第4讲 体积、面积、周长、角度、距离定值问题
一、单选题
1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在三棱柱中，底面，E是的中点，，点F在上，且，则平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为（ ）
A．9：1 B．10：1 C．11：1 D．12：1
2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知圆台的上 下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上 下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·云南昆明·一模）已知一个圆锥的顶点和底面圆都在球的球面上，若圆锥的母线与球的半径之比为，则圆锥与球的体积之比等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西·一模）设为圆锥底面的一条直径，为底面圆周上异于的一点，为靠近的一个三等分点，且二面角与二面角的大小相等，则该圆锥的体积与三棱锥的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三下·上海·阶段练习）在棱长为1的正方体中，，是线段（含端点）上的一动点，则：
①；②平面；③三棱锥的体积是定值；
上述命题中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2025·广东·一模）已知圆柱与圆锥的体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点沿着线段从点移动到点．则下列结论中错误的是（ ）
A．直线与直线为共面直线 B．恒为钝角
C．三棱锥体积不变 D．
8．（24-25高三上·北京海淀·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（ ）
A．平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形
B．存在点，使得直线与平面垂直
C．平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等
D．点到平面的距离不超过
9．（24-25高三上·北京昌平·期末）如图1所示，在正六棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，，，，.在正六棱柱中，截去三棱锥、、，再分别以为轴将分别向上翻转，记三点重合的点为，围成的曲顶多面体如图2所示. 记正六棱柱的表面积与体积分别为，当时，记所围成的曲顶多面体的表面积与体积分别为，则下述判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·天津北辰·期末）在长方体中，，过点与直线AM垂直的平面将长方体分成两个部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）在棱长为a的正方体．中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面的距离（ ）
A．和点E，F的位置有关 B．和EF的长度有关
C．和点P的位置有关 D．等于
12．（24-25高三上·重庆长寿·期末）如图所示，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，是棱上的动点，为棱的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．当为中点时，四点共面
B．当为中点时，直线与所成角为
C．三棱锥的体积为定值1
D．的最小值为
13．（2024·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值
C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是
14．（2024·北京门头沟·一模）如图， 正方体 中， 点 为线段 上的动点， 则下列结论正确的个数是（ ）
（1）三棱锥的体积为定值；
（2）直线与平面所成的角的大小不变；
（3）直线与所成的角的大小不变，
（4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2023·北京朝阳·二模）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面
C．三棱锥的体积是定值 D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为
16．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知正方体的棱长为，分别为和的中点,为线段上的动点，为上底面内的动点，下列判断正确的是（ ）
①三棱锥的体积是定值；②若恒成立，则线段的最大值为；③当与所成的角为时，点的轨迹为双曲线的一部分；
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
17．（2022·北京顺义·二模）如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：
①平面；
②三棱锥体积为定值；
③平面；
④平面平面；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
18．（2020·北京密云·一模）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．与不可能平行
B．与是异面直线
C．点的轨迹是一条线段
D．三棱锥的体积为定值
二、多选题
19．（24-25高三上·山东枣庄·期末）如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．二面角的平面角的大小为
D．存在某个点，使直线与平面所成角为
20．（24-25高三上·山西吕梁·期末）如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ）
A．与一定是异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．平面
D．异面直线与所成角的范围为
21．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分
C．当时，三棱锥的外接球的体积为
D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为
22．（2025·四川成都·二模）如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ）
A．直线与平行
B．四面体的体积为定值
C．点到平面的距离为
D．异面直线与所成的角为
23．（2025·黑龙江·一模）如图，四棱台的底面是正方形，，底面.动点满足，则下列判断正确的是（ ）
A．点可能在直线上
B．点可能在直线上
C．若点在底面内，则三棱锥的体积为定值
D．若点在棱上，则
24．（2025·安徽合肥·一模）在正方体中，P是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ）
A．平面 B．
C．四面体的体积为定值 D．存在点P，使得平面平面
25．（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，正方体的棱长为分别为的中点，点为平面内一点（包含边界），且平面，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，四点共面
B．长度的最小值为
C．三棱锥的体积为定值
D．直线与平面所成角的正切值的取值范围是
26．（2025高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到平面的距离为定值
B．直线与所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为
