第10讲 立体几何装液体问题
一、单选题
1．（2025·广西南宁·模拟预测）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，正方体，若要使液面形状不可能为三角形，则当平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面.若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形.设液体的体积为，则，而，，所以液体的体积的取值范围为.
故选：B.
2．（2025·湖北宜昌·一模）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（ ）
①液面刚好同时经过，，三点；
②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为；
③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】①若液面刚好同时经过,,三点,则液体的体积为四棱锥,
因为,所以①正确；
②当平面与液面成直二面角时,即为图2的位置,设液面与直三棱柱的交点为,如图所示,
因为直三棱柱的体积为,
所以直棱柱的体积为,
所以,即,则在中边上的高为,
因为在中边上的高为,所以液面与水平桌面的距离为,所以②正确；
③当液面刚好同时经过,,三点时,如图所示,
此时,则,
易得,则中边上的高为,
所以,
设点到平面的距离为,则,即,
即液面与水平桌面的距离为,
由棱柱的对称性可得点到平面的距离为,设与液面所成角为,
则,所以③正确,
所以①②③正确,
故选:D
3．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，
设圆柱底面半径为，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体，
因为水面过的中点，则，
则弓形的面积为，
当底面圆水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为，
则由水的体积不变可得：，即，
解的：.
故选：.
4．（2025·云南丽江·一模）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由题意知，水的体积为，如图所示，
设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于，
由题意知，水的体积为，
所以，即，解得，
在平面内，过点作交于，
则四边形是平行四边形，且，
又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，
即侧面与平面所成的角,其平面角为，
在直角三角形中，.
故选：C.
5．（2025·高二·湖北·期中）如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量在向量上的投影向量为
C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为
D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个
【答案】C
【解析】对A：由正方体性质知：，，
且、面，
所以面，又面，则，
由，故与不垂直，故A错误；
对B：由题意且，若是交点，连接，
所以，
故为平行四边形，则，，
所以所成角，即为所成角，
由题设，易知，
在中，
即夹角为，所以夹角为，
故向量在向量上的投影向量为：
，故B错误；
对C：令放在桌面上的顶点为，
若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，
此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，
根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大，
此时，截面是边长为的正六边形，
故最大面积为，故C正确；
对D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为，
且奇数层均为个，偶数层均为，
而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为，
假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数，
令，则，而，故小球总共有10层，
由上，相邻的两层小球共有个，
所以正方体一共可以放个小球，故D错误.
故选：C.
6．（2025·高三·甘肃白银·阶段练习）如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，平面与水面的夹角为，
则平面与水平桌面的夹角为．
由题意可得三棱柱的体积为4，
所以，解得，
所以．
水面距离桌面的高度为．
故选：B.
7．（2025·广东深圳·一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，
则如图，水最少的临界情况为，水面为面，
水最多的临界情况为多面体，水面为，
因为，
，
所以，即.
故选：A.
8．（2025·高三·广东汕头·期中）图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】B
【解析】在图1中的几何体中，水的体积为，
在图2的几何体中，水的体积为，
因为，可得，解得.
故选：B.
9．（2025·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），然后将球取出，则这时容器中水的深度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，
根据祖暅原理，半球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，球柱的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆台的体积.
下面证明如图1中阴影截面面积相等：
证明：设半球中阴影截面圆的半径为，球体半径为，
则，截面圆面积；
因为，所以圆柱中截面小圆半径，而大圆半径为，
则截面圆环的面积，
所以，又高度相等，所以球柱的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆台的体积.
如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为， 小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积.
已知球体半径为，为等边三角形，，，，
根据祖暅原理
，
设图2中轴截面为梯形的圆台体积为，
设将球取出时容器中水的深度为，底面圆的半径为，则，.
，即，.
故选：B
10．（2025·高一·湖北武汉·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径，
则，
解得，
由球的截面性质得： ，
解得，
所以球的体积为，
故选：D
11．（2025·高三·湖南永州·阶段练习）北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题,作于.
根据题意可知宽为带宽的四分之一即,又水管直径为4 cm.
故.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是
.
故选：D
12．（2025·高三·贵州贵阳·期末）如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】在正方体中，与平面所成的角是相等的，
所以水平面平行于平面，又水平面恰好经过的中点，
则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为，
如图，所以其面积.
