第2讲 空间几何体运动轨迹与长度问题
一、单选题
1．（2025·高三·安徽芜湖·阶段练习）已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，将该四面体放置在一个长方体中，
由题可知长方体的长、宽、高分别为
体对角线长为
其外接球半径
因为所以点的轨迹为一个圆，设其半径为
则即解得
或即此时无解，
故所求长度为．
故选：C．
2．（2025·浙江台州·一模）已知球的半径为，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以球的球心为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为球的半径为，则，设，
则，，所以，
又，，则，得到，
如图，在线段取点，使，所以线段轨迹为圆锥的侧面，
又，则，所以圆锥的侧面积为，
所以线段轨迹的面积为，
故选：C.
3．（2025·高三·浙江宁波·期末）已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，平面，所以平面，
由于点 P 始终保持 PE 垂直于 BC ，且 P 在正四面体表面运动，因此 P 的轨迹为平面 与正四面体表面的交线，即的边界.
为等腰三角形，其中 AD 为底边，长为2，AE 和 DE 为腰，长均为.
因此，三角形 的周长为.
故答案为 ：D .
4．（2025·高二·北京·期末）在正方体中，点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为（ ）
A．一段圆弧 B．一段抛物线
C．一段椭圆 D．一条线段
【答案】D
【解析】取的中点M，连接并延长交的延长线于N，
由，可得，所以，所以A为的中点．
连接，由正方体可得，
又平面，平面，所以，
又平面，所以平面．
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
又因为点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面，
所以，即点Q的轨迹是线段，
故选：D．
5．（2025·高二·北京·期中）如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】C
【解析】取中点P，连接，的中点为，如图，
是中点，是等边三角形，所以，
又N为棱上的中点，由直三棱柱性质知，
又因为，平面，
∴平面，又平面，∴平面⊥平面，
过N作,为垂足，
又平面 平面，平面，∴⊥平面，
所以O点轨迹是在平面内且以为直径的圆弧，
当点M在点C时，O点位于P点，当点M到点时，O点到最高点，
此时，
所以直角中，
，从而，∴弧长，
∴当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为.
故选：C.
6．（2025·高二·北京·开学考试）在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（ ）
A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对
【答案】B
【解析】
如图建系，设正方体边长为，则，
可得，
又因为，所以，
化简得，即得，
动点的轨迹为椭圆的一部分.
故选：B.
7．（2025·高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．当为的中点时，异面直线与所成的角为
B．当平面时，点的轨迹长度为
C．当时，点到的距离可能为
D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内
【答案】B
【解析】因为四边形为正方形，连接，相交于点，连接，则两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，为的中点，
则，当为的中点时，，从而，
设异面直线与所成的角为，则，
因为，故，A正确；
取为的中点，连接，则，又平面平面，故平面，
又平面平面，故平面平面，
设，平面平面，平面平面，则，则为的中点，
点在四边形内（包含边界）运动，则，点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，B不正确；
当时，设，则，，
得，即，即点的轨迹是以中点为圆心，半径为的圆在四边形内（包含边界）的一段弧，
到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为，最大值为4，因为，
所以存在点到的距离为，C正确；
由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积，
设圆柱底面半径为，高为为的中点，为的中点，，
如图，为圆柱上底面圆的圆心，，根据，得，
即，则圆柱体积，
设，求导得，
令得，或，因为，所以舍去，
即，当时，单调递增，当时，单调递减，
即时有极大值也是最大值，的最大值为，故．
所以存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，D正确．
故选：B.
二、多选题
8．（2025·广东肇庆·二模）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平面
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则存在，使
D．若，则存在，使平面
【答案】ABD
【解析】
对于A，若，则，则点在线段上，如上图.
因平面平面，且平面平面，平面平面，
故因平面，平面，故平面，同理可证平面，
因平面，平面，且，故有平面平面，
又因为平面，所以平面，故A正确；
对于B，若，则（为的中点）如上图.
又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确；
对于C，若，则，所以.
，所以点在线段上（如上图）.假设，则，
即，化简得，
该方程无解，所以不存在，故C错误；
对于D，如上图，设为的中点，
当时，则，即，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
.
所以.
假设平面，则，
即，解得.故D正确.
故选： .
9．（2025·江西上饶·一模）在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的最小值为
D．当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对于A，如图所示，当时，点的轨迹为线段，连接、，可得，，
所以平面，所以，同理可证得，所以平面，所以，所以选项A正确；
对于B，如图所示，取、的中点、，当时，
点的轨迹为线段，，，
因为平面，所以到平面的距离，
所以三棱锥的体积为定值，所以选项B正确；
对于C，如图所示，当时，点的轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，
可知，
由余弦定理可得，
所以选项C错误；
对于D，如图所示，当，时，点为的中点，，，
所以，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹长度为，
所以选项D正确.