27．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）给定棱长为1的正方体，是正方形内（包括边界）一点，下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若点在线段上，则异面直线与所成角为定值
C．若点在线段上，则的最小值为
D．若，则点轨迹的长度为
28．（24-25高三上·山东泰安·期末）如图，在正四棱柱中，底面正方形的边长为为线段上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）
A．若直线为平面和平面的交线，则平面中不存在直线与平行
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．直线与平面所成角最大时，
29．（24-25高三上·重庆·期末）在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．的最小值为
C．
D．平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为
30．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（ ）
A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值
B．对于任意，平面
C．动点到直线的距离最小值为
D．满足的的轨迹长度为
31．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则点的轨迹为一段圆弧
C．若的外心为，则为定值2
D．若且，则存在点，使得的最小值为
32．（24-25高二上·重庆开州·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点G到平面的距离为定值
B．若，则的最小值为2
C．若，且，则点G到直线的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
33．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在正方体中，棱长为1，已知点，分别是线段上的动点（不含端点）.下列说法正确的有（ ）
A．存在无数条直线与直线平行
B．与不可能垂直
C．二面角不可能为定值
D．点到任意直线的距离都不可能小于
34．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则点的轨迹为一段圆弧
C．若的外心为O，则为定值2
D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为
35．（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足 ，其中，则 （ ）
A．平面平面
B．对于任意， 三棱锥的体积为定值
C．周长的最小值为
D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为
36．（21-22高二上·山东聊城·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
37．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）在棱长为的正方体中，点 E， F分别是棱BC的中点，下列选项中正确的是（ ）
A．直线EF与所成的角为
B．平面AEF截正方体所得的截面面积为
C．若点P满足其中则三棱锥的体积为定值
D．以为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥表面相交的交线长为
三、填空题
38．（2025高三·全国·专题练习）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面所在四边形的面积为定值；
（4）棱始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．
其中所有正确命题的序号是
39．（24-25高二上·北京·期中）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，给出下列四个结论：
①平面；
②与的夹角为定值；
③三棱锥体积最大值为；
④点的轨迹的长度为1．
其中所有正确结论的序号是 ．
40．（2023·北京通州·三模）在棱长为1正方体中，点P满足，其中，， 给出下列四个结论：
①所有满足条件的点P组成的区域面积为1；
②当时，三棱锥的体积为定值：
③当时，点到距离的最小值为1；
④当，有且仅有一个点P，使得平面
则所有正确结论的序号为 .
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一、单选题
1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在三棱柱中，底面，E是的中点，，点F在上，且，则平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为（ ）
A．9：1 B．10：1 C．11：1 D．12：1
【答案】C
【解析】
如图，延长交于点D，∵，
由底面，易知,
所以，
所以，又，
∴，∴，∴，
∴D是的中点，又∵E是的中点，平面，
∴，
∴平面即平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为11：1，
故选：C.
2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知圆台的上 下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上 下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，记圆台的上 下底面半径分别为，设圆台的母线为，则侧面积为，故，
则圆台的高，
依题意画出轴截面，
记外接球球心到上底面的距离为，
则，解得，
故两个体积之比为
故选：D
3．（2025·云南昆明·一模）已知一个圆锥的顶点和底面圆都在球的球面上，若圆锥的母线与球的半径之比为，则圆锥与球的体积之比等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥底面半径和高分别为，则母线，
显然球为圆锥外接球，设半径为R，由，可得.
又因为圆锥的母线与球的半径之比为，即.
联立可得，将代入，可得.
再将和代入，可得.
然后求圆锥体积与球体积之比：圆锥体积，球的体积.
则. 把，代入上式可得.
故选：C.
4．（2025·山西·一模）设为圆锥底面的一条直径，为底面圆周上异于的一点，为靠近的一个三等分点，且二面角与二面角的大小相等，则该圆锥的体积与三棱锥的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在圆所在平面内，过作，垂足为，过作，垂足为，
∵，∴，，
∴为二面角的平面角，为二面角的平面角，
∴.
∵在和中，，
∴.
∵为上靠近的一个三等分点，∴.
设，则，底面圆半径为，圆锥高.
∵点在圆锥底面圆上，∴，
∵点为中点，，，
∴，，
∴，即，
∴，，
∴.
故选：B.
5．（24-25高三下·上海·阶段练习）在棱长为1的正方体中，，是线段（含端点）上的一动点，则：
①；②平面；③三棱锥的体积是定值；
上述命题中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】对于①，因为平面，平面，则，
又因为，且平面，
得平面，又平面，所以；
因为平面，平面，则，
又因为平面，
所以平面，又平面，
所以，又平面，所以平面，
又平面，所以，故①正确；
对于②，在正方体中，因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理，平面，又平面，
所以平面平面，又平面，所以平面，故②正确；
对于③，由②知，平面，平面，
所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，为定值，故③正确；
故选：D.
