第9讲 外接球、内切球、棱切球问题
一、单选题
1．（2025·高三·安徽·阶段练习）在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线与所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为；
③若点为棱上的动点，则的最小值为；
④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
4．（2025·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·湖北·二模）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·福建厦门·二模）已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·高三·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·江西新余·模拟预测）“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.
A． B． C． D．
11．（2025·湖北·模拟预测）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·四川·一模）一正四棱锥，，当其外接球半径与内切球半径之比最小时，为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2025·四川德阳·模拟预测）圆锥的表面积为，其内切球的表面积为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·天津·一模）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为
C．勒洛四面体的体积是
D．勒洛四面体内切球的半径是
16．（2025·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·高三·陕西西安·阶段练习）已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·高三·河南·阶段练习）在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2025·高三·广东茂名·阶段练习）已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
20．（2025·高三·海南海口·期末）在棱长为2正方体中，、分别为棱、的中点，过直线的平面截该正方体外接球所得的截面面积为.下列选项正确的是（ ）
A．与所成的角为
B．的最大值为
C．当取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形
D．的最小值为
21．（2025·高三·河北邢台·阶段练习）如图，圆锥的底面直径，母线，点是母线的中点．以下结论正确的是（ ）
A．沿圆锥的侧面从点到达点的最短距离为
B．圆锥的外接球表面积为
C．过点作平行于母线的平面，截圆锥所得抛物线的焦准距为3
D．过点作动直线，满足与母线成角，直线形成的图形被圆锥底面所在平面截得的图形为椭圆
22．（2025·高三·广东深圳·开学考试）如图，四棱锥底面是边长为4的正方形，若点M在四边形内（包含边界）运动，N为的中点，，，则（ ）．
A．当M为的中点时，异面直线与所成角为
B．当平面时，点M的轨迹长度为
C．当与平面所成的角是时，点M到的距离可能为
D．点Q是四棱锥外接球上的一点，则的最大值是
23．（2025·高三·重庆渝中·阶段练习）柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（ ）
A．该正八面体的外接球的体积为
B．平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为
C．甲能构成正三角形的概率为
D．甲与乙均能构成正三角形的概率为
24．（2025·高三·吉林·期末）如图，中，，，是中点，是边上靠近的四等分点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥，则（ ）
A．到平面的距离的最小值为
B．存在点使得平面平面
C．中点的运动轨迹长度为
D．四棱锥外接球表面积的最小值为
25．（2025·四川成都·二模）如图，在直棱柱中，，是中点.过作与平面平行的平面，若平面平面，则（ ）
A．四点共面
B．棱柱没有外接球
C．直线所成的角为
D．四面体与四面体的公共部分的体积为
26．（2025·陕西咸阳·一模）已知正方体的棱长为2，点P，Q满足，，则（ ）．
A．存在Q，使得与平面所成的角为
B．若，则点Q的轨迹长度为
C．平面截正方体所得截面的面积为
D．直线被正方体的外接球所截得的线段长度为
27．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面CEF，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为
C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为
D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为
28．（2025·高三·湖北·阶段练习）如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若与平面所成的角为，则
C．的最小值为
D．若三棱锥的外接球表面积为，则
29．（2025·高三·安徽池州·阶段练习）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为
B．当时，的最小值为
C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为
D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是
30．（2025·湖南长沙·三模）已知四面体ABCD中，面BCD，，E、F分别是棱AC、AD上的点，且，.记四面体ABEF、四棱锥、四面体ABCD的外接球体积分别是、、，则的值不可能是（ ）
A．1 B． C． D．
31．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知圆柱的高为2，为下底面圆的一条直径，为上底面圆上任意一点，球内切于圆柱，则（ ）
A．球的体积为 B．直线，为异面直线
C．直线与圆柱上底面所成的角为 D．平面截球所得截面面积最小值为
32．（2025·高二·辽宁·开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式） 金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（ ）
A．正八面体的外接球体积为
B．正八面体的内切球表面积为
C．若点为棱上的动点，则的最小值为
D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
33．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，M为平面ABCD内一动点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则的最小值为
B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若与AB所成的角为，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线，所成角为
34．（2025·高一·安徽宣城·期末）如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．的最小值为
D．三棱锥内切球的半径是
35．（2025·广东惠州·三模）在四面体中，，，，，分别是棱，，上的动点，且满足均与面平行，则（ ）
A．直线与平面所成的角的余弦值为
B．四面体被平面所截得的截面周长为定值1
C．三角形的面积的最大值为
D．四面体的内切球的表面积为
36．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为2的正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A．与所成角的余弦值为
B．过三点A、M、的截面面积为
C．四面体的内切球的表面积为
D．E是边的中点，F是边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．
37．（2025·海南·模拟预测）在四面体中，都是边长为6的正三角形，棱与平面所成角的余弦值为，球与该四面体各棱都相切，则（ ）
A．四面体为正四面体
B．四面体的外接球的体积为
C．球的表面积为
D．球被四面体的表面所截得的各截面圆的周长之和为
38．（2025·高三·河北沧州·阶段练习）已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．球在正方体外部的体积大于
C．球内接圆柱的侧面积的最大值为
D．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则
三、填空题
39．（2025·江西·模拟预测）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥体积的最小值为，则二面角的取值范围是 ；该四棱锥外接球表面积的最小值是 .