故选：ABD.
10．（2025·江西·一模）如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．三棱锥的体积最大值为1
C．若，则点到直线的距离为
D．三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为
【答案】AC
【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．设，
则，，，，．
对于选项A：因为，，
所以，
所以，所以，A正确．
对于选项B：三棱锥的体积，
所以当时，三棱锥的体积取得最大值，B错误．
对于选项C：若，则，，，
所以，，
所以点到直线的距离，C正确．
对于选项D：设，的中点分别为，，
过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面，
直线与平面交于点，则点为外接球的球心，
显然点的轨迹长度与点的轨迹长度相等．
因为，，所以．
在平面内，点的轨迹方程为，且，，
故点的轨迹长度近似为，即三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为，D错误．
故选：AC．
11．（2025·高三·贵州黔东南·期末）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，动点在正方形内（包括边界），若平面，则（ ）
A．点的轨迹长度为 B．的最小值为
C．存在点，使得 D．与平面所成角的正切值的最大值为
【答案】AD
【解析】在棱长为2的正方体中，取的中点，
连接，，点平面，
，平面，平面，则平面，
，则四边形是平行四边形，，
平面，平面，则平面，而，
平面，因此平面平面，而平面，
则平面，又点在正方形内（包括边界），于是点，
即点的轨迹为线段，其长度为，A正确；
点到的距离为，则点到的距离为，即的最小值为，B错误；
，平面，平面，则，而，
平面，于是平面，若，则平面，
点，而线段与无公共点，因此与不垂直，C错误；
平面，与平面所成的角，，
又，因此，D正确.
故选：AD
12．（2025·高三·全国·专题练习）如图，已知棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的长度为
B．存在，使得平面
C．
D．当与只有一个公共点时，
【答案】BCD
【解析】如图1，连接，由于平面，平面，故，
因为，所以，
又，从而．故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的四分之一，记为．
选项A：的长度为，A错误．
选项B：如图2，若取与的交点，取点，
此时易知，平面,平面，故平面，B正确．
选项C：由于,且，故，平面,平面，
故平面，故到平面的距离与到平面的距离相等，
所以，C正确．
选项D：与只有一个公共点即直线与相切，
如图3，记切点为，连接，则，从而，
所以，D正确．
故选：BCD
13．（2025·山西临汾·一模）已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（ ）
A．的最小值为
B．动点在面内运动轨迹的长度为
C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分
D．在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4
【答案】BD
【解析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设关于平面的对称点为，则，
所以，解得，所以，
又点，点到平面的距离相等，所以，
所以，解得或（舍去），所以，
所以，故A错误；
因为平面，若动点在平面内时，则，
又，则，可得的轨迹是以为圆心，3为半径的圆弧，
且在四边形的圆弧是圆的，
所以动点在面内运动轨迹的长度为，故B正确；
动点的轨迹是以为轴，为顶点的圆锥在正方体内的部分，
底面半径为，
易得，又平面，平面，所以平面，
又是圆锥的母线，所以平面与圆锥的交线是抛物线的一部分，故C错误；
设正四面体的底面正三角形的中心为，
由正四面体的性质可得平面，
由正弦定理可得，
所以正四面体的高为，
设正四面体的内切球的半径为，
则，所以，
设半径是的球的内接正四面体的边长为，则可将内接正四面体补形成边长为
的正方体，
则，解得，
在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4，故D正确．
故选：BD.
14．（2025·陕西·模拟预测）在棱为的正方体中，点在线段上运动，点在正方体表面上，为与的交点，则（ ）
A．四面体的体积为定值 B．存在点，使
C．当时，点的轨迹长度为 D．四面体外接球的表面积为
【答案】AC
【解析】对于选项A，易知，又面，面，所以面，
又在线段上运动，所以到面的距离为定值，
又的面积为定值，所以四面体的体积为定值，故选项A正确，
对于选项B，如图，建立空间直角坐标系，又正方体的边长为，
则，设，
则，又，
所以不存在，使，故选项B错误，
对于选项C，当时，则点在过中点且与垂直的平面上，又点在正方体表面上，
所以点的轨迹为正方形，如图所示，故点的轨迹长度为，所以选项C正确，
对于选项D，因为是直角三角形，所以外接圆圆心为，
则四面体外接球的球心在线段中点处，且，
所以四面体外接球的表面积为，故选项D错误，
故选：AC.