6．（2025·广东·一模）已知圆柱与圆锥的体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥和圆柱的底面半径分别为，高分别为，
因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的母线长为，所以，
所以圆锥的体积为，圆柱的体积为，
所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，
所以，化简得，
所以圆柱和圆锥的底面半径之比为,
故选:C.
7．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点沿着线段从点移动到点．则下列结论中错误的是（ ）
A．直线与直线为共面直线 B．恒为钝角
C．三棱锥体积不变 D．
【答案】B
【解析】A：由正方体的结构特征知：，则共面，即共面，
又面，故直线与直线为共面直线，对；
B：当与或重合，而四边形为矩形，则此时为锐角，错；
C：由，面，面，则面，
，即到面的距离恒定，则三棱锥体积不变，对；
D：由，且面，面，则，
又且都在面内，则面，面，
所以，对.
故选：B
8．（24-25高三上·北京海淀·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（ ）
A．平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形
B．存在点，使得直线与平面垂直
C．平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等
D．点到平面的距离不超过
【答案】B
【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
对于A，，即，而直线，则，
又，因此四边形为平行四边形，又，
则四边形为菱形，当点与重合时，平面截正方体表面所得的交线形成的图形是菱形，A正确；
对于B，，，即与不垂直，
而平面，因此直线与平面不垂直，B错误；
对于C，线段的中点为正方体的中心，平面过该正方体的中心，
由对称性，平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等，C正确；
对于D，当点时，，，则，
即，，平面，于是平面，
此时点到该正方体中心的距离即为点到平面的距离，
是点到过的所有截面距离最大值，因此点到平面的距离不超过，D正确.
故选：B
9．（24-25高三上·北京昌平·期末）如图1所示，在正六棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，，，，.在正六棱柱中，截去三棱锥、、，再分别以为轴将分别向上翻转，记三点重合的点为，围成的曲顶多面体如图2所示. 记正六棱柱的表面积与体积分别为，当时，记所围成的曲顶多面体的表面积与体积分别为，则下述判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图2，由题意，
由旋转方法可知，四点共面，且四边形为菱形，
连接，交于，则为中点，且；
如图1，正六棱柱中，平面，
因为平面，所以，
在上底面正六边形中，设中心为.
连接，与的交点即为中点，
则四点共线，且为中点，为中点.
连接，四边形为菱形，则，且，
如图2，连接，
由，，平面，且，
故平面，又平面，所以.
结合图1与图2，
在与中，，，，
所以与全等，，则，
即，平面，且，
则平面，且，
同理，，，
又，
则，
设均为，，
故，
故曲顶多面体可看作由正六棱柱截去个小三棱锥（三棱锥，三棱锥，三棱锥）再补上个大三棱锥，
故曲顶多面体的体积；
因为，
，
所以由正六棱柱的性质结合上面的分析，可知曲顶多面体的表面积
；
而正六棱柱的表面积
；
所以，即.
综上所述，.
故选：C.
10．（24-25高三上·天津北辰·期末）在长方体中，，过点与直线AM垂直的平面将长方体分成两个部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别取靠近的三等分点，取靠近的三等分点，取靠近的三等分点， 连接，建立如下图所示空间直角坐标系，
不妨设，
所以，
所以，
所以，
又∵不共线，∴共面，
又因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
又，平面，
所以平面，
较小部分的几何体如下图所示，
其体积为，
由正四棱柱结构特点易知平面，平面，
所以，
所以较大部分体积，
所以较小部分与较大部分的体积比为.
故选：B.
11．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）在棱长为a的正方体．中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面的距离（ ）
A．和点E，F的位置有关 B．和EF的长度有关
C．和点P的位置有关 D．等于
【答案】D
【解析】在棱长为a的正方体中，由为上两个动点，得平面即平面，
由平面，平面，得平面，
而为AB上任意一点，则点到平面的距离即点到平面的距离，
由平面，平面，得，又，
平面，因此平面，
所以点到平面的距离为，ABC错误，D正确.
故选：D
12．（24-25高三上·重庆长寿·期末）如图所示，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，是棱上的动点，为棱的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．当为中点时，四点共面
B．当为中点时，直线与所成角为
C．三棱锥的体积为定值1
D．的最小值为
【答案】B
【解析】对于A，因为为中点，为棱的中点，所以，
因为，‖，所以，‖，
所以四边形为平行四边形，所以‖，
因为‖，所以‖，所以四点共面，所以A正确；
对于B，由选项A可知当为中点时，‖，所以为直线与所成角，
在中，，所以，
所以，所以直线与所成角不为，所以B错误，
对于C，因为‖，平面，平面，所以‖平面，
所以，所以C正确，
对于D，因为为等边三角形，是上的动点，所以当为中点时，取得最小值，
因为等边的边长为2，所以边上的中线为，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：B
13．（2024·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值
C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是
【答案】D
【解析】对于A，当平面过或时，截面为三角形.