故选：B
13．（2025·高三·广东广州·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设的面积为，则，
水的体积，
当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为，
则有，得，
即当底面水平放置时，水面高为9．
故选：C．
14．（2025·高二·江西上饶·期末）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设的中点分别为，如下图：
易知，则，由为的中点，则，可得，
设三棱柱与三棱柱的体积分别为，则，
设水的体积为，则，
在图1中，设水形成的三棱柱的高为，则，解得.
故选：D.
15．（2025·高二·河北·期末）如图所示，连接棱长为2的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，直至注满水为止.图中水面的高度为，水面对应四边形的面积为，容器内水的体积为，则下列说法正确的是（ ）
A．是的函数 B．是的函数
C．是的函数 D．是的函数
【答案】AC
【解析】对于A，当水面的高度确定时，水面对应四边形的面积也唯一确定，则是的函数，A正确；
对于B，当水面对应四边形的面积确定时，水面高度可能出现两种可能，则不是的函数，B错误；
对于C，随的增大而增大，是的函数，也是的函数，因此是的函数，C正确；
对于D，当水面对应四边形的面积确定时，可能出现两个值，不是的函数，D错误.
故选：AC
16．（2025·高三·上海·阶段练习）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（ ）
A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题
【答案】A
【解析】由题意可知图1水的高度，几何体正四棱柱的高为，设底面正方形的边长为，
图1中水的体积为，图2中水的体积为，
所以，解得，故①正确，
对于②，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，
又因为容器容积为，所以水的体积是容器容积的一半，
即水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过点，故②正确，
故选：A
二、多选题
17．（2025·山东菏泽·一模）透明塑料制成的正方体密闭容器的体积为注入体积为的液体.如图，将容器下底面的顶点置于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）
A．液面始终与地面平行
B．时，液面始终是平行四边形
C．当时，有液体的部分可呈正三棱锥
D．当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大值为
【答案】ACD
【解析】液面始终是水平面，与场面平行，A正确；
时，体积是正方体的一半，如液面正好过棱的中点，此时液面是正六边形，不是平行四边形，B错；
液面过的中点时，此时，有液体的部分是正三棱锥，C正确；
当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积的液面面积最大时就是B中所列举的正六边形（此时液体体积是正方体体积的一半），面积为， D正确．
故选：ACD．
18．（2025·高三·江西·阶段练习）如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（ ）
A．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C．当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为
D．当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为
【答案】BCD
【解析】作圆锥的轴截面如图：
设，
由相似三角形可得：
所以
对于A：由于液体高度与圆锥高度之比为，
所以容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A错误．
对于B：设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，解得，B正确．
对于C：因为，，
所以当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为，C正确．
对于D:当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，
设容器内液体的高度为，体积，
则，，D正确．
故选: BCD
19．（2025·高三·安徽阜阳·期末）如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内装有一定体积的水，容器的底面半径，为容器下底面的直径．如图②，将该容器绕点倾斜后，当且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的点到容器下底面距离的最大值与最小值分别为，；当时，水的最大深度为，则下列说法正确的是（ ）
A．若水面形状为椭圆，则该椭圆的短轴长为2
B．若水面形状为椭圆，则该椭圆的离心率为
C．若容器的高为4，，则
D．若容器的高为4，，则
【答案】BD
【解析】对于A，当容器倾斜时，水面形成一个椭圆．椭圆的短轴长等于圆柱底面的直径，
即．因此，该椭圆的短轴长为4，而不是．故A是错误的．
对于B，当容器倾斜时，短半轴长，长半轴长，
所以，故B正确；
对于C， 当时，水的体积，
当时，水的体积保持不变，此时水的体积可以看作是一个底面为弓形的柱体，
设容器高为，根据水的体积不变可得：
，
(该式是根据水的体积的两种表示方法列出的，左边是竖直放置时水的体积，右边是倾斜放置时水的体积，由一个矩形和一个半圆柱组成)，
若容器的高为4，，，
代入上式可得：，
设，则，此方程无解，故C错误.
对于D，若容器的高为4，，，
代入上式可得：，
设，则，解方程可得：，
所以，故D正确；
故选：BD.