40．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为 ；该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于 ．
41．（2025·高三·江苏南通·期末）在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝3，BC＝CD＝3，BC⊥CD，将△ABD沿BD折起，使点A到达A′，且，则四面体A′BCD的外接球O的体积为 ；若点E在线段BD上，且BD＝4BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 .
42．（2025·高三·全国·专题练习）已知菱形的各边长为2，．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．则三棱锥的体积为 ，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为 ．
43．（2025·广东茂名·二模）如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是 .
44．（2025·高二·四川·期中）在三棱锥中，平面平面， ，，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
45．（2025·高三·河北石家庄·阶段练习）已知球是正四面体的外接球，为棱的中点，是棱上的一点，且，则球与四面体的体积比为 .
46．（2025·高三·全国·专题练习）已知球是棱长为2的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点．
①若，则动点的轨迹长度为；②三棱锥的体积的最大值为；③的取值范围是；④若，则的大小为定值；所有正确结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）．
47．（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是 .
48．（2025·高三·福建·阶段练习）已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时， ．
49．（2025·高三·湖南·期中）三棱锥中，，平面平面，且.记的体积为，内切球半径为，则的最小值为 .
50．（2025·广西·二模）在三棱锥中，，，，的面积分别3，4，12，13，且，则其内切球的表面积为 ．
51．（2025·高三·全国·专题练习）有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，且，均与球相切，则球的半径为 .
52．（2025·高三·四川内江·阶段练习）已知正四棱锥的底面边长为3，正四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上仅有一点满足且，则球的表面积为 ．
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一、单选题
1．（2025·高三·安徽·阶段练习）在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，由题设.
三棱锥中，，，，
将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，
则有，
三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
所以，
由基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以外接球表面积.
故选：B.
2．（2025·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线与所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为；
③若点为棱上的动点，则的最小值为；
④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】对①：连接，取中点，连接、，
由题意可得、为同一直线，、、、四点共面，
又，故四边形为菱形，
故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角，
即异面直线与所成的角等于，故①错误；
对②：由四边形为正方形，有，
故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等，
即此八面体的外接球球心为，半径为，
设此八面体的内切球半径为，
则有，化简得，
则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故②正确；
对③：将延折叠至平面中，如图所示：
则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值，
则，故③错误.
对于④，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有，
解得，
由②可知，点到平面的距离为，
所以，
这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，
它的周长是，
根据对称性可知动点的轨迹长度为，故④正确.
正确的编号有②④.
故选：B.
3．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱.
因为与所成的角为，所以或.
设，外接球半径记为，外接球的球心如图点.
易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
于是，所以.
在中，，
在中，由余弦定理得，
显然当时，外接球的半径会更小，此时，
所以，
所以，故它的外接球半径的最小值为2.
故选：B.
4．（2025·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方形中心为，取中点，连接、、，
则，，平面，
所以为二面角的平面角，即，
设正方形的边长为，则，
又，，所以，
即，解得（负值已舍去），
则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，
则，解得，
所以外接球的表面积.
故选：A
5．（2025·湖北·二模）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接，交于点，易得为的外心．
连接．交于点，易知平面，则三棱锥的外接球球心在上．
设的外接圆圆心为平面，
由正方体中棱平面,得,又易得分别是中点，
所以．
设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为．则，
设，，
，又，
．
设，则，
设，则，
在单调递增，又，
所以在单调递减，在单调递增，又，
所以．
故选：C．
6．（2025·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为等腰直角三角形，，
所以的外接圆的圆心为的中点，且，
设的中点为，连接，则，则平面，
设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得在上，
设，，外接球的半径为，
因为，所以，
即，又，则，
因为，所以
所以三棱锥外接球表面积的最大值为.
故选：B.
7．（2025·福建厦门·二模）已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径.
∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
∵平面，，∴平面平面，
∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
∴点到平面的距离为，
∴圆的半径为，
由得，，
∴，
∴的最小值为.
故选：A.
8．（2025·高三·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形的内切圆，圆心为，
设上下底面的中心分别为．
过作于，连接，
由图可知，
则，
过作于，，
即四棱台的高为，
设外接球球心为，设外接球的半径为，
则
，
解得，
则外接球表面积为．
故选：A.
9．（2025·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取中点，中点，连接，，，
因是正三角形，则，又是矩形，有，
而平面平面，平面平面，平面，平面，
因此平面，平面，
又，则平面，平面，则，，
，平面，则平面，又平面，
所以，而，则，显然，
由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆，
此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形，
设，又，，则球的半径，
又四棱锥的表面积为，
由，解得，
，，
所以.
故选：C.
10．（2025·江西新余·模拟预测）“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图所示，取中点为，，
为方便计算，不妨设，
由，可知，
又、分别为所在棱靠近端的三等分点，
则，
且，、，，平面，
即平面，
又平面，则平面平面，
设肉馅球半径为，，
由于、、分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅，
则到的距离，，，
又，解得：，
故，
又，
解得，，
所以：，解得，，
由以上计算可知：为正三棱锥，
故，
所以比值为.
故选：B.
11．（2025·湖北·模拟预测）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取的中点为H，的中点为N，连接，，，
球O为四棱锥的内切球，
底面为矩形，侧面为正三角形且垂直于底面，
则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，
此圆为的内切圆，半径为r，与，分别相切于点E，F，
平面平面，交线为，平面，
为正三角形，有，平面，
平面，，
，，则有，，，
则中，，解得.
