第5讲 体积、面积、周长、距离最值与范围问题
一、单选题
1．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列说法中不正确的有（ ）
A．三棱锥体积的最小值为
B．三棱锥体积的最大值为
C．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角
D．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角
2．（2025·高三·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·高三·内蒙古赤峰·期末）如图，与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，，M为的中点，现将沿翻折，得到三棱锥，记二面角的大小为，，下列说法不正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．与平面所成角的正切值最大为
D．记三棱锥外接球的球心为O，则的最小值为
5．（2025·福建厦门·二模）已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖北·模拟预测）若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
7．（2025·高三·山东·开学考试）已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点，则长度的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．（2025·黑龙江·一模）如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·高三·全国·专题练习）图甲是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上、下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转，得图乙所示几何体．已知为正三角形，若将图乙所示几何体放在一个球形容器内，则该球形容器表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
上、下底面的外接圆半径均为，
故该几何体的外接球球心O是线段MN的中点．
球心O到两底面的距离均为．
如图5，取EF的中点H，连接MH，BH，则，，
且，连接NB，则，．
在直角梯形MNBH中，，，
所以，
所以．
连接OB，则OB的长为外接球半径R，
在中，，
于是该几何体外接球的表面积为．
故选：A．
10．（2025·高二·四川成都·期中）已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）在正方体中，N是上靠近点B的一个四等分点，M是棱上的动点，若平面与平面所成锐二面角的最小值为θ，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·高三·全国·专题练习）已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ）
A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形
B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形
C．长度的最大值是2
D．长度的最小值是
13．（2025·高二·山西太原·期中）在如图所示的试验装置中，正方形框的边长是，矩形框中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段和上移动，则的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·高二·浙江·阶段练习）正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
15．（2025·高三·山东青岛·期末）如图，正方形的边长为1，为等边三角形，将分别沿向上折起，使得点D，E重合并记为点P．若三棱锥可以在一个圆柱内任意转动，则此圆柱表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·高三·云南文山·期末）已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
17．（2025·高三·黑龙江·阶段练习）半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点满足，则直线与平面所成角的正弦值（ ）
A．为定值 B．存在最大值，且最大值为1
C．为定值1 D．存在最小值，且最小值为
18．（2025·高三·重庆长寿·期末）如图所示，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，是棱上的动点，为棱的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．当为中点时，四点共面
B．当为中点时，直线与所成角为
C．三棱锥的体积为定值1
D．的最小值为
19．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在四棱锥中，平面，二面角的大小为，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2025·高二·广西南宁·期中）我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
21．（2025·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值
C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是
22．（2025·高一·吉林长春·期中）在棱长为2的正方体中，若在线段和线段上分别取点E，F，使得直线平面，则EF的长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
23．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为的正方体中，点E，F在线段BD上，点H，G分别在线段AD，AB上，且，，，动点P在平面内．若PH，PG与平面所成的角相等，则BP的最小值是( )
A． B． C．5 D．
24．（2025·高三·福建龙岩·阶段练习）已知正三棱锥的棱长均为2，点在以为直径的球上运动，且，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2025·安徽·模拟预测）已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
26．（2025·高三·河北·开学考试）已知四棱锥中，底面是周长为的矩形，点为与的交点，且底面，平面与平面的夹角的余弦值为，则四棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
