第1讲 空间几何体的截面图形
1．（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接，
易得为的中心，则，所以，
设外接球半径为，则，即，解得，
当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长，
最小面积为，
当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为，
故截面面积的取值范围是.
故选：B.
2．（2025·高三·广东清远·开学考试）正方体中，分别是、、的中点，则（ ）
A．直线与是平行直线
B．过三点的平面与正方体的截面是六边形
C．直线与平面所成角的正切值是
D．若正方体的棱长为2，则点到平面的距离是
【答案】B
【解析】
对于B, 如图，取各边的中点，根据正方体的结构特征及平面的基本性质知，过三点的截面为正六边形，正确；
对于A，由B知截面为六边形，平面，面，
而不经过点，故与是异面直线，错误，
对于C，因为平面,所以是与平面所成的角，
设正方体的棱长为2，所以，
所以，所直线与平面所成角的正切值是，错误，
对于D，因为正方体的棱长为2，
设到平面的的距离为，,,
故,
因此，错误，
故选：B
3．（2025·高二·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形
【答案】D
【解析】取的中点，连接，
因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，
所以，，
故，
所以四边形为平行四边形，
故经过、、的截面为平行四边形.
故选：D
4．（2025·四川资阳·二模）已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设球O的半径为R，则，解得.
因为点A到球心O的距离为3，
所以过点A的平面被球O所截的截面圆的半径的最小值为，
则所求截面面积的最小值为.
故选：C
5．（2025·高三·全国·专题练习）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得．
设圆柱底面半径为r，
则，所以，
设椭圆长轴长为，短轴长为，
因为离心率为，得，
则，
即，所以，
得，
又由勾股定理得，解得，故．
故选：B.
6．（2025·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，所以，解得，
过作，交于，连接，取的中点，连接，
设，
①当时，平面BDE截直三棱柱所得的截面为正方形，面积为，
②当时，因为，，所以四边形为平行四边形，则，，
因为，分别为，的中点，所以，，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，且
则，，即平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形
在中，，，，则，
在中，，，，则，
在中，，，，则，则
过作垂足为，过作垂足为，所得平面图形如下;
则，，，，
设，则
所以，，因为，
化简可得：，则，
所以，
因为当，所以，则，
综上，平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的范围为
故选：A
7．（2025·高二·北京·期中）如图，正四面体的棱长2，过棱AB上任意一点做与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设截面分别于交于点，连接，
取的中点，连接，分别交于点，
交于点，
由于，平面，
所以平面，而平面，所以，
又平面，平面，平面平面，
所以，同理，，，所以，
则四边形为矩形，
平面平面，所以，则为的中点，
又，则，则，
平面，所以平面，
则点到平面的距离为，
因为，则，
在中，，
又，则，即，则，
所以，
而正四面体的高，
所以
，
则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
则在切线斜率增大，在切线斜率减小，故选择图象D.
故选：D
8．（多选题）（2025·高三·安徽芜湖·期末）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小
C．平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形
D．若为棱的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】对于A，如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接，
在棱长为2的正方体中，则，，
，而为棱的中点，由中点坐标公式得，，
由题意得为棱上一动点，则设，且，
而，易得面的法向量为，
设到面的距离为，由点到平面的距离公式得，
则，即三棱锥的体积为定值，故A正确，
对于B，易得面的法向量为，，，
则，设，故，
因为，所以，解得，即，
得到，，设面的法向量为，
则，，
令，解得，，得到，设二面角为，
且，则，解得，
得到是定值，则二面角不可能先增大后减小，故B错误，
对于C，如图，令与重合，找中点，连接，
因为为棱的中点，所以是的中位线，
由中位线性质得，由题意得四边形是平行四边形，
故，即，得到四点共面，
则面为所求截面，且由勾股定理得，
即四边形是等腰梯形，故C正确，
对于D，因为为棱的中点，所以由中点坐标公式得，
此时，，设面的法向量为，
则，，
令，解得，，则，
而，，则，设到面的距离为，
由点到平面的距离公式得，
如图，作面，连接，
因为与平面所成角为，所以，
则，解得，而点在平面内运动，
则的轨迹为半径为的圆，由弧长公式得长度为，故D正确.