所以，四棱锥内切球半径为1，连接.
平面，平面，，
又，平面，，
平面，平面，可得，
所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径，
又.
所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为.
故选：B.
12．（2025·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接，，则，，
过点作⊥底面，垂足在上，且，
所以，故，
点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥，
设最大球的半径为，则，
因为∽，所以，即，解得，
即，则，故
设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为，
连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，
则，则，
又，所以，解得，
又，故，解得，
所以，
模型中九个球的表面积和为.
故选：B
13．（2025·四川·一模）一正四棱锥，，当其外接球半径与内切球半径之比最小时，为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，正四棱锥中，正方形的对角线相交于点，则平面，
如图所示，设正四棱锥外接球的球心为，，
连接，则，
因为，所以,
在中， ,即，
如图所示，设正四棱锥内切球的球心为， ，
取的中点，连接,
设内切球与面切于点,与面切于点,易知,,
则，
所以，
令，则，
所以，
当且仅当即时，等号成立，取得最小值，
所以，
所以，
故选：D
14．（2025·四川德阳·模拟预测）圆锥的表面积为，其内切球的表面积为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内切球半径为，
如图作出圆锥的轴截面，其中设为外接圆圆心，为切点，为圆锥母线，
连接.
设，，.
，，，又，
，，
，
则圆锥表面积，圆锥内切球表面积，
所求比值为，
令，则，
则，且当时，取得最大值，
故，即的取值范围是.
故选：B.
15．（2025·天津·一模）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为
C．勒洛四面体的体积是
D．勒洛四面体内切球的半径是
【答案】D
【解析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，故A不正确；
将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如下图所示：
连接，交于中点，交于中点，连接，易得,
则，
而，
所以，
故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于4，故B错误，
如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，
连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径.
如图3, 在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，
连接、、，由正四面体的性质可知在上.
因为, 所以，则.
因为，
即，解得，
则正四面体外接球的体积是，
而勒洛四面体的体积小于其外接球的体积，C错误；
因为，所以 ,
所以，勒洛四面体内切球的半径是，则 D正确.
故选：D.
16．（2025·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上.
连接并延长交于，则为的中点，，连接，
因为平面，平面，所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以，
过作，交于点，设球的半径为，
则，因为，，所以，，，
由勾股定理得，
在中，，所以，
设，则，
因为，从而，
所以（负值已舍去），所以；
故选：D.
17．（2025·高三·陕西西安·阶段练习）已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，是的中心，
根据对称性，球心在上，球与、的切点分别为，，
且，，为球的半径．
由勾股定理易得，由正弦定理可求得，
由勾股定理可求得．
∵，均为球的切线，∴，
∵与相似，∴，
即，∴，
∴球的体积为．
故选：B．
18．（2025·高三·河南·阶段练习）在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取的中心，连接，
则平面，且与棱均相切的球的球心在上，
连接并延长交于，则为的中点，，
连接，易证，
过作，交于点，
设球的半径为，则，
由题意易求得，
由勾股定理得，
在中，，所以，
设，则，
因为，从而，所以，
所以，
故球的表面积为.
19．（2025·高三·广东茂名·阶段练习）已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作正三棱柱的中截面正△，作上下底面三角形内切圆，
与正三棱柱的所有棱都相切的球必过△的外接圆和上下底面内切圆，
取上下底面内切圆心、，连接，取中点，为△的外心，
以为球心，以为半径的球，此球即为与正三棱柱所有棱都相切的球，
∴，，，
在直角△OMN中，由得，，，
∴球的半径，
∴球的体积.
故选：B.
二、多选题
20．（2025·高三·海南海口·期末）在棱长为2正方体中，、分别为棱、的中点，过直线的平面截该正方体外接球所得的截面面积为.下列选项正确的是（ ）
A．与所成的角为
B．的最大值为
C．当取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形
D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，连接，如下图所示：
由于、分别为棱、的中点，所以，
所以与所成的角与与所成的角相等，即为（或其补角）；
易知为正三角形，所以，
因此与所成的角为，可得A错误；
对于B，设正方体外接球的半径为，则，
解得,
因此当截面过球心时，截面圆半径最大，为球的半径,
此时的最大值为，即B正确；
对于C，由选项B可知当取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形，如下图所示：
图中六边形均为所在棱的中点，因此C正确；
对于D，当球心到截面的距离最大时，截面面积最小，
设正方体外接球的球心为，如下图：
显然为边长为的正三角形，所以到的距离为，
即可知当球心到截面的距离为时，截面半径为，
此时的最小值为，即D正确.
故选：BCD
21．（2025·高三·河北邢台·阶段练习）如图，圆锥的底面直径，母线，点是母线的中点．以下结论正确的是（ ）
A．沿圆锥的侧面从点到达点的最短距离为
B．圆锥的外接球表面积为
C．过点作平行于母线的平面，截圆锥所得抛物线的焦准距为3
D．过点作动直线，满足与母线成角，直线形成的图形被圆锥底面所在平面截得的图形为椭圆
【答案】ABD
【解析】A选项，将圆锥侧面展开，如下图，连接，
则沿圆锥的侧面从点到达点的最短距离即为的长，
直径，母线，则，则，
故，
所以为等边三角形，，A正确；
B选项：设外接球的半径为，，圆锥的高，
所以，
由勾股定理得，即，解得，
故外接球表面积，B正确；
C选项，点为母线中点，过点与母线的平面必过底面圆圆心，交底面圆于、，
如下图，，设底面圆心为，则，
以为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，
将代入得，，解得，则焦准距为，C错误；
D选项，如图所示，动直线轨迹是一个圆锥，
其中此圆锥的轴为，故圆锥的底面与动直线轨迹圆锥底面不平行，
且，而，故，，
故直线的轨迹被圆锥底面截得的椭圆，D正确.
