：ACD.
17．（2025·高三·山东泰安·期末）如图，在正四棱柱中，底面正方形的边长为为线段上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）
A．若直线为平面和平面的交线，则平面中不存在直线与平行
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．直线与平面所成角最大时，
【答案】ACD
【解析】对于A，因为平面，且平面，平面平面，所以；
又与平面相交，则平面中不存在直线与平行，即平面中不存在直线与平行，故A正确；
对于B，
建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，
所以，，，，
则，，
因为，所以不成立，即不成立，
所以平面不成立，故B错误；
对于C，因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，又为线段上的一个动点，
所以点到平面的距离为定值，
又，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D，由选项C可知，点到平面的距离为定值，
记直线与平面所成角为，
则，又正弦函数在上单调递增，则最大时，最大，
所以当最小时，有最大值，此时，
此时，在中，，又，所以，
在中，，从而，故D正确；
故选：ACD.
18．（2025·高三·云南昆明·期末）根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线（其中AB是底面圆的直径，各截面都过点M.第一个图中截面平行于底面；第二个图中截面与底面有且只有A这一个公共点；第三图中截面平行于圆锥的轴OP,且与底面的交线是线段OB的垂直平分线；第四个图中截面与底面的交线过底面圆心且与AB垂直）.若圆锥的高，底面圆的半径为为母线的中点，则（ ）
A．圆的周长为
B．椭圆的长轴长为
C．双曲线的离心率为
D．抛物线的焦点到准线的距离为
【答案】ABC
【解析】对于A，因为点是母线的中点，当经过的截面平行于底面时得截面图形是圆，因为底面圆的半径为,截面的半径，所以圆的周长为，A正确；
对于B，当经过的截面恰好经过底面的端点且与底面只有这一个公共点时截面是椭圆，椭圆的长轴是,因为在圆锥中，高，底面圆的半径为4，所以，
所以，所以椭圆的长轴长，故B正确；
对于C，因为点是母线的中点，当经过的截面与底面垂直时截面是一支双曲线，截线正好是的中垂线时,在与底面、平面垂直且过点的平面内，以为右顶点建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，有，易知点在双曲线上，所以，所以离心率，故C正确；
对于D，经过的截面与底面的的截线是与垂直的底面圆的直径时截面是抛物线，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为（，易知点在抛物线上，所以，故D错误.
故选：ABC.
19．（2025·山西临汾·一模）已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（ ）
A．的最小值为
B．动点在面内运动轨迹的长度为
C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分
D．在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4
【答案】BD
【解析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设关于平面的对称点为，则，
所以，解得，所以，
又点，点到平面的距离相等，所以，
所以，解得或（舍去），所以，
所以，故A错误；
因为平面，若动点在平面内时，则，
又，则，可得的轨迹是以为圆心，3为半径的圆弧，
且在四边形的圆弧是圆的，
所以动点在面内运动轨迹的长度为，故B正确；
动点的轨迹是以为轴，为顶点的圆锥在正方体内的部分，
底面半径为，
易得，又平面，平面，所以平面，
又是圆锥的母线，所以平面与圆锥的交线是抛物线的一部分，故C错误；
设正四面体的底面正三角形的中心为，
由正四面体的性质可得平面，
由正弦定理可得，
所以正四面体的高为，
设正四面体的内切球的半径为，
则，所以，
设半径是的球的内接正四面体的边长为，则可将内接正四面体补形成边长为
的正方体，
则，解得，
在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4，故D正确．
故选：BD.
20．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）如图，圆柱的上下底面圆周与正方体上下底面的正方形相切，平面与圆柱侧面的交线为椭圆E，与椭圆E交于M、N两点，则（ ）
A．圆柱体积与正方形体积之比为 B．圆柱的母线与所成的角为
C．椭圆E的离心率 D．
【答案】ACD
【解析】设正方体的棱长为1，
所以正方体的体积为
由题意得，圆柱的上下底面半径为，高，
所以圆柱的体积，
所以，故A对；
因为圆柱的上下底面圆周与正方体上下底面的正方形相切，
所以圆柱的母线平行于正方体的棱，
所以即是圆柱的母线与所成的角，
平面，又平面，所以,
在中，，
所以，故B错；
由题意得，椭圆的长轴长，
短轴长，
所以焦距，
所以椭圆E的离心率，故C对；
如图，建立直角坐标系，
所以椭圆的方程式为，
所以，
即直线MN的方程式为，
由或，
即，
所以，
而.