27．（2025·高三·重庆沙坪坝·开学考试）四面体 中， ，点 在三角形 内部 (包含边界) 且 ，则三棱锥 的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
28．（2025·云南·一模）已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
29．（2025·福建泉州·一模）如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
30．（2025·湖北鄂州·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
31．（2025·高三·安徽亳州·期末）已知四面体的棱，分别是同一个圆柱上、下底面的直径，若圆柱的体积为，则四面体体积的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
32．（2025·高三·吉林通化·期末）已知三棱锥的外接球半径为，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
33．（2025·高三·吉林长春·期末）三棱锥中，，为中点，且，，和均为面积为的锐角三角形，则当三棱锥的体积取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
34．（2025·高三·河南·阶段练习）已知在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．（2025·高三·安徽阜阳·期末）如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内装有一定体积的水，容器的底面半径，为容器下底面的直径．如图②，将该容器绕点倾斜后，当且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的点到容器下底面距离的最大值与最小值分别为，；当时，水的最大深度为，则下列说法正确的是（ ）
A．若水面形状为椭圆，则该椭圆的短轴长为2
B．若水面形状为椭圆，则该椭圆的离心率为
C．若容器的高为4，，则
D．若容器的高为4，，则
36．（2025·高三·贵州黔东南·期末）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，动点在正方形内（包括边界），若平面，则（ ）
A．点的轨迹长度为 B．的最小值为
C．存在点，使得 D．与平面所成角的正切值的最大值为
37．（2025·高三·广东惠州·阶段练习）如图，在边长为4的正方体中，分别是棱的中点，是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．存在满足
B．若平面，则点的轨迹长度为
C．若，则点到平面距离最小值为
D．若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
38．（2025·高三·湖南·开学考试）在三棱锥中，，，直线与平面所成的角为，二面角为，二面角和均为锐角，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与一定不相等
C．三棱锥体积的最小值为
D．当三棱锥的体积取得最小值时，与平面所成角的正切值为
39．（2025·高二·河南洛阳·期末）如图所示，有一个棱长为2的正四面体容器，D是的中点，E是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与所成的角为
B．的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
40．（2025·湖北·模拟预测）在一次数学兴趣小组的实践活动中，李怡同学将一张边长为的菱形纸片沿对角线折叠，形成一个二面角模型，如图所示.下列叙述中正确的有（ ）
A．四面体体积的最大值为；
B．在折叠的过程中，存在某个时刻使；
C．当时，动点在平面内且，则动点所形成区域的面积为；
D．在C的条件下，若直线与直线所成的角为，则的最大值为.
41．（2025·福建莆田·二模）在三棱锥中，平面分别为中点，下列结论正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．平面
C．三棱锥的体积最大值为 D．三棱锥外接球的半径为定值
42．（2025·高三·海南海口·期末）在棱长为2正方体中，、分别为棱、的中点，过直线的平面截该正方体外接球所得的截面面积为.下列选项正确的是（ ）
A．与所成的角为
B．的最大值为
C．当取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形
D．的最小值为
43．（2025·高二·浙江·阶段练习）如图，把正方形纸片沿着（是线段的中点）翻折成平面，是原正方形的中心，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ）
A．
B．与所成角的最大值是
C．若是的中点，则与平面所成角的正弦值的最大值是
D．过做的垂线与交于点，
44．（2025·高三·浙江宁波·阶段练习）在棱长为2的正方体中，为面内以为直径的半圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为
B．与平面所成角的最大值的正弦值为
C．的最小值为
D．二面角的最小值的正切值为
45．（2025·高三·山西吕梁·期末）如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ）
A．与一定是异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．平面
D．异面直线与所成角的范围为
三、填空题
46．（2025·高二·河北邯郸·期末）如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ．
47．（2025·湖北武汉·二模）四棱锥中，，，，，，内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等，则长的最小值为 ．
48．（2025·辽宁·二模）我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图.
如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数.
（1）的定义域是 ；（2）的最小值是 .
49．（2025·高三·全国·专题练习）直三棱柱中，，侧棱长为2，该三棱柱的体积为，则三棱柱外接球的表面积的最小值为 .
50．（2025·高三·浙江·开学考试）四棱锥满足底面，且，，，动点在以为球心1为半径的球与（包括边界）的交线上，动点在直线上，则的最小值为 ．
51．（2025·高三·北京·开学考试）如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 .
52．（2025·山西晋中·模拟预测）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，，分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，，且底面椭圆的离心率为，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥体积的最大值为 .