15．（2025·高三·甘肃白银·开学考试）正三棱柱的各棱长相等，且均为，在内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．三棱锥的体积的取值范围为
C．为中点，若平面，则动点的轨迹长度为
D．为中点，若，则动点到平面的最大距离为
【答案】BCD
【解析】对于A中，取的中点，的中点为，连接，
由为等边三角形，所以，
又由正三棱柱中，可得，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，
过作于，根据面面垂直的性质定理，可得平面，
在矩形中，，所以，
如图所示，此时的延长线与线段无公共点，
所以不存在点，使得平面，所以A错误；
对于B选项，由，当点在内及其边界上运动时，
可得，
又因为，故三棱锥的体积的取值范围为，故B正确；
对于C中，由点为中点， 取的中点，连接、、，
可得，，
因为平面，且平面，所以平面，
同理可得平面，
又因为，且、平面，所以平面平面，
因为平面平面，
由平面，所以动点的轨迹为线段，其长度为，所以C正确；
对于D选项，取线段的中点，连接，
因为为等边三角形，则，又因为平面，
以点为坐标原点，、、的反向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，
因为，则，即，故点在线段上运动，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
所以点到平面的距离为，
即点到平面距离的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
16．（2025·江西·模拟预测）已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ）
A．若点在正方形边及其内部，则点到直线距离的最大值为
B．若点在正方形边及其内部，且，则点的轨迹长度为
C．若向量，则的最小值为
D．若向量，平面截正方体所得的截面面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于选项A，当点在边上时，点到直线的距离最大，最大值为，所以选项A错误；
对于选项B，如图1，取的中点，则，
而，得，结合平面,则,
故点的轨迹是以点为圆心，2为半径的四分之一圆弧，
所以点的轨迹长度为，所以选项B正确；
对于选项C，如图2，在上取点，使得，
在上取点，使得.因为，
即有，所以点是线段上一点，
将平面沿展开至与平面共面，
此时，
当三点共线时，取得最小值，所以选项C正确；
对于选项D，根据，可知点是线段上一点.
如图3，连接，与交于点.
①显然当点与点重合时，平面与平面重合，不符合题意；
②当点在线段（不含点）时，平面截正方体所得的截面为三角形，
如图4，当点与点重合时，此时截面为，且面积最大，此时面积为；
③当点在线段（不含点，点）时，如图5，延长并与交于点，
作并与交于点，则截面为等腰梯形.设，
则有，
梯形的高，
从而梯形的面积，
令，
则
，
则当时，，
得在上单调递减，从而；
④当点与点重合时，此时截面为矩形，其面积为.
综合上述，平面截正方体所得的截面面积的最大值为.
选项D正确.
故选：BCD
17．（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱的中点，点N为正方形内（包含边界）的动点，若平面，下列结论正确的为（ ）
A．点N的轨迹和正方形的内切圆相切
B．存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面
C．无论点N在何位置，总有
D．长度的取值范围为
【答案】BCD
【解析】将展开图折叠成正方体，如图所示：
连接，，，则，.
取的中点，的中点，连接，，，则，，
所以，不在面内，面，则面，
同理有，不在面内，面，则面，
而相交且都在面内，故平面平面.
要使平面，则点在线段上，故点的轨迹为线段，故A错误；
当点与点重合时，，又，所以四点共面，
由图可知，点与点不重合时，与异面，所以B正确；
在正方体的结构特征，以为原点，分别以所在直线为
轴，建立空间直角坐标系.
因为正方体边长为，则各点坐标为：，，，，. . .
. 可得，所以. 同理可得. 因为，且平面
，，，即垂直于平面内两条相交直线，所以平面,又平面平面，平面，又平面，所以，所以C正确；
当点为中点时，的长度最小，连接，
则，，
当点与点（或）重合时，的长度最大，此时，
所以长度的取值范围为：，故D正确.
故选：BCD
18．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）在直三棱柱中，，，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为45°
B．
C．若点是的中点，则平面截直三棱柱所得截面的周长为
D．点是底面三角形内一动点（含边界），若二面角的余弦值为，则动点的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】选项A，过点作的平行线，则为异面直线与所成的角，
因为平面，且，所以平面，所以，
所以，因为异面直线所成的角，
所以，故异面直线与所成的角为60°，故选项A不正确；
选项B，由已知得为等腰直角三角形，是的中点，则，
为直三棱柱，平面，平面，
，
，平面，，平面，，
设与交于点，其中，，
，，，
，，
，平面，，平面，故，选项B正确；
选项C，延长，交和的延长线于点，，连接交于点，连接，，则四边形为平面截直三棱柱所得的截面，
由已知得，
由，则，即，
由，则，即，
由余弦定理可知，解得，
其周长为，故选项C正确；
选项D，若上存在一点使二面角的余弦值为，连接和，
因为平面，，，
二面角的平面角为，即，
设，则，，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得，
，解得，
过作的垂线，连接，过作的平行线交于点，则，
所以截面为直三棱柱的截面，
所以符合题意的的轨迹长度为线段的长，所以，故选项D正确.