故选：ABD
22．（2025·高三·广东深圳·开学考试）如图，四棱锥底面是边长为4的正方形，若点M在四边形内（包含边界）运动，N为的中点，，，则（ ）．
A．当M为的中点时，异面直线与所成角为
B．当平面时，点M的轨迹长度为
C．当与平面所成的角是时，点M到的距离可能为
D．点Q是四棱锥外接球上的一点，则的最大值是
【答案】ACD
【解析】对于A，因为为正方形，连接与，相交于点O，连接，
则，，两两垂直，
故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
N为的中点，则．
当M为的中点时，，，，
设异面直线与所成角为，
，，故，A正确；
对于B，设Q为的中点，N为的中点，
则，平面，平面，则平面，
又平面，，平面，
又，设，
故平面平面，平面平面，
平面平面，则，
则H为的中点，点M在四边形内（包含边界）运动，则，
点M的轨迹是过点O与平行的线段，长度为4，B不正确；
对于C，即点M的轨迹以中点K为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如图），
K到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为，
因为，所以存在点M到的距离为，C正确；
对于D，，的最大值，D正确．
故选：ACD．
23．（2025·高三·重庆渝中·阶段练习）柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（ ）
A．该正八面体的外接球的体积为
B．平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为
C．甲能构成正三角形的概率为
D．甲与乙均能构成正三角形的概率为
【答案】ABD
【解析】A：由棱长为2，得正八面体上半部分的斜高为，高为，
则正八面体的体积为．
则正八面体的外接球的球心为，半径为，
所以外接球的体积为，故A正确；
B：由于到平面的距离等于到平面的距离，
在中，过作的垂线，垂足为，则平面．
由，得，
平面截正八面体的外接球所得截面是圆，半径，
所以所得截面的面积为，故B正确；
C：甲随机选择的情况有种，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种，
甲构成正三角形的概率为，故C错误；
D：乙随机选择的情况有种，乙构成正三角形，只有一种情况：
上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，
或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，
共有种，概率为；又甲能构成正三角形的概率为，
所以甲与乙均能构成正三角形的概率为，故D正确.
故选：ABD．
24．（2025·高三·吉林·期末）如图，中，，，是中点，是边上靠近的四等分点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥，则（ ）
A．到平面的距离的最小值为
B．存在点使得平面平面
C．中点的运动轨迹长度为
D．四棱锥外接球表面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，当点与点无限接近时，到平面的距离趋近去，
所以到平面的距离没有最小值，故A错误；
对于B，连接点与中点，连接，
因为，所以，
由题意可得为中点，是中点，
故，所以，
故，，
又，、平面，
故平面，
又平面，所以，
则当时，
又、平面，，故有平面，
又平面，故平面平面，
即需，由题意可得，
，，
即当时，有，
由，故存在点，使，故B正确；
对D：由，故，由，故，
即四边形四点共圆，连接，为该圆直径，
故四棱锥外接球球心必在过中点，且垂直平面的直线上，
则当球心在中点时，四棱锥外接球半径最小，
此时中点到点的距离等于一半，故，
由，有平面，
又平面，故，
故球心可在中点，
由是中点，故，则，
则半径为，此时表面积为，
即四棱锥外接球表面积的最小值为，故D正确；
对于C，如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，
，
设线段的中点坐标为，，
由，
得，所以，即，
由，
得，整理得，
所以中点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，
所以中点的运动轨迹长度为，故C正确.
故选：BCD.
25．（2025·四川成都·二模）如图，在直棱柱中，，是中点.过作与平面平行的平面，若平面平面，则（ ）
A．四点共面
B．棱柱没有外接球
C．直线所成的角为
D．四面体与四面体的公共部分的体积为
【答案】ABD
【解析】在直棱柱中，平面，又，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
对于A，，即，又直线，
因此，即四点共面，A正确；
对于B，在梯形中，，则为锐角，，
因此，梯形无外接圆，则棱柱没有外接球，B正确；
对于C，平面，平面，平面平面，
则，令，连接，平面平面，同理，
因此直线所成的角等于直线所成的角，由，得，
则，，，
直线所成的角不为，C错误；
对于D，令，
则点是直棱柱所在侧面矩形的中心，
，四边形是平行四边形，
平面，则平面，同理平面，而，
平面，因此平面平面，同选项C得，
而，则四边形为平行四边形，，则平面，
平面，四边形的面积，
四面体与四面体的公共部分为八面体，
所以四面体与四面体的公共部分的体积为，D正确.