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一、单选题
1．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列说法中不正确的有（ ）
A．三棱锥体积的最小值为
B．三棱锥体积的最大值为
C．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角
D．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角
【答案】B
【解析】如图（1）所示，作平面，连接，
因为直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，
所以，即
所以，即，
以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图（2）平面直角坐标系，
设，，，
则，整理得，
可得圆心，半径，
设点圆与轴的交点分别为，可得，
因为，所以
又由且， 所以，
则，，所以A正确，B错误；
因为，可设，
设与平面所成角为，且，
可得，且，
又由
，
令，根据斜率的几何意义，可得表示圆与定点连线的斜率，
又由与圆相切时，
可得，解得或，即，
当时，此时取得最小值，即最小时，此时H在外部，
如图（3）所示，此时二面角的平面角为锐角，的平面角为钝角，所以C、D正确．
故选：B
2．（2025·高三·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取的中点为，
由正方形的边长为4，得，
因此为四面体的外接球球心，外接球半径，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
则有，即，
当截面时，最大，此时截面面积最小，且，
在中，，，．
由余弦定理可得，．
此时，所以截面面积最小值为.
故选：C
3．（2025·高三·内蒙古赤峰·期末）如图，与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将该几何体旋转后与原几何体组合成一个圆柱体，如图；
则，过作，则，则，
∴该几何体的体积：，
故选：C.
4．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，，M为的中点，现将沿翻折，得到三棱锥，记二面角的大小为，，下列说法不正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．与平面所成角的正切值最大为
D．记三棱锥外接球的球心为O，则的最小值为
【答案】A
【解析】对于A，由条件知，沿翻折得到的几何体是圆锥，
设为D在平面的射影，
在平面的轨迹是一条线段，且这条线段是一条以为中点的线段，长为，该线段还与垂直，
若，则在平面上的射影，
因为，所以不可能有，故A错误；
对于B，翻折过程中点M为半圆上的一点，圆心为的中点N，则必存在，
使得，即，故B正确；
对于C，此时与圆相切于点M，即与平面所成的角也达到最大，
因为圆半径为，切线长为，所以正切值为，故C正确；
对于D，首先设正的中心为G，过点G的直线平面，
沿翻折过程中，过中点且垂直的平面必过点M且与直线l相交，
交点即为三棱锥外接球的球心O，此时，
要使切线长最小，即最小，则O与G重合，
易知，所以，故D正确.
故选：A.
5．（2025·福建厦门·二模）已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径.
∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
∵平面，，∴平面平面，
∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
∴点到平面的距离为，
∴圆的半径为，
由得，，
∴，
∴的最小值为.
故选：A.
6．（2025·湖北·模拟预测）若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】
设正六棱锥的底面边长与高分别为,
底面为正六边形，设底面的中心为，连接，
则，底面，为正六棱锥的高，
所以，
因为正六棱锥的体积为，所以，即，
则 ，
因为，
当且仅当，即时取最小值，
则 的最小值为.
故选：A.
7．（2025·高三·山东·开学考试）已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点，则长度的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接，
因为正方体的棱长为3，所以，，
，，，而，，
，，由题意得共线，共线，
设，，，，
则，，，
得到，，，解得，则，
而，故，
得到，，，
解得，，，则，
故，
设面的法向量为，结合，，
则，，
令，解得，，故，
因为平面平面，所以也是面的法向量，
则，即，解得，此时，
由向量模长公式得，
，
若最小，则最小即可，
令，由二次函数性质得对称轴为，
而，则当时，取得最小值，最小值为，
则的最小值为，即的最小值为，故C正确.
故选：C
8．（2025·黑龙江·一模）如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取圆台下底面圆心，令，连接，显然，
由平面平面，平面，平面，得
则四边形为平行四边形，，
在中，，，在圆中，当且仅当时，取最小值6，
由，解得，因此，圆台的高，
所以该圆台的体积为.