故选：BCD
19．（2025·高三·吉林长春·开学考试）如图：已知直三棱柱，，且，为线段BC中点，，分别为线段AB，上的动点，且满足，点为线段EF的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若为AB的中点，则平面
B．若为的中点，则平面
C．点到平面ABC的距离为定值
D．点的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】由题意知，两两垂直，
以A为原点建立如图的空间直角坐标系，
则，
对于A，若为AB的中点，所以，
设平面的法向量为，且，
则，取，所以，
又在上的动点，设，，
因为，所以或（舍），
即为的中点，所以，，
所以，
又平面，所以平面，故A对；
对于B，为的中点，所以，
又在AB上的动点，设，
又，所以或（舍），
所以为AB的中点，所以，
又点为线段EF的中点，所以，
所以，
设平面的法向量为，
因为，
则，取，所以，
所以，所以不成立，所以平面不成立，故B错；
因为，分别为线段AB，上的动点，
设，，所以，
且，
所以，
取平面ABC的法向量为，
所以点到平面ABC的距离为，故C对；
设，则，
因为，所以，
设的中点为O，则G的轨迹是以O为圆心，以为半径的圆周，
其轨迹长度为，故D对；
故选：ACD
20．（2025·高三·河北·期末）已知棱长为1的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则（ ）
A．当时，的轨迹长度为
B．当时，四面体的体积为定值
C．存在点，使得
D．直线与平面所成角的正弦值最大为
【答案】ABD
【解析】
由题设知，点在正方体的内部或表面上.
当时，点在平面内运动，所以其到平面的距离始终为1，到棱的距离也为1.
又因为到棱的距离即为到的距离，
所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，且在正方体内部或表面的部分，轨迹长度为，故A选项正确；
当时，如图，，，，分别为，，，的中点，点在平面内，
而对于三棱锥，若以为底面，
则其体积，其中为到平面的距离.
因为平面，平面平面，
所以到平面的距离等于平面和平面的距离，为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B选项正确；
因为到棱的距离和到平面的距离相等，
所以，，故C选项错误；
因为是平面的一个法向量，
所以与平面所成角的正弦值等于，
由C知，
而，所以原式.
因为，
所以原式，当，，时等号成立，故D选项正确.
故选：ABD.
21．（2025·高三·江苏南京·学业考试）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．存在点P，使得平面
C．若点P到直线BB1与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
D．若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为
【答案】AC
【解析】对于A，连接，，分别是棱，的中点，则，
且，又，则，且，
因此过，，三点的平面截正方体所得截面为梯形，A正确；
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，设点，其中，
，，
设平面的法向量为，则，取，得，
对于B, ，若存在点，使得平面，则，
于是，即，无解，因此不存在点，使得平面，B错误；
对于C，平面平面，则，
若点到直线与到直线的距离相等，则，
平方整理得，则点的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
对D，依题意，平面，因此点的轨迹是过点与平面平行的平面交正方形所得线段，
而，则，令，得；令，得，
线段的中点，于是P点轨迹为线段，
所以点的轨迹长度为，D错误.
故选：AC
22．（2025·高三·江苏苏州·期末）已知是棱长为2的正方体表面上一动点，分别是线段和的中点，点满足，且，设的轨迹围成的图形为多边形，则（ ）
A．为平行四边形
B．存在，使得的面积为
C．存在，使得和底面的夹角为
D．点和形成的多面体的体积不变
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以截面，
当在点处时，在平面内的射影为，在平面内的射影为，
过的截面与和均垂直，即与垂直，即截面为，
当在点处时，在平面内的射影为，在平面内的射影为，
过的截面与和均垂直，即与垂直，即截面为，
当在上移动时，截面绕转动，但与的交点在之间，
由面面平行的性质可得截面总为平行四边形，故A正确；
对于B，以为坐标原点，所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，
，
设截面与的交点为，设，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，所以，
与共线同向的单位向量为，
所以到直线的距离为，
又，所以，又，
所以截面的面积，故存在，使得的面积为，故B正确；
对于C，过于，易得平面，故为平面的一个法向量，
又为平面的一个法向量，所以为和底面的夹角，
所以，所以存在，使得和底面的夹角大于，故C错误；
对于D，设截面与交于点，与交于点，
四棱锥被平面分成两个三棱锥为三棱锥，三棱锥，
两个三棱锥底面无论截面变化，底面面积均不变，两个三棱锥的高均为正方体的棱长，
所以三棱锥，三棱锥的体积为定值，
所以点和形成的多面体的体积不变,故D正确.
故选：ABD.
23．（2025·高三·重庆·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点平面，且与所成角是，则下列正确的选项有（ ）
A．
B．点的轨迹是双曲线
C．的最小值为4
D．直线与平面所成角的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A项，连接，
在正方体中，，
由且平面，所以平面，
又因为平面，故，故A正确.