所以，故D对；
故选：ACD
21．（2025·高三·江西南昌·开学考试）是正四棱锥的高，是线段上一点（不含端点），过点任作一个平面，平面与该四棱锥表面交线所围成的封闭图形记为，下列4个命题中，正确的是（ ）
A．可以是三 四 五边形
B．当平面时，存在一点，使得是正五边形
C．当与平面相交时，平面与平面和平面的交线分别为，则三条直线相交于一点
D．“平面”是“平面平面”的充分不必要条件
【答案】AC
【解析】对于A：截面过时的截面为三角形，截面过与平面平行时为四边形，
截面不平行于底面且不过时可能为五边形（如图所示），故A正确；
对于B：如图所示，当平面时，截面五边形为，
由截面，根据线面平行的性质易得，则，
又正五边形不存在平行的边，故不存在这样的正五边形，故B错误；
对于C：设平面与平面的交线为，与的交线为，
当与平面相交时，可得与不平行，
反证法：若，因为平面，平面，
所以平面，平面，平面平面，
所以，又因为，，所以，
这与与平面相交时矛盾，故假设不成立，故与不平行，
所以与相交，设，则平面，平面，
又平面平面，所以，
所以交于一点，即三条直线相交于一点，故C正确；
对于D：因为四边形是正方形，所以，又平面，
平面，所以，
因为，平面，所以平面，
由B可知当平面时，，而不一定成立，
所以有可能不平行于，则不一定垂直于平面，得不出平面平面，
从而“平面”不是“平面平面”的充分条件，故D错误.
故选：AC.
22．（2025·高三·辽宁·阶段练习）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为 B．的长度为
C．的长度为 D．的长度为
【答案】AD
【解析】如图所示，
连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点，
交的延长线于点，连接，交于点，连接，
则即为，即为，
由，得，所以，，
由，得，则，
所以，故C错误，D项正确；
由，得，
又易知，得，所以，
所以，故A项正确，B项错，
故选：AD.
23．（2025·高三·重庆·阶段练习）如图 在正四棱柱中， 底面正方形 边长为， ，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ）
A．已知直线为平面和平面ABCD 的交线， 则平面内存在直线与平行
B．三棱锥的体积为定值
C．直线与平面所成角最大时，
D．的最小值为
【答案】BC
【解析】选项 A，因为 平面 ，且 平面 ，所以平面 和平面 的交线 ，
而 与平面 相交，则平面 内不存在直线与 平行，即不存在直线与直线 平行，故 错误；
选项 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值，而三角形 的面积为定值，故三棱锥 的体积为定值，故 正确;
选项 C，记 到平面 到距离为 ，由选项 B 可知， 为定值，记直线 与平面 所成角为 ，
则 ，又正弦函数在 上单调递增，则 最大时, 最大，从而即为 最小时，此时 ，
在中，,所以
可得 ，故正确;
选项 ，作平面 与平面 的展开图如图 所示，
则 的最小值即为展开图中线段 的长，
中， ， 所以 ，
从而 中，由余弦定理可知， ，
从而 的最小值为 ，故错误，
故选: .