故选：ABD
26．（2025·陕西咸阳·一模）已知正方体的棱长为2，点P，Q满足，，则（ ）．
A．存在Q，使得与平面所成的角为
B．若，则点Q的轨迹长度为
C．平面截正方体所得截面的面积为
D．直线被正方体的外接球所截得的线段长度为
【答案】ACD
【解析】由，即是正方体底面（含边界）内任意一点，
若为中点，易知，故面即为面，如下图示，
若与重合，则与平面所成的角为，
若与重合，则与平面所成的角为，
故与平面所成角的一个可取范围为，
又，则，
所以，，
故存在Q，使得与平面所成的角为，A对；
构建如下图示的空间直角坐标系，则且，
所以，， ，
所以，则，显然直线过，，
所以点Q的轨迹长度为，B错.
若为的中点，则，故四点共面，如下图，
所以四边形即为平面截正方体所得截面，且为等腰梯形，
，，故梯形的高为，
所以截面的面积为，C对；
由正方体的外接球球心为正方体的中心，如下图，
，，且，则到直线的距离，
又外接球半径是正方体体对角线的一半，为，
故直线被正方体的外接球所截得的线段长度为，D对.
故选：ACD
27．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面CEF，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为
C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为
D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，，
所以，又E，F分别是棱的中点，
所以，所以，
平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
因为N，E分别是棱的中点，所以，且，
所以四边形CDNE为平行四边形，
所以，又平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
又，MN，平面BDNM，
所以平面平面CEF，
点P是正方形内的动点，且平面CEF，
所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确；
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，
由题意得，设，
，
所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，
所以点P的轨迹长度为，故B错误：
如图，将平面CEF翻折到与平面共面，
连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值，
∵，且，
所以点Q为EF的中点，所以，
所以，
即的最小值为，故C正确：
如图，连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为，
若P是棱的中点，则，
所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，
过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上，
连接OP，设，则，
连接OC，，所以，
所以，解得，
所以，
点到平面的距离为，
则球心到平面的距离为，
则截面圆的半径为，
所以截面的面积为，故D正确；
故选：ACD．
28．（2025·高三·湖北·阶段练习）如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若与平面所成的角为，则
C．的最小值为
D．若三棱锥的外接球表面积为，则
【答案】BCD
【解析】如图，，
连接，在中，，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是，故A错误；
连接，由于平面，所以与平面所成的角为，如图，
所以，因为，所以，故B正确；
设在底面的射影为，为中点，连接，
则，又，
则，而，
所以，故，故C正确；
以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴，如图，
则点的坐标满足，可设的坐标为，
由球心在BC的中垂线（即过外接圆圆心且与底面垂直的直线）上，可设球心坐标为，
因为，所以，
解得，故，所以外接球的半径，
所以，故D选项正确.
故选：BCD.
29．（2025·高三·安徽池州·阶段练习）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为
B．当时，的最小值为
C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为
D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A，取相交于点的中点为，如下图所示：
当时，即，
由平面向量线性运算法则可知，点在线段上，又,
；即A不正确；
对于B，当时，由，利用共线定理可得，三点共线，即点在线段上；
由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等，所以；
取平面进行平面距离分析，如下图所示：
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
此时点为线段的中点，即的最小值为，故B正确；
对于C，由图可知，与所成角都为，由可知，点在平面内，
若直线与所成角为，在线段上取点，使，则直线与所成角为；
则点的轨迹是以为圆心，半径为，且在平面内的半圆弧，如下图所示：
所以动点的轨迹长为，故C正确；
对于D，当时，取的中点为，即；
由可知，三点共线，即点在线段上，如下图所示：
易知三棱锥外接球球心在直线上，设球心为；
作于点，设，易知，
因为，则，得，则，
设外接球半径为，则，解得；
所以，
由二次函数的性质可知，当时，半径最小为；当时，半径最大为；
又，所以半径的取值范围是，即D正确.
故选：BCD.
30．（2025·湖南长沙·三模）已知四面体ABCD中，面BCD，，E、F分别是棱AC、AD上的点，且，.记四面体ABEF、四棱锥、四面体ABCD的外接球体积分别是、、，则的值不可能是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】AB
【解析】设四面体ABEF、四棱锥、四面体ABCD的外接球的半径分别是、、，分别取AD、BD的中点M、N，
因为，，所以易知的中点到点的距离相等，所以.
又面，面，，
，，面，
平面，平面，所以，
所以，从而.
因为，为中点，则为的外心，
因为，面，所以面，
则四棱锥外接球的球心在直线MN上，
因为，所以，
平面，平面，所以，
，面，
所以平面ACD，平面，
所以，于是，又因为，
故点N就是四棱锥外接球的球心，所以.
设，，，
则，，，
所以.
，
令，则，.
记，，
则，所以在上单调递减，
故，
而，，，，
故选：AB.
31．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知圆柱的高为2，为下底面圆的一条直径，为上底面圆上任意一点，球内切于圆柱，则（ ）
A．球的体积为 B．直线，为异面直线
C．直线与圆柱上底面所成的角为 D．平面截球所得截面面积最小值为
【答案】ACD
【解析】因为圆柱的高为2，且球内切于圆柱，
所以球的半径，
对于A，球的体积，故A正确；
对于B，设平面截圆柱所得截面为，
当点在截面内时，直线与直线共面，故B错误；
对于C，因为平面，所以即为直线与圆柱下底面所成的角，如图：
又，所以为等腰直角三角形，即，
因为圆柱的上下底面平行，所以直线与圆柱上底面所成的角为，故C正确；
对于D，设过点的圆柱的轴截面为，
过点在平面内作，垂足为，如图：
易知，，，
由勾股定理可得，
因为与相似，所以，
即，
设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，
因为平面，当平面时，取最大值，即，
所以，
所以平面截得球的截面面积最小值为，故D正确.