对于B项，与所成角是，所以与所成角是，
M在以为轴的圆锥的表面上，平面，平面截圆锥的图形为双曲线，故B正确；
对于C项，把往上翻折到与平面共面，
又因为，即往上翻折成，即在四边形中求，
所以可得最小值为，故C不正确；
对于D项，连接，再连接，
在正方体，易得平面，
所以即为直线与平面所成角，
在中， ，当点与点重合时最大，最大值为，
直线与平面所成角的正切的最小值为，
所以直线与平面所成角的最小值为，所以D正确.
故选：ABD
24．（2025·河北石家庄·一模）在正方体中分别是的中点.下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为
D．若点在正方体表面上运动，且点到点的距离与到点的距离之比为，则点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对于A，设为的中点，连接，
则，而，
所以，故四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，故平面，故A正确；
对于B，取的中点，连接，则且，
故或其补角为异面直线所成的角，
而，故，故，故B正确；
对于C，设直线与直线交于，连接角于，
因为，故，同理，故，
故，而，
，故截面图形的周长为，故C错误；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
则，
则，故的轨迹为球与正方体表面的截线（如图所示），
每段弧的圆心角为，所在圆的半径为，故三段弧长和为，
故D正确.
故选：ABD.
25．（2025·山东淄博·一模）如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，则直线与直线所成角的最小值为60°
D．若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，
所以，即 ，
所以，又，
所以，
所以，所以，故A正确；
因为，，所以点在直线上，
又因为，，所以四边形是平行四边形，
所心，又平面，平面，所以平面，
所以到平面的距离为定值，又的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
点为的中点，坐标为，点的坐标为 ，
向量，向量，
设直线与直线所成的角为，
，
又因为，当 时，，
即直线与直线所成角的最小值为，故C错误；
因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形，
过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心，
因为平面，所以，又，
所以三棱锥外接球的半径，
因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上，
所以 的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆，
又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为，
所以 的轨迹的周长为 ，故D正确.
故选：ABD.
26．（2025·高三·湖南·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点（包括端点），点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．存在唯一的，，使得
B．存在唯一的，，使得
C．若为线段的中点，且平面，则动点的轨迹的长度为
D．若为线段的中点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，当时，因为平面，
所以在平面内或与平面平行，
故当且仅当与重合，且与重合时，，A选项正确；
对于B选项，过在平面内作的平行线，与底面内（包括边界）没有公共点，
故不存在，，使得，B选项不正确；
对于C选项，当为线段的中点时，过作与平面平行的截面，
与底面的交线为中的中位线，即为动点的轨迹，其长度为，C选项正确；
对于D选项，设关于平面的对称点为，
则，D选项正确．
故选：ACD
27．（2025·高三·山东·阶段练习）如图，在三棱锥中，两两垂直且，分别为线段上异于端点的动点，满足，，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的外接球的表面积是
B．当时，线段的最小值是
C．当时，三棱锥的体积是定值
D．若空间中的点满足且，则满足条件的点所形成的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】A项，三棱锥的外接球即边长为1的正方体的外接球，其直径，
所以表面积为，故A正确；
B项，在三棱锥中，
因为两两垂直，平面，且，
所以平面.
如图1所示，在线段上取一点D，使得，
即得且，
再由平面可得平面，而平面，
故.
又因为，所以且，
所以可得
，故B错误；
C项，因为，所以，即，
又因为，所以，
再由可得，点N到平面的距离等于点D到平面的距离，
故有，
因为平面，所以即为三棱锥的高，
从而，
故三棱锥的体积是定值，故C正确；
D项，由可知动点在以为直径的球上，
由可知动点也在以为直径的球上，
故点的轨迹是分别以为直径的两球相交所得的圆，设圆心为.
取中点，中点，则即为两球球心.
则垂直于相交圆所在的平面，由球的对称性可知，垂足为.
如图2，如图在过两球心的轴截面中，
两圆相交弦即为相交圆的直径，则.
其中，，
如图3，连接，
由平面，平面，则，即.
在中，，
所以，则，
所以，如图2在中，，即相交圆半径为.
所以点P所形成的轨迹长度即圆周长为，故D正确.
故选：ACD.
28．（2025·高二·福建三明·阶段练习）在正方体中，，，则（ ）
A．若，则点的轨迹为线段
B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段
C．若，则三棱锥的体积为定值
D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为
【答案】ABC
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、
、，
因为，
对于A选项，当时，、、三点共线，
则点的轨迹为线段，故A正确；
对于B选项，若，即点，
此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，故B正确；
对于C选项，若，即点，其中，
，，设平面的法向量为，
则，取，可得，
，则点到平面的距离为，
因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D选项，若，则，其中，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
当时，取最小值，此时取最大值，且，
则，
因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，故D错误.
故选：ABC.