故选：ACD
9．（多选题）（2025·高三·青海玉树·开学考试）在长方体中，已知，点P是线段上的动点．则下列说法正确对的是（ ）
A．若，则
B．若，则点P到平面的距离是
C．若，则直线AP与直线所成角的范围是
D．若，分别经过且平分三棱锥体积的截面面积依次为，则
【答案】ABD
【解析】若，即为正方体，
由，又面，面，则，
又都在面内，故面，面，
所以，同理可证，又都在面内，
所以面，而面，则，A对；
由正方体的结构特征易知，为平行四边形，则，
面，面，则面，而，
所以点P到平面的距离，即为到面的距离，
若到面的距离为，则，可得，
所以，B对；
由，则直线AP与直线所成角，即为直线AP与直线所成角，
当与重合时，由面，面，即，
此时，即直线AP与直线所成角为，不在内，C错；
由经过且平分三棱锥体积的截面分别为、、，
所以，，，
又，显然，D对；
故选：ABD
10．（多选题）（2025·高三·云南昭通·开学考试）如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．存在点，使得平面
B．过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥的体积不为定值
D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】ABD
【解析】
当P为BD中点时，由中位线可得：，
不在平面，在平面内，
所以平面，A正确；
由中位线易知，在正方体中，易证，所以，所以截面为梯形，B正确；
因为，所以体积为定值，C错误；
三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，所以表面积D正确，
故选：ABD.
11．（多选题）（2025·高三·福建福州·期末）已知正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为分别是中点，过点的截面将四面体的体积平分，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．直线与直线异面
C．正四棱锥外接球表面积为
D．截面不可能为等边三角形
【答案】AC
【解析】对于A，∵分别是中点，∴，又平面，平面，故直线平面，故A正确；
对于B，由得四点共面，所以，直线与直线不异面，故B不正确；
对于C，设是正四棱锥底面的中心，正四棱锥外接球的球心为，半径为，根据对称性，在上，因为底面边长为1，侧棱长为，则，
由得，解得，外接球表面积，故C正确；
对于D，∵过点的截面将四面体的体积平分，所以截面必过，且截面为等腰三角形，设其顶角为.当截面过时，截面的顶角最大，且，，故，所以截面不可能为等边三角形，故D不正确.
故选：AC.
12．（多选题）（2025·四川南充·一模）如图，在边长为2的正方体中，E为AD的中点，F为的中点，过点、E、B作正方体的截面α，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．与所成角的余弦值为
C．
D．二面角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，
则，，
则，
所以与所成角的余弦值为，故B错误；
对于C，由B知，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，可得，
所以，即，
又平面，所以平面，
即，故C正确；
对于D，在正方体中，平面，
所以平面的一个法向量为,
所以，
所以二面角的余弦值为，故D正确.
故选：ACD.
13．（多选题）（2025·高三·江苏南京·学业考试）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．存在点P，使得平面
C．若点P到直线BB1与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
D．若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为
【答案】AC
【解析】对于A，连接，，分别是棱，的中点，则，
且，又，则，且，
因此过，，三点的平面截正方体所得截面为梯形，A正确；
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，设点，其中，
，，
设平面的法向量为，则，取，得，
对于B, ，若存在点，使得平面，则，
于是，即，无解，因此不存在点，使得平面，B错误；
对于C，平面平面，则，
若点到直线与到直线的距离相等，则，
平方整理得，则点的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
对D，依题意，平面，因此点的轨迹是过点与平面平行的平面交正方形所得线段，
而，则，令，得；令，得，
线段的中点，于是P点轨迹为线段，
所以点的轨迹长度为，D错误.