易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时，
由对称性可知，此时平面与交于点，且，
此时截面为四边形，且注意到当分别为的中点时，此时满足，
且，即此时截面四边形是平行四边形，故A错误；
对于BC，设，由余弦定理得，
，
由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和，
当三点共线时取得最小值，
由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值，
所以截面多边形周长的取值范围是，故BC错误；
对于D，记与的交点为，由对称性，，
所以，，
因为，
所以，所以，
记，
则，
因为，
所以
，
由二次函数性质可知，，即，
所以，故D正确；
故选：D.
14．（2024·北京门头沟·一模）如图， 正方体 中， 点 为线段 上的动点， 则下列结论正确的个数是（ ）
（1）三棱锥的体积为定值；
（2）直线与平面所成的角的大小不变；
（3）直线与所成的角的大小不变，
（4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
对于（1），因为，面，面，所以面，
所以上任意一点到平面的距离相等，又，所以三棱锥的体积不变，故正确；
对于（2），点P在直线上运动时，直线AB与平面所成的角和直线与平面所成的角不相等，故错误；
对于（3），设，则，又面，所以，又，所以平面,
又平面，所以，所以点P在直线上运动时，直线与直线所成的角的大小不变，故正确；
对于（4），因为为正方体，则平面，且平面，则，又，且，平面，
所以平面，且平面，所以，
又平面，且平面，所以，又，
且，平面，所以平面，
且平面，所以，
又，平面，所以平面，
且平面，所以，故正确；
故选：C
15．（2023·北京朝阳·二模）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面
C．三棱锥的体积是定值 D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为
【答案】B
【解析】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，
所以，故不可能平行，错；
B：若为中点，则，而，故，
又面，面，则，故，
，面，则面，
所以存在Q使得平面，对；
C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，
所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，
故三棱锥的体积不是定值，错；
D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且，
所以，，若它们夹角为，
则，
令，则，
当，则，；
当则；
当，则，；
所以不在上述范围内，错.
故选：B
16．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知正方体的棱长为，分别为和的中点,为线段上的动点，为上底面内的动点，下列判断正确的是（ ）
①三棱锥的体积是定值；②若恒成立，则线段的最大值为；③当与所成的角为时，点的轨迹为双曲线的一部分；
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】如图（1）所示，因为点为的中点，又由是的中点，可得，
又因为点为上的动点，所以点到直线的距离等于点到的距离，
所以点到直线的距离等于点到直线的距离的一半，
因为正方体的棱长为4，可得，
因为面，且面，所以，
可得点到直线的距离为，所以点到直线的距离，
所以的面积为，
由，且，平面，
所以平面，且，
所以三棱锥的体积为（定值），所以①正确；
如图（2）所示，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，
设，
由
设，则，
因为，所以，可得，
所以 ，
又因为且，可得，
所以当时，线段取得最大值，最大值为，所以②正确；
因为，
又因为与的所成的角为，
所以，
整理得且，所以点的轨迹为抛物线的一部分，所以③错误.
故选：A.
17．（2022·北京顺义·二模）如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：
①平面；
②三棱锥体积为定值；
③平面；
④平面平面；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】与显然不垂直，而，因此与显然不垂直，从而平面是错误的，①错；
，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，的长不变，到的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；
平面就是平面，而与平面相交，③错；
长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．
故选：C．
18．（2020·北京密云·一模）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．与不可能平行
B．与是异面直线
C．点的轨迹是一条线段
D．三棱锥的体积为定值
【答案】A
【解析】设平面与直线交于，连接，，
则为的中点，分别取，的中点，，
连接，，，
如图.
∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
又、是平面内的两条相交直线，
∴平面平面，而平面，∴平面，
得点的轨迹为一条线段，故C正确；
并由此可知，当与重合时，与平行，故A错误；
∵平面平面，和平面相交，∴与是异面直线，故B正确；
∵，则点到平面的距离为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：A．
二、多选题
19．（24-25高三上·山东枣庄·期末）如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．二面角的平面角的大小为
D．存在某个点，使直线与平面所成角为
【答案】ABC
【解析】对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值，
因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确；
对于选项B：
如图建系，设，则
因为，，
所以得，故选项B正确；
对于选项D：取平面的法向量为，
因为 ，
则设直线与平面ABCD所成角,则，
当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确；
对于选项C：设平面法向量为，，
所以，所以
所以令，可得，设平面法向量为，
设二面角 为，则
所以二面角的大小为，故选项C正确.