29．（2025·云南·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面
B．
C．动点的轨迹长度为
D．三棱锥体积的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，连接，可得，
又因为，所以，则四点共面.故A正确；
对于B，以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，由，
得，即.故B正确；
对于C，分别取的中点为，连接，易得，，
又平面，平面，平面，
同理平面，而，又平面，
所以平面平面，
又因平面，则平面，
又因为为正方形内一个动点（包括边界），
所以点的轨迹为平面平面，而.故C错误；
对于D，因为平面，所以平面，
故，要使三棱锥体积最小，
只需三角形面积最小，即当点与重合时，三角形面积最小，
此时三棱锥的体积取得最小值.故D正确.
故选：ABD.
30．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）如图所示，已知正三棱锥底面边长为m，侧棱长为n，分别为的中点，连接，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形EFGH为矩形
B．向量不共面
C．点P在内，点P到点A距离与到底面BCD距离相等，则点P的轨迹是椭圆的一部分
D．若侧棱长，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】对于A，分别为的中点，
根据中位线定理得，
，所以四边形为平行四边形，
取中点，连接，
正三棱锥，得，
得平面，
平面，平面，
，又，，四边形EFGH为矩形，A正确；
对于B，四边形为矩形，，
向量可以由向量线性表示，向量 共面，B错误；
对于C，点P在内，过点P作底面，底面BCD，则，
过点P作，连接，
平面，所以平面，平面，得，
所以为二面角的平面角，
当确定时，二面角的平面角是定值，，
点P到点A距离与到底面距离相等，
定值，且，
根据椭圆第二定义，到定点A和到定直线BC的距离比为定值的点的轨迹为椭圆正确；
对于D，若侧棱长，正三棱锥为正四面体，设，
以中点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：
，
设平面的法向量，
，解得其中一个解为，
法向量，，D正确.
故选：
31．（2025·高三·甘肃兰州·开学考试）在正方体中，分别为棱的中点，动点平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．的外接球面积为 B．直线平面
C．正方体被平面截得的截面为正六边形 D．点的轨迹长度为
【答案】ABC
【解析】对于A，
将三棱锥补形成如图1所示的长方体，其中为的中点，
则其外接球的直径为长方体的体对角线的长度，
即，故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确；
对于B，
如图2，连接，因分别为棱的中点，则，
由可得，则，故，
因平面，平面，故得平面；
又因是的中点，易得，且，故得，
则有，因平面，平面，故得平面，
因，故平面平面，
又动点平面，则直线平面，故B正确；
对于C，
如图3，设的中点分别为，连接.
由正方体的性质可得，而为的中位线，故，故，
故四点共面，同理，也四点共面，故五点共面，
同理也四点共面，故六点共面.
正方体被平面截得的截面为六边形，且，
因为平面平面，平面平面，
而平面平面，故，
而为的中位线，故，故，
但与方向相反，故与互补，
而为等边三角形，故，故，
同理，
故正方体被平面截得的截面为正六边形，故C正确；
对于D，
如图4建立空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，故可取，
而，故到平面的距离为，
而，故点的轨迹为平面与以为球心，2为半径的球面的截面（圆），
该圆的半径为，故圆的周长为，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
32．（2025·高三·全国·专题练习）已知球是棱长为2的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点．
①若，则动点的轨迹长度为；②三棱锥的体积的最大值为；③的取值范围是；④若，则的大小为定值；所有正确结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）．
【答案】①③④
【解析】对于①，由正方体性质得面，且内切球半径，
分别取、、中点、、，如图所示，
因为、的中点为、，
所以，又平面，平面，
所以平面，
因为，的中点为，所以四边形为矩形，
所以，又平面，平面，
所以平面，又平面，，
所以平面平面，
由正方体的性质可知，平面，
所以平面，则点轨迹为平面与内切球的交线，即为截面圆的周长，
因为球心面，则到面的距离为面与面的距离，
所以截面圆半径为．
故点轨迹长度为，故①正确；
对于②，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，所以，
所以到平面距离为，
因为面，面，所以，
又，
所以三棱锥的体积的最大值为，故②错误；
对于③，取中点，连接、、，如图所示，
则，
所以，
平面截球的截面图如图所示，
又，，则，
所以当位于时，
所以当位于时，，
则，所以，即的范围为，故③正确；
对于④，由题意知，，
又，
所以点在以、为焦点，长轴长为3的椭球面上，
又因为点在以为球心，1为半径的球面上，
所以点在椭球面与球面的交线处，
则平面截球与椭球的截面图如图所示，
由椭圆与圆的对称性可知，点位于、、、时，为定值，故④正确；
故答案为：①③④．
33．（2025·高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ．
【答案】
【解析】
如图，取的中点，的中点，连接，则，
∵平面平面，∴平面，
∵为的中点，∴，
∵平面平面，∴平面，
∵平面平面，∴平面平面，
∵是侧面上一点，且平面，
∴的轨迹为线段，
由得点的轨迹的长度为．
故答案为：.