24．（2025·高三·河北秦皇岛·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点是棱的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则（ ）
A．直线与平面有一个交点
B．
C．直线与所成角的大小为
D．平面截四棱锥所得的上下两个几何体的体积之比为
【答案】BCD
【解析】如图，取棱中点，连接，，
因为是棱的中点，则，而，所以，
即，，，四点共面，则为直线，又平面，平面，
所以平面，即平面，故A错误；
由底面，平面，所以，
由，可得为等腰直角三角形，
而斜边的中点为，所以，
再由底面是正方形，易得，
又，且，平面，所以平面，
又平面，所以，又，
且，平面，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
由，则直线与所成的角就是与所成的角，
由，则，
即与所成的角的余弦值为，即角为，故C正确；
，，
所以，
所以，故D正确．
故选：BCD
25．（2025·湖北荆州·三模）如图，正八面体棱长为2．下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．当P为棱EC的中点时，正八面体表面从F点到P点的最短距离为
C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥的体积为定值
D．以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为
【答案】ABD
【解析】对于A，在正八面体中，故四边形为菱形，
故，又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，将和展开至同一平面，如图所示，
其中，，，
由余弦定理得：，，故B正确；
对于C，，连接、，相交于点，连接，
由对称性可知，，
、均为等腰直角三角形，
所以，，，
又平面，
可证得平面，所以到平面的距离为，
设菱形的面积为，则，，
三棱锥的体积为定值，故C错误；
对于D，易得以O为球心，1为半径的球与各条棱均切于中点处，
故球与每个侧面的交线即侧面正三角形的内切圆，
又以2为边长的正三角形的高为，
可得内切圆半径，交线总长度，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题
26．（2025·陕西西安·二模）已知是球的球面上两点，是该球面上的动点，是该球面与平面交线上的动点.若四面体体积的最大值为，则球的体积为 .
【答案】
【解析】设球的半径为.因为是球与平面交线上的动点，即平面，
在中，，，
设的中点为，连接并延长，交球于，则，
，，
此时三角形的面积最大，且最大面积为.
是球面上的动点，
要使四面体的体积最大，则点到平面的距离要最大，
当平面时，点到平面的距离最大，且最大距离.
依题意，解得.
球的体积为.
故答案为：
27．（2025·高三·山西·开学考试）正方体的棱长为2，则以的中点为球心，为半径的球与侧面相交，则交线（在正方形内部）的长度为 ．
【答案】/
【解析】如图：作，垂足为E，则平面，
设为球心，为半径的球与相交于，
则，
即以的中点为球心，为半径的球与侧面相交，
交线为以E为圆心，2为半径的圆弧（如图示），
在中，，同理，则，
所以交线的长度．
故答案为：．
28．（2025·高二·四川·期末）空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的大小为 ．
【答案】
【解析】由题意可知平面的一个法向量为，平面一个法向量为，
平面一个法向量为，
设直线l的方向向量为，则，
故，取，则，
设直线l与平面所成角，则，
故答案为：
29．（2025·高三·安徽马鞍山·期中）已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得平面的法向量可为，
平面的法向量可为，
平面的法向量可为，
设直线的方向向量为，
则有，取，则有、，
则直线的方向向量可为，
则，
故直线l与平面所成角的余弦值为.
故答案为：.
30．（2025·广东汕头·一模）如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则 ， .
【答案】 /0.5 /
【解析】在正方体中，是棱的中点，
延长与延长线交于点，连接，则直线即为直线，，
由，得，又，于是，
由平面平面，平面平面，平面平面，
则，又，因此，，
所以.
故答案为：；
31．（2025·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体中，为棱（不含端点）上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为 ．
【答案】/
【解析】连接，由题意知过点的平面与平面平行，
平面与平面、平面的交线分别为，
由于平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
所以或其补角即为所成的平面角，
设正四棱锥的棱长为1，，则，
在中，由余弦定理得
，
同理求得，
故在中，
，
由于，则，
进而，
当时取等号，故的最小值为，
进而，故的最大值为.
故答案为：．
32．（2025·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.
阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】平面的方程为，可得平面的法向量为，
平面的法向量为的法向量为，
设直线的方向向量为，则，即，
令，则，
设直线与平面所成角，，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
33．（2025·陕西安康·模拟预测）在棱长为1的正方体中，过面对角线的平面记为，以下四个命题:
①存在平面，使;
②若平面与平面的交线为，则存在直线，使;
③若平面截正方体所得的截面为三角形，则该截面三角形面积的最大值为;
④若平面过点，点在线段上运动，则点到平面的距离为．
其中真命题的序号为 ．
【答案】①②④
【解析】对于①：取平面为平面，
因为为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，
可得平面，即，故①为真命题；
对于②：显然此时平面与平面不重合，
因为平面∥平面，
且平面平面，平面平面，可得∥，
又因为∥，，可知为平行四边形，则∥，
可知当不与重合时，∥，故②为真命题；
对于③：例如截面，可知截面为边长为的等边三角形，符合题意，
且，故③为假命题；
对于④：由②可知：∥，
且平面，平面，则∥平面，
因为点在线段上运动，则点到平面的距离相等，
不妨取点为点，设点到平面的距离为，
因为，则，解得，
所以点到平面的距离为，故④为真命题；
故答案为：①②④.