故选：AC
14．（多选题）（2025·高一·安徽阜阳·期末）如图，在棱长为2的正方体中，已知N，Q分别是棱的中点，，P分别是棱上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．不存在动点M，P，使得
C．直线CM与平面所成角的范围是
D．若M，P分别是棱的中点，由平面MNQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几何体，某球能够被整体放入几何体，则该球半径的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，,A正确，
对于B，连接相交于，当P是棱上的动点时，
过作交于，过作交于，连接,
由于,故,
由于，平面，
故平面,平面,
故,平面，平面，
故，
由于N，Q分别是棱的中点，所以，
所以，故B错误，
对于C，由于平面，平面，故，
又，平面，
故平面,故到平面的距离为，
又平面， 平面，
故平面，
因此到平面的距离与到平面的距离相等，即距离为，
由于,
设直线CM与平面为，则，
由于，故，C正确，
对于D，
，分别是棱，的中点，点为中点时，平面在正方体上的截面为正六边形，
某球能够被整体放入，该球的半径最大时，是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球，
正六边形的边长为，面积为，
正六棱锥，侧棱长，每个侧面面积为，棱锥的高为，
设该球的半径为，由体积法可得，解得，
D正确．
故选：ACD
15．（多选题）（2025·江西九江·三模）如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（ ）
A．三棱锥的体积为 B．线段的长为
C．点的轨迹长为 D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，在正方体中，易证平面，平面平面，且两平面间的距离为，
又的面积，所以三棱锥的体积故A正确；
对于B，如图①所示，设的中心为，则，
故B错误；
对于C，如图②所示，由知，，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，
由三段劣弧构成，其长度为圆周长的一半故C正确；
对于D，，
为在方向上的投影，由图①可知，
当位于点或的位置时，最小，
此时取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系，
则，，故D正确.
故选：ACD.
16．（多选题）（2025·高三·青海·期末）如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点G，使得
B．点B到平面CEF的距离是
C．存在点G，使得平面CEF
D．过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是
【答案】ABD
【解析】以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：
设，则，
，
对于A，由，得，解得，A正确；
对于B，设平面CEF的法向量为，则，令，
得，则点B到平面CEF的距离是，B正确；
对于C，当平面CEF时，，则，即，此方程组无解，C错误；
对于D，设该长方体外接球的球心为O，则，，
点O到直线CF的距离，设该截面圆的半径为r，
则，所得截面面积的最小值是，D正确.
故选：ABD
17．（多选题）（2025·高二·河北衡水·阶段练习）在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个选项，正确的是（ ）
A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为
C．双曲线两渐近线的夹角正切值为 D．抛物线的焦点到准线的距离为
【答案】ABD
【解析】对于A，依题意，截面圆的半径为底面圆半径的一半，则圆的面积为，A正确；
对于B，如下图轴截面中，作于，则长轴长，
又，则，B正确；
对于C，如下图，与面垂直且过M的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点、点P与底面距离相等，均为2，则，双曲线与底面一个交点，
设双曲线为，且，则，解得，
所以其中一条渐近线为，若其倾斜角为，则，
所以两条渐近线夹角正切值为，C错误；
对于D，如下图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H，
则，点，
设抛物线方程为，则，解得，
所以抛物线的焦点到准线的距离为，D正确.
故选：ABD
18．（多选题）（2025·安徽·一模）如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ）
A．圆台的体积为
B．圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为
C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为
D．过三点的平面与圆台下底面的交线长为
【答案】ABD
【解析】A.∵，∴圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，
∴圆台的高，
∴圆台的体积，A正确.
B.由，，得，由得，.
如图，将圆台补成圆锥，顶点记为，底面圆的圆心记为，连接，
∵为圆弧的中点，∴.
∵平面，平面，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面，
此时母线所在直线与平面所成的角最大，最大为，，B正确.
C.由得，，∴，
当两条母线所在直线夹角为时，截面面积最大，最大值为，C错误.
D.如图，在梯形中，连接并延长交的延长线于点，连接交底面圆于点，则为截面与底面圆的交线.
由得，，，∴，，
取中点，则，
∴，D正确.
故选：ABD.
19．（多选题）（2025·江西新余·一模）如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，是线段上的动点（不包含端点），则（ ）
A．四面体的外接球的表面积为
B．存在点，使、、、四点共面
C．过且与垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为
D．点是四边形内的动点，且直线与直线夹角为，则点的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，将四棱锥补成长方体，
所以，四面体的外接球的直径即为长方体的体对角线长，
即四面体的外接球的直径为，
所以，四面体的外接球的表面积为，A对；
对于B选项，连接、、，
因为且，故四边形为平行四边形， 所以，，
因为、分别是、中点，则，所以，
即、、、四点共面，
当与重合时满足、、、四点共面，
但是线段上的动点（不包含端点），B错；
对于C选项，如图，在平面上作⊥，垂足为点，
过点作在平面内⊥交或者于，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又平面，所以⊥，
因为，、平面，所以平面，
平面截正方体截面为平行四边形，
当与点重合时，面积最大，此时，，面积为，
当与点无限接近时，面积接近于，
过且与垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为，C对；
对于D选项，取的中点，连接，则，
则平面，取的中点，以为圆心，为半径作圆，
交、于、，
则点的轨迹为以为圆心，为半径的部分圆弧，
此时满足直线与直线夹角为，
如图，，故，
所以点的轨迹长度为，D对.