故选：C
9．（2025·高三·全国·专题练习）图甲是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上、下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转，得图乙所示几何体．已知为正三角形，若将图乙所示几何体放在一个球形容器内，则该球形容器表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，所求球的表面积最小时就是该几何体外接球的表面积．
旋转后所得几何体的上底面为正方形，且与下底面平行．
设旋转后得到的几何体上、下底面中心分别为点M，N，连接MN，则MN为两底面的垂线．
上、下底面的外接圆半径均为，
故该几何体的外接球球心O是线段MN的中点．
球心O到两底面的距离均为．
如图5，取EF的中点H，连接MH，BH，则，，
且，连接NB，则，．
在直角梯形MNBH中，，，
所以，
所以．
连接OB，则OB的长为外接球半径R，
在中，，
于是该几何体外接球的表面积为．
故选：A．
10．（2025·高二·四川成都·期中）已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，
∴，即，
由共面向量定理得，，E，A，C四点共面，即点E在平面上，
则的最小值为点D到平面的距离．
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，
则，取，
D到平面的距离，
即的最小值为．
故选：B
11．（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）在正方体中，N是上靠近点B的一个四等分点，M是棱上的动点，若平面与平面所成锐二面角的最小值为θ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
平面平面，过点D作，垂足为G，连接，
则即为平面与平面所成的锐二面角，，
当最大时，最小，不妨设，
因为，
所以，
，
故选：C．
12．（2025·高三·全国·专题练习）已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ）
A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形
B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形
C．长度的最大值是2
D．长度的最小值是
【答案】B
【解析】如图，
因为满足平面，则所在的平面与正方体表面的交线，上下平面交线平行于，
前后平面交线平行于，左右平面交线平行于，
所以所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形，故A错误，B正确；
以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
其中，分别是的中点，
则直线的方程为
因为满足平面，则在所以设线段上的点，
点，则，
所以当时，；当时，．故C，D错误．
故选：B．
13．（2025·高二·山西太原·期中）在如图所示的试验装置中，正方形框的边长是，矩形框中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段和上移动，则的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，因平面平面，且平面平面，
又矩形，则，
又平面，则平面，
因正方形，故可以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
则，连结，
设，
设，
则 ，
则
，
故当时，取得最小值为，
此时取得最小值.
故选：C.
14．（2025·高二·浙江·阶段练习）正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】由正方体的结构特征可知，平面，
点M是内一动点，且，所以点在线段上运动，
动线段在内运动，动线段在内运动，动线段在内运动，
以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示：
其中翻折至，翻折至，
的周长等于,最小值等于
，
由余弦定理可求得，
所以，
故的周长最小值等于，
故选：B.
15．（2025·高三·山东青岛·期末）如图，正方形的边长为1，为等边三角形，将分别沿向上折起，使得点D，E重合并记为点P．若三棱锥可以在一个圆柱内任意转动，则此圆柱表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设的中点为，因为与是直角三角形，则，
所以是三棱锥的外接球的球心，由正方形的边长为1，
所以可求得外接球的半径为，
要使三棱锥可以在一个圆柱内任意转动，
则三棱锥的外接球能放入圆柱，则三棱锥可以在一个圆柱内任意转动，
要使圆柱表面积最小，则三棱锥的外接球恰好内接于圆柱，
此时圆柱的表面积为.
故选：C.
16．（2025·高三·云南文山·期末）已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】
如图，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设点，，，
则，，
，
当时，的最小，最小值为.
故选：A.
17．（2025·高三·黑龙江·阶段练习）半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点满足，则直线与平面所成角的正弦值（ ）
A．为定值 B．存在最大值，且最大值为1
C．为定值1 D．存在最小值，且最小值为
【答案】A
【解析】，即在线段（不包括点）.
如图，将该半正多面体补成正方体，则平面平面，
因此直线与平面所成角等于直线与平面所成角.
在正四面体中，设正四面体的棱长为2，作平面，垂足为，
连接，则即为直线与平面所成角.
易求，所以，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A.