34．（2025·福建·模拟预测）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 ，三棱锥体积最大值为 .
【答案】 /
【解析】取的中点为，连接，如下图所示：
由为的中点，可得，且；
又为边的中点，所以，且，
则，故点的轨迹与点轨迹相同，
因为菱形中，，，为边的中点，
所以，则，
又平面，所以平面，
在翻折过程中，点由的中点翻折到的中点过程中，
的轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
则点的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆，
所以点的轨迹是半径为的半圆，
则在平面的射影为的轨迹应为圆的直径，
所以点的轨迹的长度为1；
当时，由于平面，
所以平面，即又因为是定值，
故此时三棱锥体积最大，
在中，易得，，
所以，
故三棱锥体积最大值为.
故答案为：1；.
35．（2025·吉林·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 .
【答案】 /
【解析】（法一）由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为.
建系如图，设，则.
.
令，
.
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
（法二）设直线与直线所成角为，取的中点，根据三余弦定理可知，，易知P从点M运动至N处，逐渐减小，则逐渐增大，
由图可知，P从点M运动至N处逐渐增大，
则P在点M处时，取得最小值，此时，
则P在点N处时，取得最大值，此时，
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
36．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，则动点 的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】如图，连接，由正方体的性质可得，平面，
则平面，又平面，则，
又平面，
则平面，又平面，则，
因为平面，则平面，不妨设垂足为，
则，
又因为，解得，所以动点的轨迹是在平面中，
以正的中心为圆心，为半径的圆弧，如图4，即动点的轨迹为劣弧；
如图5，过作的垂线，垂足为，连接，在中，，，
所以，又因为，所以，所以，
所以，所以动点的轨迹长度为．
故答案为：.
37．（2025·高三·全国·专题练习）已知菱形的各边长为2，．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．则三棱锥的体积为 ，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为 ．
【答案】
【解析】取中点，则，平面,
∴平面，，又，
∴，
则三棱锥的高，
三棱锥体积为；
作，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，
设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，
解Rt，得，又，
则三棱锥外接球半径，
易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.
故答案为：；.
38．（2025·高三·江苏泰州·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是 ；为的中点，则三棱锥体积的最小值为 .
【答案】 ； ．
【解析】如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则
，，，，，，，，
在平面内，
设，则由得，
化简得，
所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆，面积为，
在长方体中，，，
，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
，
到平面的距离为，
满足，
所以的最小值等于，
从而到平面的距离的最小值为，
∴三棱锥体积的最小值为．
故答案为：；．
39．（2025·高三·河北·期末）如图，在直三棱柱，侧棱长为2，，点D在上底面（包含边界）上运动，若三棱锥外接球的表面积为，则动点D的轨迹的长度为 ．
【答案】
【解析】由为等腰直角三角形，，得的外接圆的圆心为AB的中点，且，
设的中点为E，连接（如图），则，平面ABC，
设三棱锥外接球的球心为O，外接球的半径为R，由球O的表面积，得，
由球的性质得球心O在上，连接OA，OD，设，
于是，解得，又，解得，
而点E到等腰的两直角边的距离都是，则动点D的轨迹是以E为圆心，
为半径的半圆弧，所以动点D的轨迹长度为．
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2讲 空间几何体运动轨迹与长度问题
一、单选题
1．（2025·高三·安徽芜湖·阶段练习）已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江台州·一模）已知球的半径为，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·高三·浙江宁波·期末）已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2025·高二·北京·期末）在正方体中，点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为（ ）
A．一段圆弧 B．一段抛物线
C．一段椭圆 D．一条线段
5．（2025·高二·北京·期中）如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．π
6．（2025·高二·北京·开学考试）在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（ ）
A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对
7．（2025·高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．当为的中点时，异面直线与所成的角为
B．当平面时，点的轨迹长度为
C．当时，点到的距离可能为
D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内
二、多选题
8．（2025·广东肇庆·二模）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平面
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则存在，使
D．若，则存在，使平面
9．（2025·江西上饶·一模）在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的最小值为
D．当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为
10．（2025·江西·一模）如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．三棱锥的体积最大值为1
C．若，则点到直线的距离为
D．三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为
11．（2025·高三·贵州黔东南·期末）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，动点在正方形内（包括边界），若平面，则（ ）
A．点的轨迹长度为 B．的最小值为
C．存在点，使得 D．与平面所成角的正切值的最大值为
12．（2025·高三·全国·专题练习）如图，已知棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的长度为
B．存在，使得平面
C．
D．当与只有一个公共点时，
13．（2025·山西临汾·一模）已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（ ）
A．的最小值为
B．动点在面内运动轨迹的长度为
C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分