故选：ABC.
20．（24-25高三上·山西吕梁·期末）如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ）
A．与一定是异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．平面
D．异面直线与所成角的范围为
【答案】BC
【解析】对于A选项，连接、、、，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，同理可证，
因为，、平面，所以，平面，
因为为四边形内（含边界）的一个动点，
故当时，平面，则，故点的轨迹为线段，
当点与点重合时，因为且，则四边形为平行四边形，
此时，，A错；
对于B选项，连接、、、，
在正方体中，平面平面，
因为平面，所以，点到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，
即三棱锥的体积为定值，B对；
对于C选项，连接，
因为且，故四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，所以，平面，C对；
对于D选项，因为，所以，异面直线与所成角等于直线与所成的角，
易知为等边三角形，如下图所示：
当点为的中点时，，此时，直线与所成的角取最大值，
当点与点或点重合时，直线与所成的角取最小值，
因此，异面直线与所成角的范围为，D错.
故选：BC.
21．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分
C．当时，三棱锥的外接球的体积为
D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：因为，
所以点M在平面内，因为底面为菱形，所以,
又因为直棱柱，所以,又因为平面,
平面，所以平面，又平面，
所以，故A正确；
对于选项C，
当时，点M在体对角线交点处，故点M在与底面垂直
且到底面距离为1，因为,所以的外接圆半径
为，设外接球半径为，球心到平面的距离为h，
则,
即，两式联立得，
故外接球体积为，故C正确；
对于选项D，
当时，则三点共线，即点M在线段上，如图建立空间直角坐标系，
则,,
则，
故,则,
又得，,
故，当且仅当时，，故D正确；
对于选项B，，，，
，
由（1）可知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
设，由于是直线与平面内所有直线中所成角的最小值，
所以，，由，
化简可得，且，
易知点为平面内的一点，
当时，则，此时，点的轨迹为平面内的一条线段；
当时，则，此时，点的轨迹为平面内的一条线段；
当时，化简可得或，
此时，点的轨迹为平面内的两条线段，故B错误.
故选：ACD.
22．（2025·四川成都·二模）如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ）
A．直线与平行
B．四面体的体积为定值
C．点到平面的距离为
D．异面直线与所成的角为
【答案】ABC
【解析】对于A选项，连接，
因为是侧面的中心，是底面的中心，
则为的中点，为的中点，
所以在中，为的中位线，即，A正确；
对于B选项，因为，平面平面，
所以平面，
又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，
又为定值，所以四面体的体积为定值，B正确；
对于C选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
解得，令，得，则，
所以点到平面的距离，C正确；
对于D选项，，,
则，
故异面直线与所成的角不为，D错误.
故选：ABC.
23．（2025·黑龙江·一模）如图，四棱台的底面是正方形，，底面.动点满足，则下列判断正确的是（ ）
A．点可能在直线上
B．点可能在直线上
C．若点在底面内，则三棱锥的体积为定值
D．若点在棱上，则
【答案】ACD
【解析】点的轨迹是过点且与垂直的平面（不包括点），因为与所在直线相交且不垂直，因此直线与平面相交，所以A正确；
因为底面，在底面内，所以，
又，，平面，，所以平面，
因为平面，所以，
因此平面平面，
又，平面，平面，
所以，故B不正确；
若点在底面内，则点在直线上，而平面，
所以点到平面的距离为定值，
所以为定值，故C正确；
设的中点为，
若点在棱上，则，，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
在梯形中，可以求得，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
24．（2025·安徽合肥·一模）在正方体中，P是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ）
A．平面 B．
C．四面体的体积为定值 D．存在点P，使得平面平面
【答案】AB
【解析】对于A，因为，平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，因为平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，因为平面，所以，故B正确；
对于C，因为平面，，
所以与平面相交，即点P到平面的距离h不是定值，
因为，为定值，所以四面体的体积不为定值，故C错误；
对于D，以A为坐标原点，分别以AB，AD，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则，，，，设，
则，，，，
设平面的法向量为，
由，取，则，，所以，
平面的法向量为，
由，取，则，，所以，
若存在点P，使得平面平面，
则，
因为，所以无解，
所以不存在点P，使得平面平面，故D错误.
故选：AB.