18．（2025·高三·重庆长寿·期末）如图所示，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，是棱上的动点，为棱的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．当为中点时，四点共面
B．当为中点时，直线与所成角为
C．三棱锥的体积为定值1
D．的最小值为
【答案】B
【解析】对于A，因为为中点，为棱的中点，所以，
因为，‖，所以，‖，
所以四边形为平行四边形，所以‖，
因为‖，所以‖，所以四点共面，所以A正确；
对于B，由选项A可知当为中点时，‖，所以为直线与所成角，
在中，，所以，
所以，所以直线与所成角不为，所以B错误，
对于C，因为‖，平面，平面，所以‖平面，
所以，所以C正确，
对于D，因为为等边三角形，是上的动点，所以当为中点时，取得最小值，
因为等边的边长为2，所以边上的中线为，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：B
19．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在四棱锥中，平面，二面角的大小为，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，，，，在一个圆上，故，又，
所以，即，故是四边形外接圆的直径，
由平面，，，平面，则，，，
由，，平面，则平面，平面，则，
由，，平面，则平面，平面，则，
故，，都是以为斜边的直角三角形，故中点为外接球球心，
且为二面角的平面角，故，
因为，，
令且，则，，
故，
所以外接球半径，
当时，，此时球的表面积的最小值为．
故选：C
20．（2025·高二·广西南宁·期中）我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设圆柱的高为，
则，故
设圆柱的外接球半径为，则，
故，
当且仅当，时，等号成立，
故当时，圆柱的外接球表面积取得最小值.
故选：C
21．（2025·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值
C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是
【答案】D
【解析】对于A，当平面过或时，截面为三角形.
易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时，
由对称性可知，此时平面与交于点，且，
此时截面为四边形，且注意到当分别为的中点时，此时满足，
且，即此时截面四边形是平行四边形，故A错误；
对于BC，设，由余弦定理得，
，
由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和，
当三点共线时取得最小值，
由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值，
所以截面多边形周长的取值范围是，故BC错误；
对于D，记与的交点为，由对称性，，
所以，，
因为，
所以，所以，
记，
则，
因为，
所以
，
由二次函数性质可知，，即，
所以，故D正确；
故选：D.
22．（2025·高一·吉林长春·期中）在棱长为2的正方体中，若在线段和线段上分别取点E，F，使得直线平面，则EF的长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】过点作棱的平行线，分别交于点，连接，
平面，平面，则平面，又平面，
平面，于是平面平面，
而平面平面，平面平面，因此，
设，则，，
又四边形为矩形，则，
当且仅当时取等号，所以EF的长的最小值为.
故选：A
23．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为的正方体中，点E，F在线段BD上，点H，G分别在线段AD，AB上，且，，，动点P在平面内．若PH，PG与平面所成的角相等，则BP的最小值是( )
A． B． C．5 D．
【答案】B
【解析】∵，且，∴．
又∵，且，∴平面．
∵，∴平面．
∴PH，PG与平面所成角分别为，，则．
∵，，且，∴．
又∵，∴，
在平面中，以EF为x轴，其垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，，．
设，
由，可得，整理得，
∴点P在圆心为，半径长为的圆上，
此时BP的最小值是．
故选：B．
24．（2025·高三·福建龙岩·阶段练习）已知正三棱锥的棱长均为2，点在以为直径的球上运动，且，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图，设为的中点，设中点为，连接，
由得在的中垂面上且在以为圆心，1为半径的圆上，
连接，
为正三棱锥，，
平面，，平面，
平面与圆面重合，
又正三棱锥的棱长为2，，
当点三点共线时，
三棱锥体积最大，作平面，点
易知，，，
.
故选：B.
25．（2025·安徽·模拟预测）已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，正四面体底面的中心记为点，连接，.
由正四面体的性质可得：面.因为正四面体棱长为2，
所以底面三角形的高为，则，
所以正四面体的高.
设正四面体内切球的半径为，球心为.
由等体积法可得：，
即，解得：，
所以正四面体的内切球的半径，
因为正方体的棱长为，
所以正方体的外接球的半径，因此.
故选：C
26．（2025·高三·河北·开学考试）已知四棱锥中，底面是周长为的矩形，点为与的交点，且底面，平面与平面的夹角的余弦值为，则四棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，点为与的交点，且底面，
所以，
所以，又因为底面是周长为的矩形，
设，则，所以矩形的面积为，
又因为平面与平面的夹角的余弦值为，
取点为的中点，连接，可得，，
所以为平面与平面的夹角，所以，
所以，又因为，所以，
所以四棱锥的体积
，
设，则．
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取最大值，即取最大值，且最大值为.