故选：ACD.
20．（多选题）（2025·广东汕头·二模）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，若截面与轴所成的角为，则截口曲线的离心率.例如，当时，，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥中，、分别为、的中点，、为底面的两条直径，且、，.现用平面（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（ ）
A．若，则截口曲线为圆
B．若与所成的角为，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C．若，则截口曲线为抛物线的一部分
D．若截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意知过MN的平面与底面不平行，则截口曲线不为圆，故A错误；
对于B，与所成的角为，所以，
因为，所以，即，
所以，所以平面截该圆锥得的截口曲线为椭圆或椭圆的一部分，
故B正确；
对于C，因为平面，平面，所以，
因为，，SOD，
所以平面SOD，又因为平面SOD，所以
又为、的中点，所以，
平面MAB，
所以平面MAB，所以与SO所成的角为，
所以，，故C正确；
对于D， 截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，
则，
所以平面，故平面不经过原点O，故D正确．
故选：BCD.
21．（多选题）（2025·高三·黑龙江大庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使平面BMN
C．过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为
D．点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】选项A，连接，，，正方体中易知，
P，N分别是，中点，则，所以，即四点共面，
当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，
但Q是线段上的动点（不包含端点），故A错误；
选项B，如图，取中点为，连接，，，
因为M，N分别是，中点，则与平行且相等，
故四边形是平行四边形，
所以，又是中点，所以，所以，
平面，平面，所以平面，B正确；
选项C，如图，在平面上作⊥于K，
过K作⊥交BC或者于T，
因为平面⊥平面，交线为，平面，
所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
因为，平面，
所以平面QKT，
平面QKT截正方体截面为平行四边形，
当T与点C重合时，面积最大，此时，，面积为，
当Q与点无限接近时，面积接近于0，
过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为，C正确；
选项D，取的中点，连接，则，
则平面，取的中点，以为圆心，为半径作圆，
交，于X，Y，
则点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧，
此时满足直线PH与直线AD夹角为，
如图，，故，
所以点H的轨迹长度为，D正确.
故选：BCD
22．（多选题）（2025·高二·全国·开学考试）在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为
C．三棱锥的外接球的体积为
D．过点的平面截长方体所得的截面周长为
【答案】BD
【解析】A．，直线与所成角，
在中，根据余弦定理可知，
，
代入求得，A错误；
B．取的中点，取的中点，取的中点，连接，
，，所以四边形是平行四边形，
且，，平面，
同理可得平面，
平面，平面，
所以点的运动轨迹为线段，
在中，过点作，此时取得最小值，
由题意可知，，
，B正确；
C．取的中点，连接，则，
过点作，且，
为外接球的半径，在中，，
，
，C错误；
D．由平面平面得，过点的平面必与有交点，
设过点的平面与平面和平面分别交于
，同理可得
过点的平面截长方体所得的截面图形为五边形，
如图所示，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，
，，
，解得，
，
所以五边形的周长为
，D正确．
故选：BD
23．（多选题）（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是（ ）
A．最大值为；
B．在时取得极大值；
C．在上单调递增，在上单调递减；
D．在上单调递增，在上单调递减
【答案】AD
【解析】当时，截面为等边三角形，如图：
因为，所以，
所以：，，.
此时，在上单调递增，且，.
当时截面为六边形，如图：
设，则
所以六边形的周长为：为定值；
做平面于，平面于.
设平面与平面所成的角为，则易求.
所以，
所以，
在上递增，在上递减，
所以截面面积的最大值为，此时，即.
所以在上递增，在上递减. 时，最大，为.
当时，易得：
，
此时，在上单调递减， ，.
综上可知：AD是正确的，BC错误.
故选：AD
24．（多选题）（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，M为平面ABCD内一动点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则的最小值为
B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若与AB所成的角为，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线，所成角为
【答案】ABD
【解析】对于A，延长到使得，则，等号在共线时取到；故A正确；
对于B，由于球的半径为，球心到平面的距离为，故被截得的圆的半径为，故面积为，故B正确；
对于C，与所成的角即为和所成角，所以，易知平面，
当位于线段上时，则平面，得，所以的轨迹为直线，故C错误；
对于D，显然过的满足条件的直线数目等于过的满足条件的直线的数目，
在直线上任取一点，使得，不妨设，
若，则是正四面体，所以有两种可能，直线也有两种可能，
若，则只有一种可能，就是与的角平分线垂直的直线，
所以直线有三种可能，故D正确.