25．（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，正方体的棱长为分别为的中点，点为平面内一点（包含边界），且平面，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，四点共面
B．长度的最小值为
C．三棱锥的体积为定值
D．直线与平面所成角的正切值的取值范围是
【答案】AC
【解析】在正方体中，取的中点，连接，
由分别为的中点，得，平面，平面，
则平面，又，则四边形是平行四边形，
，平面，平面，则平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
则平面，又平面，于是点的轨迹是线段，
对于A，当时，即点为中点，可得，四点共面，A正确；
对于B，在中，，的最小值为，B错误；
对于C，平面，平面，则平面，点到平面的距离为定值，
而的面积是定值，三棱锥的体积为定值，C正确；
对于D，平面，而，直线与平面所成角的正切值
，D错误.
故选：AC
26．（2025高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到平面的距离为定值
B．直线与所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】选项A：如图1，由题易知，因为平面，平面，
所以平面，
所以动点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，A正确.
选项B：直线与所成的角即直线与所成的角，
当为的中点时，所成的角最大，为，
当与（或）重合时，所成的角最小，为，
所以与所成角的取值范围为，B正确.
选项C：将沿直线翻折，使其与平面共面，
记翻折后点对应的点为，连接，如图2，
则，在中，由余弦定理可得：
，
即的最小值为，C错误.
选项D：如图3，过作于点，连接，
则，平面，平面，所以平面，
又平面，，，平面，
所以平面平面，则平面，
又平面，平面平面，所以.
设，则，，且，
所以，
当且仅当时等号成立，D正确.
故选；ABD
27．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）给定棱长为1的正方体，是正方形内（包括边界）一点，下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若点在线段上，则异面直线与所成角为定值
C．若点在线段上，则的最小值为
D．若，则点轨迹的长度为
【答案】ABC
【解析】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接，
设，，则，
对于A，易得面的法向量为，设到面的距离为，
由点到平面的距离公式得，而，
则，即三棱锥的体积为定值，故A正确，
对于B，因为点在线段上，所以，
而，，则，，
得到，，解得，即，
如图，连接，由题意得，，
则，，设异面直线与所成角为，
则，而，故，
即异面直线与所成角为定值，故B正确，
对于C，如图，将面沿着翻折，使面与面共面，
由题意得四边形是正方形，四边形是矩形，
得到，，故
而，则的长度即为所求最小值，
由余弦定理得，解得，故C正确，
对于D，如图，连接，此时，，
则由两点间距离公式得，
因为，所以，
两边同时平方得，化简得，
则的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，
由正方体性质得，则弧长为，
即点轨迹的长度不为，故D错误.
故选：ABC
28．（24-25高三上·山东泰安·期末）如图，在正四棱柱中，底面正方形的边长为为线段上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）
A．若直线为平面和平面的交线，则平面中不存在直线与平行
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．直线与平面所成角最大时，
【答案】ACD
【解析】对于A，因为平面，且平面，平面平面，所以；
又与平面相交，则平面中不存在直线与平行，即平面中不存在直线与平行，故A正确；
对于B，
建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，
所以，，，，
则，，
因为，所以不成立，即不成立，
所以平面不成立，故B错误；
对于C，因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，又为线段上的一个动点，
所以点到平面的距离为定值，
又，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D，由选项C可知，点到平面的距离为定值，
记直线与平面所成角为，
则，又正弦函数在上单调递增，则最大时，最大，
所以当最小时，有最大值，此时，
此时，在中，，又，所以，
在中，，从而，故D正确；
故选：ACD.
29．（24-25高三上·重庆·期末）在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．的最小值为
C．
D．平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为
【答案】AC
【解析】对于选项A：取中点，因为为侧面的中心，
所以，且，又，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，则，
又平面，即平面，即平面，
则点到平面的距离恒为直线到平面的距离，
而，则三棱锥的体积不变，正确；
对于选项B：连接，则，
,
作出平面三角形可知时，取得最小值，
此时由余弦定理得，
所以，
所以，不正确；
对于选项C：由平面平面，
而平面与两个平面分别交于，则.
作，则，则，所以，
所以，正确；
对于选项D：连接延长至与交于，连接，
由选项C知，则截面为，记几何体的体积为，
则，
则另一部分的体积，则，不正确.