34．（2025·山东·二模）三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，因为平面，设面，所以，
同理：，
设，所以，即，
所以四边形为平行四边形，即，
平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，即，且，
取中点，连接，易得，，
，所以面，所以，所以，
所以四边形为矩形，
所以面与三棱锥的交线围成的面积，
当，即为中点时，面积最大，最大值为，
故答案为：.
35．（2025·高一·安徽黄山·期末）如图1，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.（如图2）.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列四个判断中，正确的个数有 个.
① ② ③ ④.
【答案】3
【解析】
对于②，如图所示，连接，因为平面与平面的交线为，所以，
又因为直线与圆的另一个交点为，所以，即平面与平面的交线为就是直线，
因为，分别是，的中点，所以，
而平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以，所以
由题意易知：，面，则面，而面，则，即二面角的大小，故②正确；
对于③，；
由Q满足，点是中点，平面，则，面，
结合题意此时四边形为矩形，则直线与平面所成的角，
即；
过Q作，且使得，连接，显然，此时四边形为平行四边形，，
则异面直线与所成的角，结合上面说明得面，
而面，则，即.
∴，故③正确；
对于①，由③可知，注意到，所以，故①正确；
对于④，故④错误；
故正确的序号有：①②③，共3个.
故答案为：3.
36．（2025·全国·模拟预测）已知正四棱柱中，，，点为的中点，点为的中点，平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】/
【解析】如图，在棱上取点，使，连接，则，
所以为平面与平面的交线.
连接，则为平面与平面的交线.
因为面与面的交线为，且面面，所以.
在棱上取点，使，连接，则，
所以，则就是异面直线与所成的角.
连接，在中，，.
由余弦定理，得，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故答案为：
37．（2025·高二·安徽黄山·期末）人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”．现已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，且直线l的方向向量为，则平面的一个法向量可以为 ，直线l与平面所成角的正弦值为 .
【答案】 /
【解析】显然平面的一个法向量可以为,
易知平面的法向量为，平面的法向量为，
且直线l的方向向量为，故，，令，
解得，，故，设直线l与平面所成角为，
则.
故答案为：；
38．（2025·高三·广东深圳·期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ．
【答案】/
【解析】因为，D分别是，BC的中点，所以，
所以平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，，所以，
所以直线l与平面所成角即直线与平面所成角，
因为为直径，所以，因为，即，
又因为平面，
平面，所以，平面，
所以平面，过点作交于点，
因为平面，所以，，
，平面，所以平面，
所以为交线l与平面所成角，
因为，，
.
所以，结合图知.
故答案为：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第7讲 立体几何中的交线问题
一、单选题
1．（2025·高三·全国·专题练习）已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ）
A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形
B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形
C．长度的最大值是2
D．长度的最小值是
2．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·高二·重庆·期中）如图所示．用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·高三·湖北武汉·开学考试）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（ ）
A． B． C． D．1
6．（2025·高二·湖南·期末）给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面可以表示为集合，即在空间直角坐标系中，若，，设，则平面的方程为.根据以上信息，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
7．（2025·山东枣庄·一模）在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·高一·安徽铜陵·期末）截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·广东广州·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，以为球心，为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·高三·辽宁·阶段练习）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为 B．的长度为
C．的长度为 D．的长度为
11．（2025·高三·广东广州·阶段练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
12．（2025·高二·广东·阶段练习）阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·高三·江西·阶段练习）如图，二面角的大小为，且与交线所成的角为，则直线所成的角的正切值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．（2025·安徽淮南·一模）如图，在正方体中，是对应棱的中点，则（ ）
A．直线∥平面 B．直线平面
C．直线与的夹角为 D．平面与平面的交线平行于
15．（2025·福建福州·模拟预测）如图，为平面与平面的交线，点在平面上，点在平面上．以为原点建立空间直角坐标系，轴已经给出，平面的两个法向量，，平面的两个法向量，，则二面角为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·高三·云南楚雄·期末）空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为，则下列结论正确的是（ ）
A．经过点的平面的方程为
B．若方程为的平面经过点，则满足条件的实数的个数为3