故选：A
27．（2025·高三·重庆沙坪坝·开学考试）四面体 中， ，点 在三角形 内部 (包含边界) 且 ，则三棱锥 的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
过点作于点，过点作交于点，
因为，平面，所以平面，
因为点在三角形内部，所以点为上的点，
由图可知当点在点处时，点到平面的距离最大，
又，所以点在点处时，三棱锥的体积最大，
在中，，，
则，，
在中，，
则，，
设点到平面的距离为，
因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以点到平面的距离为点到的距离，
在和中，
，
解得，
在中，则，
，即，
解得，
所以.
故选：D.
28．（2025·云南·一模）已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：
设正四棱锥的高为，球的体积为，所以球的半径，
设正四棱锥的底面边长为，则，解得，
所以正四棱锥的体积，
则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故当时，正四棱锥的体积取得最大值，最大值为.
故选：C
29．（2025·福建泉州·一模）如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
过点作，交底面圆于两点，连接，，，
设，则，
所以当最大时，最大，
由圆锥的性质得底面，
因为底面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为分别是的中点，所以，则，
因为，平面，所以平面，
则平面为截面，
因为为中点，所以，所以平面，
因为平面，所以，所以，
则当最大时，最大，
如图为截面的平面图，
以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系，
，，，则抛物线方程为，
设，，则，
所以，
则此时，.
故选：C.
30．（2025·湖北鄂州·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，将三棱锥放于平行六面体中，
则，又，，
则，.又四边形，四边形为平行四边形，
则四边形，四边形为菱形.
则.
注意到，
又，
则，设PH与底面HBGC夹角为，
则
，当且仅当时取等号，则.
故选：D
31．（2025·高三·安徽亳州·期末）已知四面体的棱，分别是同一个圆柱上、下底面的直径，若圆柱的体积为，则四面体体积的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】设圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为，点到平面的距离为，
因是的中点，故到平面的距离也为，
由圆柱的体积为，可得，
故
.
当且仅当时取最大值4.
故选：B.
32．（2025·高三·吉林通化·期末）已知三棱锥的外接球半径为，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：
设的外接圆半径为，由.
下面简单说明圆内接三角形为等边三角形时，面积最大.
当边确定时，要使三角形面积最大，需要点到边距离最大，此时；
同理，当确定时，要使三角形面积最大，须有.
所以当为等边三角形时，的面积最大，此时.
所以的最大面积为：.
当三棱锥的高时，三棱锥的体积最大，此时.
由.
所以三棱锥外接球的体积为：.
故选：D
33．（2025·高三·吉林长春·期末）三棱锥中，，为中点，且，，和均为面积为的锐角三角形，则当三棱锥的体积取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，，，
平面，平面，
过作，垂足为，由 平面，
可得，由，平面，
所以平面，即为棱锥的高.
记，，则，．
根据三角形面积得，
要使三棱锥的体积最大，则最大．
，
．
，其中，
令，记，，
令，或（舍），
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，有最大值，即有最大值，此时三棱锥体积最大，
所以此时，
故选：A．
34．（2025·高三·河南·阶段练习）已知在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，即，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
在中，，由余弦定理，
即，所以，所以，当且仅当时取等号；
所以，即的面积最大值为；
所以，即三棱锥的体积的最大值为；
故选：D
二、多选题
35．（2025·高三·安徽阜阳·期末）如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内装有一定体积的水，容器的底面半径，为容器下底面的直径．如图②，将该容器绕点倾斜后，当且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的点到容器下底面距离的最大值与最小值分别为，；当时，水的最大深度为，则下列说法正确的是（ ）
A．若水面形状为椭圆，则该椭圆的短轴长为2
B．若水面形状为椭圆，则该椭圆的离心率为
C．若容器的高为4，，则
D．若容器的高为4，，则
【答案】BD
【解析】对于A，当容器倾斜时，水面形成一个椭圆．椭圆的短轴长等于圆柱底面的直径，
即．因此，该椭圆的短轴长为4，而不是．故A是错误的．
对于B，当容器倾斜时，短半轴长，长半轴长，
所以，故B正确；
对于C， 当时，水的体积，
当时，水的体积保持不变，此时水的体积可以看作是一个底面为弓形的柱体，
设容器高为，根据水的体积不变可得：
，
(该式是根据水的体积的两种表示方法列出的，左边是竖直放置时水的体积，右边是倾斜放置时水的体积，由一个矩形和一个半圆柱组成)，
若容器的高为4，，，
代入上式可得：，
设，则，此方程无解，故C错误.