故选：ABD
25．（多选题）（2025·云南昆明·一模）在长方体中，底面是边长为的正方形，，点是的中点，点是上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．当时，过点、、的截面是梯形
C．当点运动到某点时，过点、、的截面是五边形
D．当时，过点、、的截面是矩形
【答案】ABC
【解析】对于A选项，连接、，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，
所以，与所成的角为或其补角，
在中，，同理可得，，
由余弦定理可得，
所以，异面直线与所成角的余弦值为，A对；
对于B选项，连接、、，
当时，为的中点，
因为、分别为、的中点，则，且，
因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，且，所以，且，
所以，、、、四点共面，
所以，当时，过点、、的截面是梯形，B对；
对于C选项，当时，设平面交直线于点，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
因为，由等角定理结合图形可知，，
则，即，可得，
设平面交直线于点，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，则，
因为，由等角定理结合图形可得，
所以，，则，
且，所以，，
故当时，过点、、的截面是五边形，C对；
对于D选项，当时，点与点重合，设平面交棱于点，连接，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
因为，由等角定理结合图形可知，，
即，所以，，所以，，
则点为的中点，
由勾股定理可得，
同理可得，，则四边形为平行四边形，
因为，所以，，
所以，不是直角，故四边形不是矩形，
因此，当时，过点、、的截面不是矩形，D错.
故选：ABC.
26．（2025·高三·北京·开学考试）如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 .
【答案】 / /
【解析】因为，则，
记，
因为，即。
又因为，
当且仅当，即时，取等号.
所以a的最小值为.
故答案为：；.
27．（2025·甘肃兰州·一模）正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为 ．
【答案】
【解析】正方体的中心是内切球球心，设为O，O到平面的距离为d，
设A到平面的距离为，因为，所以，
所以，
所以，
正方体内切球半径，正方体内切球被平面截球面所得的截面是一个圆半径为r的圆，
所以，所以圆的面积为．
故答案为：．
28．（2025·北京丰台·二模）如图，正方体的棱长为2，分别为的中点，为过直线的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是 （填“①”或“②”），该结论是 命题（填“真”或“假”）．
①平面截该正方体所得截面面积的最大值为；
②若正方体的12条棱所在直线与平面所成的角都等于，则．
【答案】 ①（答案不唯一） 假（答案不唯一）
【解析】若选①，平面是过直线的平面．此时四边形即为该平面截正方体所得截面，由于四边形的面积为,故①为假命题，
若选②，由于三棱锥为正三棱锥，所以与平面所成角均相等，故平面平面，
设到平面的距离为，则
所以与平面所成角的正弦值为，故，②为真命题
故答案为：①（答案不唯一），假（答案不唯一）
29．（2025·高二·上海·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】依题意，设圆锥的母线长为，
圆锥的底面半径为，高为1，
，
设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则，
，，
则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为，
故截面的面积为，当且仅当时，等号成立，
故截面的面积的最大值为2．
故答案为：2.
30．（2025·高一·福建厦门·期中）已知正四棱锥的所有棱长都为2，点在侧棱SC上且，过点且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数为 ，的面积为 ．
【答案】 5
【解析】取中点且，平面，可知平面，
根据平面的基本性质，作平面与平面平行，如图为五边形.