故选：ACD.
32．（2025·高二·辽宁·开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式） 金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（ ）
A．正八面体的外接球体积为
B．正八面体的内切球表面积为
C．若点为棱上的动点，则的最小值为
D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
【答案】BCD
【解析】对于A项，设该正八面体外接球的半径为，由图知，是正方形，,
在中，，利用对称性知，故点为正八面体外接球的球心，则，
所以正八面体外接球的体积为，故A项错误；
对于B项，设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积，
解得，故它的内切球表面积为，故B项正确；
对于C项，如图，因与是边长为4的全等的正三角形，可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形.
连接与相交于点，此时，则 ，因此取得最小值为，故C项正确；
对于D项，易知，因为平面，平面，所以平面，
所以，故D项正确.
故选：BCD.
33．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，M为平面ABCD内一动点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则的最小值为
B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若与AB所成的角为，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线，所成角为
【答案】ABD
【解析】对于A，延长到使得，则，等号在共线时取到；故A正确；
对于B，由于球的半径为，球心到平面的距离为，故被截得的圆的半径为，故面积为，故B正确；
对于C，与所成的角即为和所成角，所以，易知平面，
当位于线段上时，则平面，得，所以的轨迹为直线，故C错误；
对于D，显然过的满足条件的直线数目等于过的满足条件的直线的数目，
在直线上任取一点，使得，不妨设，
若，则是正四面体，所以有两种可能，直线也有两种可能，
若，则只有一种可能，就是与的角平分线垂直的直线，
所以直线有三种可能，故D正确.
故选：ABD
34．（2025·高一·安徽宣城·期末）如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．的最小值为
D．三棱锥内切球的半径是
【答案】ACD
【解析】对于A，如图1所示，连接，，
由正三棱锥的性质可知，，
因为为中点，
所以，，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面
所以，故A正确；
对于B，如图①，取中点，连接，，
因为、分别为，的中点，
所以，，
所以即为异面直线和所成角或其补角，
因为、分别为，的中点，
所以，
由选项A知，，同理可得，
所以，
所以,
所以，
所以，
即异面直线和所成角的余弦值为，故B错误；
对于C，将平面和平面平铺展开，形成四边形，
如图②所示，连接，交于点，此时是最小值，
连接，则，
所以，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
即的最小值是，故C正确；
对于D，如图③所示，设内切球的球心为，点在平面内的投影为，为的重心，
球与平面相切于点，则在上，且，
在中，，
在中，,
因为为的重心，所以，
在中，，
设三棱锥内切球的半径为，
由 相似于，得,
即，解得，故D正确；
故选：ACD.
35．（2025·广东惠州·三模）在四面体中，，，，，分别是棱，，上的动点，且满足均与面平行，则（ ）
A．直线与平面所成的角的余弦值为
B．四面体被平面所截得的截面周长为定值1
C．三角形的面积的最大值为
D．四面体的内切球的表面积为
【答案】CD
【解析】对于A，取中点，中点，连接,
由于，故，
而，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
则即为直线与平面所成的角，
又,而，
故，则,所以，故错误；
对于B，设平面棱的交点为，
因为∥平面且平面,平面平面,
所以∥，
由题意可知，否则，重合，不合题意，
故四边形为梯形，同理可得四边形为梯形，
所以，，又，
所以，所以，
又∥，同理可证∥，则∥，同理可证∥，
则四边形为平行四边形，故四边形的周长为2，
即四面体被平面所截得的截面周长为定值2，故错误；
对于C，因为平面，平面，所以，
而∥，所以，
同理可证∥，所以，结合,
所以，
当且仅当时，等号成立，
即三角形的面积的最大值为，故正确；
对于D，由以上分析可知,
所以，
而平面，，故，
而,
设四面体的内切球的半径为，则
即，解得，
故四面体的内切球的表面积为，故正确.
故选：CD.
36．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为2的正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A．与所成角的余弦值为
B．过三点A、M、的截面面积为
C．四面体的内切球的表面积为
D．E是边的中点，F是边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．
【答案】AD
【解析】对于A，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，则,
则，
与所成角的范围为，故与所成角的余弦值为，A正确；
对于B，设N为的中点，连接MN，则，且，
则梯形即为过三点A、M、的截面，
，则梯形高为，
故梯形面积为为，B错误；
对于C，如图，四面体的体积等于正方体体积减去四个角上的直三棱锥的体积，
即，
该四面体的棱长为，其表面积为，
设四面体内球球半径为r，则，
故四面体的内切球的表面积为，C错误；
对于D，如图，延长ME和的延长线交于J，则≌，
则，设H为的中点，则，
连接HJ，则≌，则，
故G为的中点，故，
同理延长交于L，连接LH，交于K，
K即为的中点，则K，E在确定的平面内，
则六边形即过E、M、F三点的截面，是六边形，D正确，
故选：AD
37．（2025·海南·模拟预测）在四面体中，都是边长为6的正三角形，棱与平面所成角的余弦值为，球与该四面体各棱都相切，则（ ）
A．四面体为正四面体
B．四面体的外接球的体积为
C．球的表面积为
D．球被四面体的表面所截得的各截面圆的周长之和为
【答案】ABD
【解析】对A：取中点，连接、，由都是边长为6的正三角形，
则，且，
又平面，，
则平面，又平面，故，
故为棱与平面所成角，
则，故四面体所有棱长相等，
故四面体为正四面体，故A正确；
对B：作于点，由四面体为正四面体，
故为底面中心，且四面体的外接球与球共球心，
有，,
设四面体的外接球的半径为，
则有，即，
即，则，故B正确；
对C：作于点，由正四面体对称性可得即为球半径，
由，则，又，
设球的半径为，则，
则，故C错误；
对D：由正四面体对称性可得，
球被四面体的表面所截得的各截面圆周长相等，
到各面距离为，
又，则球被四面体的表面所截得的各截面圆的半径为：
，则其周长之和为，故D正确.