故选：AC
30．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（ ）
A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值
B．对于任意，平面
C．动点到直线的距离最小值为
D．满足的的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】对于选项A，易知在正方体中，平面平面，故动点在运动的过程中，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积是定值，故A正确；
对于选项B，当运动到点时，易知不垂直于，所以不垂直于平面，故B错误；
对于选项C，以点为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系，设，设（题眼），，，，，，则，故，设动点到直线的距离为，过作平面，过作于，连接，则，则（关键：主元法求最值），当，时，取最小值，且最小值为2，则动点到直线的距离最小值为，故C正确；
对于选项D，设到平面的距离为，由等体积法得，则，解得．如图2，取的中点，连接，作平面，垂足为，易知点在的延长线上．由选项C，可设平面内点，，又，，则解得所以，取的中点，连接，，延长，，交于点，作于点，作交于点，如图2，则，即，则，又，即，则，则，即，则，所以（提示：利用等比例确定平面内的位置）．由已知，点的轨迹为以为圆心的圆弧，不妨设该圆弧的半径为，则，则，则以为圆心的圆弧所对圆心角，故轨迹长为，故D正确．
故选：ACD．
31．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则点的轨迹为一段圆弧
C．若的外心为，则为定值2
D．若且，则存在点，使得的最小值为
【答案】ABD
【解析】对A项，连接，故点在线段上，因为，故平面，所以到平面的距离为定值，又因为为定值，所以四面体的体积为定值，A对；
对B项，如图，取中点，因为底面为一个内角的菱形，
所以，以为原点建系如图，故，
设，由可得，
故点为以为圆心，为半径的圆落在正方形内的部分，
设与圆交于点，因为，所以，
故点轨迹的长度为，B对；
对C项，如图，取中点，所以，故，C错；
对D项，结合B项中建系，设，可得，
所以，
如图，设，
在线段上取点，设，则，
显然，连接使得共线，此时有最小值，故D对.
故选:ABD.
32．（24-25高二上·重庆开州·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点G到平面的距离为定值
B．若，则的最小值为2
C．若，且，则点G到直线的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，
所以，
又平面，平面，所以平面，
又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故A正确；
对于B，连接，面，是在平面上的射影，
要使，则，
所以点M的轨迹是平面上以F为圆心，1为半径的半圆，
所以的最小值为，故B错误；
对于C，连接，，，，
因为，且，所以A，E，，G四点共面，
因为在正方体中，平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，则，则，
因为E为棱的中点，所以G为棱的中点，
故以为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，，，，
故点G到直线距离，故C正确；
对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，
设（），则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线与平面所成角为（），
则，
因为，所以，则，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
33．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在正方体中，棱长为1，已知点，分别是线段上的动点（不含端点）.下列说法正确的有（ ）
A．存在无数条直线与直线平行
B．与不可能垂直
C．二面角不可能为定值
D．点到任意直线的距离都不可能小于
【答案】AD
【解析】对于A，由，平面，平面，得平面，
则过的平面与平面相交，交直线分别于点，必有，
因此有无数条直线与直线平行，A正确；
对于B，在正方体中，，由平面，平面，
得，而平面，则平面，
又平面，因此，B错误；
对于C，由，得平面即为平面，平面即为平面，
因此二面角即为二面角，而二面角为定值，
则二面角为定值，C错误；
对于D，由选项B知，平面，点到平面的距离为，
而平面，因此点到任意直线的距离都不可能小于，D正确.
故选：AD
34．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则点的轨迹为一段圆弧
C．若的外心为O，则为定值2
D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，如图，取靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，
连接，
因为，所以，
令，而，
则，得到，
因为靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，所以，
而由直四棱柱性质得，
而，由勾股定理得，
在直四棱柱中，，，
得到四边形是平行四边形，故，
则，由题意得为的中点，则的面积是定值，
而面，面，所以面，
结合，由线面平行性质得到面的距离为定值，
即四面体的体积为定值，故A正确，
对于B，如图，在面中，过作，连接，
由直四棱柱性质得面，则，
而，面，
故面，则，
而面为菱形，则面为菱形，
因为，所以，
因为，所以，则，
由锐角三角函数定义得，解得，由勾股定理得，
因为，所以由勾股定理得，
则在以为圆心，为半径的圆上运动，
设该圆与交于，与交于，
由三角函数定义得，则，
即点的轨迹为一段圆弧，故B正确，
对于C，如图，作，由题意得的外心为，故是的中点，
由已知得，因为，所以，
而，
，故C错误，
对于D，若且，此时，
因为P为的中点，所以，
由向量加法法则得，故，
则点与点重合，此时把沿着翻折，
如图，使得四点共面，此时有最小值，
此时的点均为翻折过的点，因为P为的中点，所以，
由勾股定理得，如图，连接，
由已知得，则，
由余弦定理得，解得，
由直四棱柱性质得面，则，
则由勾股定理得，
则，故，
而，则，得到，
由余弦定理得，解得，故D正确.