20．（2025·河北唐山·一模）在透明的密闭正三棱柱容器内灌进一些水，已知．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（ ）
A．水面形状的变化：三角形 梯形 矩形
B．当时，水面的面积为
C．当时，水面与地面的距离为
D．当侧面与地面重合时，水面的面积为12
【答案】ABC
【解析】由题知，正三棱柱的体积，
对于选项A，当容器按题设方向倾斜至时，水面形状是三角形，再倾斜时，水面形状是梯形，直到侧面与地面重合时，水面形状是矩形，所以选项A正确，
对于选项B，如图1，当容器按题设方向倾斜至时，设水面与棱的交点为，
设，又三棱柱为正三棱柱，取中点，连接，
易知，又，面，
所以面，所以到平面的距离为，
所以，解得，
此时水面图形为，又，，
取中点，则，且，所以，故选项B正确，
对于选项C，如图2，当容器按题设方向倾斜至时，设水面与棱的交点为，
易知，设，由，得到，
因为水面始终与地面平行，始终与水面平行，且始终在地面上，
所以水面与地面的距离，即到平面的距离，
取中点，连接，设交于，连接，
易知，又，面，所以面，
又，所以面，过作于，连接，
因为面，所以，又，面，
所以，即为水平面到地面的距离，
如图3，过作于，易知，所以，
得到，又，所以，
故选项C正确，
对于选项D，如图4，当侧面与地面重合时，水面为矩形，设，
则由，解得，所以，
故，所以选项D错误，
21．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（ ）
A．平面平面
B．点到平面的距离为8
C．当时，水面的形状是四边形
D．当时，所装的水的体积为
【答案】ABD
【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则,
因为静止时水面与表面的交线与的夹角为0，所以平面，
设平面的法向量为，，
点到平面的距离为，，
，而，
令，所以平面的法向量为，
对A，，，，，
故平面，
所以平面的法向量为，又，
所以平面平面，故A正确；
对B，，所以到平面的距离为，故B正确；
对C，因为，所以，当时，截面为六边形，故C错误；
对D，当时，设水面与的交点分别为，设，则，
则，，故，
设水面与交点为，所以，
，此时过作交于点，连接，
设的面积为,的面积为，则，，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD
22．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（ ）
A．当底面水平放置后，固定容器底面一边于水平地面上，将容器绕着转动，则没有水的部分一定是棱柱
B．转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点
C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥
D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为
【答案】AD
【解析】A：当平面水平放置时（始终保持水平），则平面平面，
所以有水的部分是棱柱，由图可知，没有水的部分也是棱柱，故A正确；
B：当平面水平放置时，假设都为所在棱的中点，
设水面到底面的距离为，，
所以水的体积为，
又转动前水的体积为，
所以不为所在棱的中点，故B错误；
C：在翻滚 转动容器的过程中，
当平面水平放置时，三棱锥的体积取到最大值，如图，
此时，
而水的体积为，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误；
D：取的中点，连接，取的中点O，连接OA，
则D为的外接圆圆心，O为三棱柱外接球的球心，
所以为外接球的半径，且，
所以直三棱柱外接球体积.
由选项B可知，容器中水的体积为，
又，所以，
当且仅当时等号成立，所以，
则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为，
即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为，故D正确.
故选：AD.
23．（2025·高二·湖北武汉·期末）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（ ）
A．有水的部分始终呈棱柱形
B．水面所在四边形的面积为定值
C．棱始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值
【答案】ACD
【解析】对A，由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故A正确；
对B，因为水面EFGH所在四边形的面积，从图2，图3可以发现，有条边长不变，而另外一条长随着倾斜度变化而变化，所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故B错误；
对C，因为棱A1D1始终与BC是平行的，BC与平面始终平行，故C正确；
对D，因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，则底面也不变，即BE BF是定值，故D正确．
故选：ACD．
24．（2025·高一·湖北武汉·期末）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（ ）
A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满
B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
【答案】AC
【解析】设图1中水的高度，几何体的高为，底面正方形的边长为；
则图2中水的体积为，即，解得，
所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误．
对于A，往容器内再注入升水，水面将升高，则，容器恰好能装满，A正确；
对于C，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，占容器内空间的一半，
所以水面也恰好经过点，C正确；
对于D，任意摆放该容器，当水面静止时，点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，所以水面都恰好经过点，D正确．
对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，
因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为，
可得，由，可得，可得，
所以的体积为，
可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确.
故选：AC．
三、填空题
25．（2025·高三·全国·专题练习）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面所在四边形的面积为定值；
（4）棱始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．
其中所有正确命题的序号是
【答案】（1）（2）（4）（5）
【解析】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，
其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，
所以（1）和（2）正确；
因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，
所以水面四边形的面积是变化的，（3）错误；
因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以（4）正确；
因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变 ，即是定值，
所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确，
故答案为：（1）（2）（4）（5）.