故选：ABD.
38．（2025·高三·河北沧州·阶段练习）已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．球在正方体外部的体积大于
C．球内接圆柱的侧面积的最大值为
D．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则
【答案】ABD
【解析】解析：对于A．如图所示，
正方体的棱切球的半径，则球的表面积为，故A正确；
对于B．若球体 正方体的体积分别为．
球在正方体外部的体积，故B正确；
对于C，球的半径，设圆柱的高为，
则底面圆半径，
所以，
当时取得最大值，且最大值为，所以C项错误；
对于D，取中点，可知在球面上，可得，
所以，
点在球上且在正方体外部（含正方体表面）运动，
所以（当为直径时，），
所以．故D正确．
故选ABD．
三、填空题
39．（2025·江西·模拟预测）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥体积的最小值为，则二面角的取值范围是 ；该四棱锥外接球表面积的最小值是 .
【答案】
【解析】
在四棱锥中，可得：，，
又，面，面，面，
即为二面角的平面角，设，则.
过点作交于点.面，.
又，，面，面，面.
，，.
，，即二面角的取值范围为.
在中，，，
所以的外接圆半径.
将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径，
所以.
，，，．故该四棱锥外接球表面积的最小值为.
故答案为：；
40．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为 ；该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于 ．
【答案】 / /
【解析】如图，这个正二十面体上方的一个正五棱锥：
则正二十面体的外接球就是这个五棱锥的外接球.
不妨设正二十面体的棱长为2.
如图：
正五边形的外接圆半径就是黄金的外接圆半径，
设为，则.
则到正五边形中心的距离为：.
设正二十面体的外接球半径为，则.
所以正二十面体的外接球半径与棱长的比为：.
正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比：.
故答案为：；
41．（2025·高三·江苏南通·期末）在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝3，BC＝CD＝3，BC⊥CD，将△ABD沿BD折起，使点A到达A′，且，则四面体A′BCD的外接球O的体积为 ；若点E在线段BD上，且BD＝4BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 .
【答案】 π
【解析】第一空：由题意知，，，，由勾股定理可知，，，所以，，
取的中点O，所以，所以四面体A′BCD的外接球O在斜边的中点处，四面体A′BCD的外接球O的半径，
外接球O的体积.
第二空，根据题意可知，将四面体A′BCD可放在棱长为3的正方体内，如图所示，
过点E作球O的截面，若要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，设球O到截面的距离d, 只需球心到截面的距离d最大即可，而当且仅当OE与截面垂直时，球心到截面的距离d最大，即，取BD的中点F，，所以,
所以截面圆的半径为.
故答案为：①π，②.
42．（2025·高三·全国·专题练习）已知菱形的各边长为2，．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．则三棱锥的体积为 ，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为 ．
【答案】
【解析】取中点，则，平面,
∴平面，，又，
∴，
则三棱锥的高，
三棱锥体积为；
作，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，
设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，
解Rt，得，又，
则三棱锥外接球半径，
易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.
故答案为：；.
43．（2025·广东茂名·二模）如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是 .
【答案】
【解析】当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，
所以此时到底面的距离最大，平面平面，
且平面平面，
取的中点，则，故平面，
取的中点，则，又，且，则，
又∵，
故是三棱锥的外接球球心，且该外接球的半径；
显然，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小，
此时，截面的圆心就是点，记其半径为，则；
由于，平面，所以平面，
而平面，则，则，
在中，，故；
又，故，又，
故由余弦定理有，
∴，故所求面积为.
故答案为：
44．（2025·高二·四川·期中）在三棱锥中，平面平面， ，，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【解析】因为平面平面，,
且平面平面，平面,
所以平面，平面,
所以.
在△中，因为， ，
∴，，所以
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系.
∵点为的中点，是上的一个动点，
∴，，
设△的重心为，则，
三棱锥外接球的球心为，则，
则有，即
则，
∴，当且仅当，即时，等号成立.
设三棱锥外接球半径为，表面积为，则
所以.
故答案为：.
45．（2025·高三·河北石家庄·阶段练习）已知球是正四面体的外接球，为棱的中点，是棱上的一点，且，则球与四面体的体积比为 .
【答案】
【解析】如图，正四面体中，顶点在底面的射影为，球心在上，
设正四面体的棱长为，可得，
则正四面体高，
设外接球半径为，在直角三角形中，，
即，解得，
令，在中，由余弦定理得①，
同理，在中，由余弦定理得②
由题设，解得，
由于到平面的距离与到平面的距离相等，都等于，，
故，
，
所以.