C．若平面的方程为，则坐标原点到平面的距离为
D．与方程为的平面所成角的正弦值为
17．（2025·高三·山东泰安·期末）如图，在正四棱柱中，底面正方形的边长为为线段上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）
A．若直线为平面和平面的交线，则平面中不存在直线与平行
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．直线与平面所成角最大时，
18．（2025·高三·云南昆明·期末）根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线（其中AB是底面圆的直径，各截面都过点M.第一个图中截面平行于底面；第二个图中截面与底面有且只有A这一个公共点；第三图中截面平行于圆锥的轴OP,且与底面的交线是线段OB的垂直平分线；第四个图中截面与底面的交线过底面圆心且与AB垂直）.若圆锥的高，底面圆的半径为为母线的中点，则（ ）
A．圆的周长为
B．椭圆的长轴长为
C．双曲线的离心率为
D．抛物线的焦点到准线的距离为
19．（2025·山西临汾·一模）已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（ ）
A．的最小值为
B．动点在面内运动轨迹的长度为
C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分
D．在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4
20．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）如图，圆柱的上下底面圆周与正方体上下底面的正方形相切，平面与圆柱侧面的交线为椭圆E，与椭圆E交于M、N两点，则（ ）
A．圆柱体积与正方形体积之比为 B．圆柱的母线与所成的角为
C．椭圆E的离心率 D．
21．（2025·高三·江西南昌·开学考试）是正四棱锥的高，是线段上一点（不含端点），过点任作一个平面，平面与该四棱锥表面交线所围成的封闭图形记为，下列4个命题中，正确的是（ ）
A．可以是三 四 五边形
B．当平面时，存在一点，使得是正五边形
C．当与平面相交时，平面与平面和平面的交线分别为，则三条直线相交于一点
D．“平面”是“平面平面”的充分不必要条件
22．（2025·高三·辽宁·阶段练习）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为 B．的长度为
C．的长度为 D．的长度为
23．（2025·高三·重庆·阶段练习）如图 在正四棱柱中， 底面正方形 边长为， ，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ）
A．已知直线为平面和平面ABCD 的交线， 则平面内存在直线与平行
B．三棱锥的体积为定值
C．直线与平面所成角最大时，
D．的最小值为
24．（2025·高三·河北秦皇岛·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点是棱的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则（ ）
A．直线与平面有一个交点
B．
C．直线与所成角的大小为
D．平面截四棱锥所得的上下两个几何体的体积之比为
25．（2025·湖北荆州·三模）如图，正八面体棱长为2．下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．当P为棱EC的中点时，正八面体表面从F点到P点的最短距离为
C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥的体积为定值
D．以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为
三、填空题
26．（2025·陕西西安·二模）已知是球的球面上两点，是该球面上的动点，是该球面与平面交线上的动点.若四面体体积的最大值为，则球的体积为 .
27．（2025·高三·山西·开学考试）正方体的棱长为2，则以的中点为球心，为半径的球与侧面相交，则交线（在正方形内部）的长度为 ．
28．（2025·高二·四川·期末）空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的大小为 ．
29．（2025·高三·安徽马鞍山·期中）已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为 ．
30．（2025·广东汕头·一模）如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则 ， .
31．（2025·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体中，为棱（不含端点）上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为 ．
32．（2025·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.
阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 .
33．（2025·陕西安康·模拟预测）在棱长为1的正方体中，过面对角线的平面记为，以下四个命题:
①存在平面，使;
②若平面与平面的交线为，则存在直线，使;
③若平面截正方体所得的截面为三角形，则该截面三角形面积的最大值为;
④若平面过点，点在线段上运动，则点到平面的距离为．
其中真命题的序号为 ．
34．（2025·山东·二模）三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为 ．
35．（2025·高一·安徽黄山·期末）如图1，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.（如图2）.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列四个判断中，正确的个数有 个.
① ② ③ ④.
36．（2025·全国·模拟预测）已知正四棱柱中，，，点为的中点，点为的中点，平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为 .
37．（2025·高二·安徽黄山·期末）人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”．现已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，且直线l的方向向量为，则平面的一个法向量可以为 ，直线l与平面所成角的正弦值为 .
38．（2025·高三·广东深圳·期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ．
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