D．在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4
14．（2025·陕西·模拟预测）在棱为的正方体中，点在线段上运动，点在正方体表面上，为与的交点，则（ ）
A．四面体的体积为定值 B．存在点，使
C．当时，点的轨迹长度为 D．四面体外接球的表面积为
15．（2025·高三·甘肃白银·开学考试）正三棱柱的各棱长相等，且均为，在内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．三棱锥的体积的取值范围为
C．为中点，若平面，则动点的轨迹长度为
D．为中点，若，则动点到平面的最大距离为
16．（2025·江西·模拟预测）已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ）
A．若点在正方形边及其内部，则点到直线距离的最大值为
B．若点在正方形边及其内部，且，则点的轨迹长度为
C．若向量，则的最小值为
D．若向量，平面截正方体所得的截面面积的最大值为
17．（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱的中点，点N为正方形内（包含边界）的动点，若平面，下列结论正确的为（ ）
A．点N的轨迹和正方形的内切圆相切
B．存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面
C．无论点N在何位置，总有
D．长度的取值范围为
18．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）在直三棱柱中，，，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为45°
B．
C．若点是的中点，则平面截直三棱柱所得截面的周长为
D．点是底面三角形内一动点（含边界），若二面角的余弦值为，则动点的轨迹长度为
19．（2025·高三·吉林长春·开学考试）如图：已知直三棱柱，，且，为线段BC中点，，分别为线段AB，上的动点，且满足，点为线段EF的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若为AB的中点，则平面
B．若为的中点，则平面
C．点到平面ABC的距离为定值
D．点的轨迹长度为
20．（2025·高三·河北·期末）已知棱长为1的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则（ ）
A．当时，的轨迹长度为
B．当时，四面体的体积为定值
C．存在点，使得
D．直线与平面所成角的正弦值最大为
21．（2025·高三·江苏南京·学业考试）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．存在点P，使得平面
C．若点P到直线BB1与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
D．若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为
22．（2025·高三·江苏苏州·期末）已知是棱长为2的正方体表面上一动点，分别是线段和的中点，点满足，且，设的轨迹围成的图形为多边形，则（ ）
A．为平行四边形
B．存在，使得的面积为
C．存在，使得和底面的夹角为
D．点和形成的多面体的体积不变
23．（2025·高三·重庆·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点平面，且与所成角是，则下列正确的选项有（ ）
A．
B．点的轨迹是双曲线
C．的最小值为4
D．直线与平面所成角的最小值为
24．（2025·河北石家庄·一模）在正方体中分别是的中点.下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为
D．若点在正方体表面上运动，且点到点的距离与到点的距离之比为，则点的轨迹长度为
25．（2025·山东淄博·一模）如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，则直线与直线所成角的最小值为60°
D．若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为
26．（2025·高三·湖南·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点（包括端点），点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．存在唯一的，，使得
B．存在唯一的，，使得
C．若为线段的中点，且平面，则动点的轨迹的长度为
D．若为线段的中点，则的最小值为
27．（2025·高三·山东·阶段练习）如图，在三棱锥中，两两垂直且，分别为线段上异于端点的动点，满足，，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的外接球的表面积是
B．当时，线段的最小值是
C．当时，三棱锥的体积是定值
D．若空间中的点满足且，则满足条件的点所形成的轨迹长度为
28．（2025·高二·福建三明·阶段练习）在正方体中，，，则（ ）
A．若，则点的轨迹为线段
B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段
C．若，则三棱锥的体积为定值
D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为
29．（2025·云南·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面
B．
C．动点的轨迹长度为
D．三棱锥体积的最小值为
30．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）如图所示，已知正三棱锥底面边长为m，侧棱长为n，分别为的中点，连接，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形EFGH为矩形
B．向量不共面
C．点P在内，点P到点A距离与到底面BCD距离相等，则点P的轨迹是椭圆的一部分
D．若侧棱长，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为
31．（2025·高三·甘肃兰州·开学考试）在正方体中，分别为棱的中点，动点平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．的外接球面积为 B．直线平面
C．正方体被平面截得的截面为正六边形 D．点的轨迹长度为
三、填空题
32．（2025·高三·全国·专题练习）已知球是棱长为2的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点．
①若，则动点的轨迹长度为；②三棱锥的体积的最大值为；③的取值范围是；④若，则的大小为定值；所有正确结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）．
33．（2025·高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ．
34．（2025·福建·模拟预测）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 ，三棱锥体积最大值为 .
35．（2025·吉林·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 .
36．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，则动点 的轨迹长度为 ．
37．（2025·高三·全国·专题练习）已知菱形的各边长为2，．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．则三棱锥的体积为 ，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为 ．
38．（2025·高三·江苏泰州·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是 ；为的中点，则三棱锥体积的最小值为 .
39．（2025·高三·河北·期末）如图，在直三棱柱，侧棱长为2，，点D在上底面（包含边界）上运动，若三棱锥外接球的表面积为，则动点D的轨迹的长度为 ．
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