因为，所以，则，
可得，
则，可得，
所以，
又因为与的夹角为与夹角，而与垂直，
易知且，，即为矩形，则，
可得，
故答案为：5； .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第1讲 空间几何体的截面图形
1．（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·高三·广东清远·开学考试）正方体中，分别是、、的中点，则（ ）
A．直线与是平行直线
B．过三点的平面与正方体的截面是六边形
C．直线与平面所成角的正切值是
D．若正方体的棱长为2，则点到平面的距离是
3．（2025·高二·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形
4．（2025·四川资阳·二模）已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·高三·全国·专题练习）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
6．（2025·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·高二·北京·期中）如图，正四面体的棱长2，过棱AB上任意一点做与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选题）（2025·高三·安徽芜湖·期末）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小
C．平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形
D．若为棱的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为
9．（多选题）（2025·高三·青海玉树·开学考试）在长方体中，已知，点P是线段上的动点．则下列说法正确对的是（ ）
A．若，则
B．若，则点P到平面的距离是
C．若，则直线AP与直线所成角的范围是
D．若，分别经过且平分三棱锥体积的截面面积依次为，则
10．（多选题）（2025·高三·云南昭通·开学考试）如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．存在点，使得平面
B．过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥的体积不为定值
D．三棱锥的外接球表面积为
11．（多选题）（2025·高三·福建福州·期末）已知正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为分别是中点，过点的截面将四面体的体积平分，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．直线与直线异面
C．正四棱锥外接球表面积为
D．截面不可能为等边三角形
12．（多选题）（2025·四川南充·一模）如图，在边长为2的正方体中，E为AD的中点，F为的中点，过点、E、B作正方体的截面α，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．与所成角的余弦值为
C．
D．二面角的余弦值为
13．（多选题）（2025·高三·江苏南京·学业考试）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．存在点P，使得平面
C．若点P到直线BB1与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
D．若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为
14．（多选题）（2025·高一·安徽阜阳·期末）如图，在棱长为2的正方体中，已知N，Q分别是棱的中点，，P分别是棱上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．不存在动点M，P，使得
C．直线CM与平面所成角的范围是
D．若M，P分别是棱的中点，由平面MNQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几何体，某球能够被整体放入几何体，则该球半径的最大值为
15．（多选题）（2025·江西九江·三模）如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（ ）
A．三棱锥的体积为 B．线段的长为
C．点的轨迹长为 D．的最大值为
16．（多选题）（2025·高三·青海·期末）如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点G，使得
B．点B到平面CEF的距离是
C．存在点G，使得平面CEF
D．过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是
17．（多选题）（2025·高二·河北衡水·阶段练习）在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个选项，正确的是（ ）
A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为
C．双曲线两渐近线的夹角正切值为 D．抛物线的焦点到准线的距离为
18．（多选题）（2025·安徽·一模）如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ）
A．圆台的体积为
B．圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为
C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为
D．过三点的平面与圆台下底面的交线长为
19．（多选题）（2025·江西新余·一模）如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，是线段上的动点（不包含端点），则（ ）
A．四面体的外接球的表面积为
B．存在点，使、、、四点共面
C．过且与垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为
D．点是四边形内的动点，且直线与直线夹角为，则点的轨迹长度为
20．（多选题）（2025·广东汕头·二模）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，若截面与轴所成的角为，则截口曲线的离心率.例如，当时，，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥中，、分别为、的中点，、为底面的两条直径，且、，.现用平面（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（ ）
A．若，则截口曲线为圆
B．若与所成的角为，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C．若，则截口曲线为抛物线的一部分
D．若截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，则
21．（多选题）（2025·高三·黑龙江大庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使平面BMN
C．过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为
D．点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为
22．（多选题）（2025·高二·全国·开学考试）在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为
C．三棱锥的外接球的体积为
D．过点的平面截长方体所得的截面周长为
23．（多选题）（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是（ ）
A．最大值为；
B．在时取得极大值；
C．在上单调递增，在上单调递减；
D．在上单调递增，在上单调递减
24．（多选题）（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，M为平面ABCD内一动点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则的最小值为
B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若与AB所成的角为，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线，所成角为
25．（多选题）（2025·云南昆明·一模）在长方体中，底面是边长为的正方形，，点是的中点，点是上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．当时，过点、、的截面是梯形
C．当点运动到某点时，过点、、的截面是五边形
D．当时，过点、、的截面是矩形
26．（2025·高三·北京·开学考试）如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 .
27．（2025·甘肃兰州·一模）正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为 ．
28．（2025·北京丰台·二模）如图，正方体的棱长为2，分别为的中点，为过直线的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是 （填“①”或“②”），该结论是 命题（填“真”或“假”）．
①平面截该正方体所得截面面积的最大值为；
②若正方体的12条棱所在直线与平面所成的角都等于，则．
29．（2025·高二·上海·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ．
30．（2025·高一·福建厦门·期中）已知正四棱锥的所有棱长都为2，点在侧棱SC上且，过点且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数为 ，的面积为 ．
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