26．（2025·高三·河北衡水·阶段练习）如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为 ．
【答案】
【解析】如图，平面与水面的夹角为，
则平面与水平桌面的夹角为．
由题意可得三棱柱的体积为，
所以，解得，
所以．
水面距离桌面的高度为．
故答案为：.
27．（2025·高二·四川内江·期末）如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE BF是定值．
其中所有正确命题的序号是 ．
【答案】①②④⑤
【解析】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以①②正确；
因为水面EFGH所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形EFGH的面积是变化的，③不对；
因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以④正确；
因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变 ，即BE BF是定值，
所以⑤正确；综上知①②④⑤正确，
故填①②④⑤.
28．（2025·山东泰安·一模）如图，在水平放置的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），小球分别与上底面、下底面相切，小球与圆柱壁相切，且在轴截面中，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为 ，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为 ．
【答案】 ； .
【解析】根据题意，作出圆柱的轴截面图，连接，则为等边三角形，
设圆柱底面半径为，高为，小球的半径为，则，
故，故，所以，
故，故球的体积为，
圆柱的侧面积为，
球的表面积为，故圆柱的侧面积与球的表面积的比值为.
故答案为：，.
29．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为 .
【答案】
【解析】
如图，取的中点，连接，取的中点，连接，则为外接圆的圆心，为三棱柱外接球的球心，
所以为外接圆半径，且，
所以直三棱柱的外接球的体积为，
又水的体积，且，当且仅当时取等号，
则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为，
故答案为：.
30．（2025·全国·模拟预测）如图，桌面上的无盖正方体容器内装有高度为的水，．现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，当容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形玻璃瓶时，容器内水面交棱于，且．若不考虑容器厚度及其他因素影响，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知当旋转且水溢出后，剩余的水在正方体容器中形成一个三棱柱，
故由长方体、棱柱与球的体积公式可知，
解得．
故答案为：
31．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值： .
【答案】37（答案不唯一）
【解析】如图，在正方体中，
若要使液面形状不可能为三角形，
则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC,
若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，
设正方体内水的体积为V，而，
而（升），
（升）
所以V的取值范围是.
故答案为：
32．（2025·全国·模拟预测）如图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，小孔(孔的大小不计)到的距离为0.75米，现将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上的投影面积大小为 平方米．
【答案】
【解析】如图，过作于，易知，
则，因为水平面与桌面平行，
所以，平面和平面分别与桌面所成角的余弦值分别为
，
水槽的投影为：正方形和正方形在桌面上的投影.
所以投影面积为.
故答案为：
33．（2025·高三·全国·专题练习）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面所在四边形的面积为定值；③棱始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，是定值.其中正确的命题是 .
【答案】①③④
【解析】根据棱柱的定义即可判断①；注入的水构成三棱柱时，水面面积可能变大，也可能变小，即可判断②；由，，所以，即可判断③；因为水是定量的(定体积)利用棱柱的体积公式即可判断④.对于①：由题图，由于固定，所以在容器倾斜的过程中始终有，且平面平面，显然没有水的部分是棱柱（四棱柱，三棱柱，五棱柱），且为一条侧棱，故①是正确的，
对于②：当注入的水构成四棱柱时，水面面积等于上下地面面积，当注入的水构成三棱柱时，水面面积可能变大，也可能变小，故②是错误的；
对于③，因为，，所以且平面，
所以平面(水面).所以③是正确的；
对于④，因为水是定量的(定体积)，
所以，即，
所以 (定值)，故④是正确的.