故答案为：.
46．（2025·高三·全国·专题练习）已知球是棱长为2的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点．
①若，则动点的轨迹长度为；②三棱锥的体积的最大值为；③的取值范围是；④若，则的大小为定值；所有正确结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）．
【答案】①③④
【解析】对于①，由正方体性质得面，且内切球半径，
分别取、、中点、、，如图所示，
因为、的中点为、，
所以，又平面，平面，
所以平面，
因为，的中点为，所以四边形为矩形，
所以，又平面，平面，
所以平面，又平面，，
所以平面平面，
由正方体的性质可知，平面，
所以平面，则点轨迹为平面与内切球的交线，即为截面圆的周长，
因为球心面，则到面的距离为面与面的距离，
所以截面圆半径为．
故点轨迹长度为，故①正确；
对于②，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，所以，
所以到平面距离为，
因为面，面，所以，
又，
所以三棱锥的体积的最大值为，故②错误；
对于③，取中点，连接、、，如图所示，
则，
所以，
平面截球的截面图如图所示，
又，，则，
所以当位于时，
所以当位于时，，
则，所以，即的范围为，故③正确；
对于④，由题意知，，
又，
所以点在以、为焦点，长轴长为3的椭球面上，
又因为点在以为球心，1为半径的球面上，
所以点在椭球面与球面的交线处，
则平面截球与椭球的截面图如图所示，
由椭圆与圆的对称性可知，点位于、、、时，为定值，故④正确；
故答案为：①③④．
47．（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由正三棱柱的底面边长为可得底面三角形外接圆半径为；
若该三棱柱有内切球，则三棱柱的高刚好为外接圆的直径，即为，
设内切球球心为，如下图所示：
易知球心在正三棱柱的中心处，且半径为1，即
所以，
又点是该正三棱柱表面上的动点，所以，
所以.
故答案为：
48．（2025·高三·福建·阶段练习）已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时， ．
【答案】
【解析】设扇形面积为，圆锥的底面半径为，母线长为，高为，内切球半径为，
而，由勾股定理得，
而圆锥的内切球在轴截面中与等腰三角形三边相切，
我们以内切球的球心为顶点，向等腰三角形三边作垂线，
可将其分割为三个小三角形，其中两个小三角形以母线为底，内切球半径为高，
另一个小三角形以底面圆直径为底，内切球半径为高，
由题意得圆锥轴截面的面积与以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和相等，
而轴截面面积为，
而以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和为
，
故，解得，
则该圆锥的内切球半径，
由扇形面积公式得，即，
且记为定值，故，即，而，
因为
，
由基本不等式得，
而，
即，当且仅当时取等，此时，
设圆锥的内切球体积为，而由球的体积公式得，
由幂函数性质得当圆锥的内切球体积最大时，圆锥的内切球半径最大，
而，解得，
当最大时，由弧长公式得.
故答案为：.
49．（2025·高三·湖南·期中）三棱锥中，，平面平面，且.记的体积为，内切球半径为，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】设三棱锥的高为，依题意，可取中点，
连接，，则,
由于，则,
则，
由于平面平面，且交线为,平面，
故平面，故,
则的面积为,的面积，
由可得和的面积为，
于是三棱锥的表面积为，
由等体积可知，
所以，
故=.
设函数，且，
则，
当单调递减，
，单调递增，
所以，
所以时，取得最小值，
故答案为：．
50．（2025·广西·二模）在三棱锥中，，，，的面积分别3，4，12，13，且，则其内切球的表面积为 ．
【答案】/
【解析】因为，所以类比勾股定理由面推及到空间几何体可知三棱锥是一个墙角模型，
所以，
设三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC长分别为PA=x，PB=y，PC=z，
则由题意有①，所以有，，
所以代入①式，
所以，
设三棱锥的内切球半径为，则
，
所以，，所以内切球的表面积为.
故答案为：.
51．（2025·高三·全国·专题练习）有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，且，均与球相切，则球的半径为 .
【答案】
【解析】连接，，，，，，
由题可得三棱锥是棱长为2的正四面体，
连接，，，，，，，，，，，，
因为两两相切，两两相切，两两相切，
两两相切，所以三棱锥 三棱锥
三棱锥 三棱锥分别是以三棱锥的四个面为底面，
且棱长均为2的正四面体，又均与球相切，
所以三棱锥的外接球球心就是大球的球心.
作出三棱锥和三棱锥的示意图如图所示，
连接，则球的半径为.
易得正四面体的高，
到平面的距离即三棱锥内切球的半径，
易得，得，则，所以球的半径为.
52．（2025·高三·四川内江·阶段练习）已知正四棱锥的底面边长为3，正四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上仅有一点满足且，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】连接AC，BD，设交点为O，如图建立以O为原点的空间直角坐标系.
因底面边长为3，则，设.
则，，.
因，则，又，
则，则，
因球面上仅有一点满足且，则为球体上顶点，
则，则球体半径为.
注意到正四棱锥体积为：，其中为四棱锥表面积，
如图，取BC中点为F，连接OF，PF，则.
则，则
又正四棱锥体积为：，则
.
则，则球体表面积为：.
故答案为：.
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