故选：ABD
35．（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足 ，其中，则 （ ）
A．平面平面
B．对于任意， 三棱锥的体积为定值
C．周长的最小值为
D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
对于选项A：因为，，，
设平面法向量，则，
令，则，可得，
设平面法向量，则，
令，则，可得，
因为，则，
所以平面平面，故A正确；
对于选项B：因为，则，
可知与不垂直，则与平面不平行，
所以当在运动时，到平面的距离不是定值，
且底面的面积为定值，则三棱锥的体积不是定值，故B错误；
对于选项C：因为，
将平面沿旋转至与平面共面，
则，可得，
所以周长的最小值为，故C正确；
对于选项D：因为正方体的球心，球的半径，
当时，则，可得， ，
设平面法向量为，则，
令，则，可得，
则球心到平面的距离，
设平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径为，
则，
所以平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确.
故选：ACD.
36．（21-22高二上·山东聊城·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
【答案】ABD
【解析】因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、，
设，，其中，
所以，所以，A选项正确．
点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确．
，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得平面的一个法向量为，
要使平面，平面，
则，
解得，所以存在点，使平面，B选项正确；
若直线与直线所成角为，
则，
整理可得，，方程无解，所以C选项错误．
故选：ABD．
37．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）在棱长为的正方体中，点 E， F分别是棱BC的中点，下列选项中正确的是（ ）
A．直线EF与所成的角为
B．平面AEF截正方体所得的截面面积为
C．若点P满足其中则三棱锥的体积为定值
D．以为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥表面相交的交线长为
【答案】BCD
【解析】
对于A，连接因为E，F分别是棱BC，的中点，所以
所以直线EF与所成的角为
因为几何体是正方体，所以为等边三角形，
所以，即直线EF与所成的角为，故A错误；
对于B，连接因为平行且相等，故四边形为平行四边形，
所以，所以
所以平面AEF截正方体所得的截面为梯形
因为，，梯形的高为，
所以梯形的面积为故B正确.
对于C，因为其中，所以，
所以 ，所以P点在线段上 ，
又因为与平行平面平面
所以P到平面的距离为定值，三角形的面积为定值，
所以为定值.故C正确；
对于D，因为 是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以为圆心，圆心角为以4为半径的圆弧，其弧长为，
是直角三角形，球面与这个面的交线是以B为圆心，圆心角，半径为2的圆弧，其弧长为，
是等边三角形，球面与这个面的交线是以为圆心，圆心角，半径为4的圆弧，其弧长为
所以球面与三棱锥表面的交线长为， 故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
38．（2025高三·全国·专题练习）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面所在四边形的面积为定值；
（4）棱始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．
其中所有正确命题的序号是
【答案】（1）（2）（4）（5）
【解析】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，
其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，
所以（1）和（2）正确；
因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，
所以水面四边形的面积是变化的，（3）错误；
因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以（4）正确；
因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变 ，即是定值，
所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确，
故答案为：（1）（2）（4）（5）.
39．（24-25高二上·北京·期中）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，给出下列四个结论：
①平面；
②与的夹角为定值；
③三棱锥体积最大值为；
④点的轨迹的长度为1．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】取的中点为，连接，如下图所示：
由为的中点，可得，且；
又为边的中点，所以，且，即；
即可得四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面,
因此平面，即①正确；
由①可知与的夹角即为与的夹角，
由菱形性质可知，，
在中，，所以；
因此与的夹角即为的补角，即与的夹角为定值，所以②正确；
结合①②分析可知，当平面时，三棱锥体积最大，
此时，可知③错误；
结合①中的分析可知，点的轨迹与点轨迹相同，
在翻折过程中，点由的中点翻折到的中点过程中，
其轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆，
所以点的轨迹是半径为的半圆，在平面的射影为的轨迹应为圆的直径，
所以点的轨迹的长度为1，即④正确.
故答案为：①②④
40．（2023·北京通州·三模）在棱长为1正方体中，点P满足，其中，， 给出下列四个结论：
①所有满足条件的点P组成的区域面积为1；
②当时，三棱锥的体积为定值：
③当时，点到距离的最小值为1；
④当，有且仅有一个点P，使得平面
则所有正确结论的序号为 .
【答案】①②③
【解析】如图所示：
对于①，因为，，，
所以点在正方形内，而正方形的面积为1，故正确；
对于②，当时，，即，，
所以在线段上，
由题意可知∥平面，
所以上的点到平面的距离处处相等，
又因为的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故正确；
对于③，当时，， 即，，
所以在线段上，连接，
由题意可知平面，平面，所以，
所以的长为点到的距离，当与重合时，最小，为1，故正确；
对于④，当，，
取中点，中点，
则在线段上，
易知，
如果平面，平面，则必有，
又因为平面，平面，
所以，，
所以平面，则有，
又因为，所以∥，与矛盾，故错误.
故答案为：①②③
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