故答案为：①③④
34．（2025·全国·模拟预测）一个正方体形状的容器，是两个侧面的面对角线，且，该容器如图放置，点A恰在水平面上，使得矩形恰与水平面垂直．已知点B到平面的距离为，点C到平面的距离为，点D到平面的距离为．容器中装有水，若水面到平面的距离为，则所装的水的体积为 ．
【答案】
【解析】不妨设正方体的边长为，则，
如图，过点B作平面，过点C作平面，
水面与交于点M，与交于点N，则，
因为四边形是矩形，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
则，解得：．
所以，
同理可得，．
因为容器内部剩余部分是一个棱台，如下图，连接，
设水面与平面交于直线，
由正方体的性质知，平面，所以平面，
所以,又因为，，平面，
所以平面，又因为矩形与平面垂直，
所以平面，因为水面与平面平行，所以平面，
假设与相交，而，平面，
则平面平面，又平面与平面相交，故矛盾，
所以，故侧棱台上底、下底为等腰直角三角形，
则侧棱台上底为等腰直角三角形，直角边长为，
棱台下底也为等腰直角三角形，直角边长为，
所以上底面面积，
下底面面积，高，
所以剩余部分的体积为．
所以水的体积为．
故答案为：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第10讲 立体几何装液体问题
一、单选题
1．（2025·广西南宁·模拟预测）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北宜昌·一模）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（ ）
①液面刚好同时经过，，三点；
②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为；
③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·云南丽江·一模）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2025·高二·湖北·期中）如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量在向量上的投影向量为
C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为
D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个
6．（2025·高三·甘肃白银·阶段练习）如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·广东深圳·一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·高三·广东汕头·期中）图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（ ）
A．3 B．4 C． D．6
9．（2025·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），然后将球取出，则这时容器中水的深度约为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·高一·湖北武汉·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·高三·湖南永州·阶段练习）北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）
A． B． C． D．
12．（2025·高三·贵州贵阳·期末）如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
13．（2025·高三·广东广州·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
14．（2025·高二·江西上饶·期末）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·高二·河北·期末）如图所示，连接棱长为2的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，直至注满水为止.图中水面的高度为，水面对应四边形的面积为，容器内水的体积为，则下列说法正确的是（ ）
A．是的函数 B．是的函数
C．是的函数 D．是的函数
16．（2025·高三·上海·阶段练习）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（ ）
A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题
二、多选题
17．（2025·山东菏泽·一模）透明塑料制成的正方体密闭容器的体积为注入体积为的液体.如图，将容器下底面的顶点置于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）
A．液面始终与地面平行
B．时，液面始终是平行四边形
C．当时，有液体的部分可呈正三棱锥
D．当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大值为
18．（2025·高三·江西·阶段练习）如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（ ）
A．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C．当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为
D．当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为
19．（2025·高三·安徽阜阳·期末）如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内装有一定体积的水，容器的底面半径，为容器下底面的直径．如图②，将该容器绕点倾斜后，当且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的点到容器下底面距离的最大值与最小值分别为，；当时，水的最大深度为，则下列说法正确的是（ ）
A．若水面形状为椭圆，则该椭圆的短轴长为2
B．若水面形状为椭圆，则该椭圆的离心率为
C．若容器的高为4，，则
D．若容器的高为4，，则
20．（2025·河北唐山·一模）在透明的密闭正三棱柱容器内灌进一些水，已知．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（ ）
A．水面形状的变化：三角形 梯形 矩形
B．当时，水面的面积为
C．当时，水面与地面的距离为
D．当侧面与地面重合时，水面的面积为12
21．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（ ）
A．平面平面
B．点到平面的距离为8
C．当时，水面的形状是四边形
D．当时，所装的水的体积为
22．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（ ）
A．当底面水平放置后，固定容器底面一边于水平地面上，将容器绕着转动，则没有水的部分一定是棱柱
B．转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点
C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥
D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为
23．（2025·高二·湖北武汉·期末）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（ ）
A．有水的部分始终呈棱柱形
B．水面所在四边形的面积为定值
C．棱始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值
24．（2025·高一·湖北武汉·期末）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（ ）
A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满
B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
三、填空题
25．（2025·高三·全国·专题练习）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面所在四边形的面积为定值；
（4）棱始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．
其中所有正确命题的序号是
26．（2025·高三·河北衡水·阶段练习）如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为 ．
27．（2025·高二·四川内江·期末）如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE BF是定值．
其中所有正确命题的序号是 ．
28．（2025·山东泰安·一模）如图，在水平放置的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），小球分别与上底面、下底面相切，小球与圆柱壁相切，且在轴截面中，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为 ，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为 ．
29．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为 .
30．（2025·全国·模拟预测）如图，桌面上的无盖正方体容器内装有高度为的水，．现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，当容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形玻璃瓶时，容器内水面交棱于，且．若不考虑容器厚度及其他因素影响，则 ．
31．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值： .
32．（2025·全国·模拟预测）如图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，小孔(孔的大小不计)到的距离为0.75米，现将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上的投影面积大小为 平方米．
33．（2025·高三·全国·专题练习）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面所在四边形的面积为定值；③棱始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，是定值.其中正确的命题是 .
34．（2025·全国·模拟预测）一个正方体形状的容器，是两个侧面的面对角线，且，该容器如图放置，点A恰在水平面上，使得矩形恰与水平面垂直．已知点B到平面的距离为，点C到平面的距离为，点D到平面的距离为．容器中装有水，若水面到平面的距离为，则所装的水的体积为 ．
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