对于D，若容器的高为4，，，
代入上式可得：，
设，则，解方程可得：，
所以，故D正确；
故选：BD.
36．（2025·高三·贵州黔东南·期末）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，动点在正方形内（包括边界），若平面，则（ ）
A．点的轨迹长度为 B．的最小值为
C．存在点，使得 D．与平面所成角的正切值的最大值为
【答案】AD
【解析】在棱长为2的正方体中，取的中点，
连接，，点平面，
，平面，平面，则平面，
，则四边形是平行四边形，，
平面，平面，则平面，而，
平面，因此平面平面，而平面，
则平面，又点在正方形内（包括边界），于是点，
即点的轨迹为线段，其长度为，A正确；
点到的距离为，则点到的距离为，即的最小值为，B错误；
，平面，平面，则，而，
平面，于是平面，若，则平面，
点，而线段与无公共点，因此与不垂直，C错误；
平面，与平面所成的角，，
又，因此，D正确.
故选：AD
37．（2025·高三·广东惠州·阶段练习）如图，在边长为4的正方体中，分别是棱的中点，是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．存在满足
B．若平面，则点的轨迹长度为
C．若，则点到平面距离最小值为
D．若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
【答案】BCD
【解析】对A：如图：
因为，且，，所以不存在满足，故A错误；
对B：如图：
取中点，中点，连接，，，，
易证平面平面.
因为平面，所以点轨迹为线段，且.故B正确.
对C：如图：以为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为，所以.
因为，，，设（）.
则，，.
设平面的法向量为，
由，令，可得.
所以点到平面的距离为：.
因为，所以，所以.故C正确.
对D：如图：
连接，取其中点，连接.
因为是棱的中点，，则.
所以为外接圆圆心.
过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心一定在该垂线上.
连接，设，则，
连接，，所以，
所以，解得，
所以，
所以三棱锥外接球的表面积为：，故D正确.
故选：BCD
38．（2025·高三·湖南·开学考试）在三棱锥中，，，直线与平面所成的角为，二面角为，二面角和均为锐角，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与一定不相等
C．三棱锥体积的最小值为
D．当三棱锥的体积取得最小值时，与平面所成角的正切值为
【答案】BCD
【解析】
设点在平面内的投影为，过作的垂线，垂足为，连接，
所以为直线与平面所成的角，即，
，，，
平面，，
为二面角的平面角，即，
，，
则点到直线的距离与到点的距离相等，
的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线.
又二面角和均为锐角，
在内部，所以与一定不相等，
当三点共线时，，所以A错误，B正确；
过作垂直于，垂足为，
，，
，
当位于的中点时，最小，此时最小，三棱锥的体积取得最小值，最小值为，C正确；
当三棱锥的体积取得最小值时，
为与平面所成的角，，D正确.
故选：BCD.
39．（2025·高二·河南洛阳·期末）如图所示，有一个棱长为2的正四面体容器，D是的中点，E是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与所成的角为
B．的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
【答案】ABD
【解析】A选项，连接，由于为的中点，
所以，，
又，平面，
所以直线平面，又平面，
所以，故A正确；
B选项，把沿着展开与平面同一个平面内，连接交于点，
则的最小值即为的长，
由于，，
，
，
所以，
故，的周长最小值为，B正确；
C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，
设球心为，取的中点，连接，过点作垂直于于点，
则为的中心，点在上，过点作于点，
因为，所以，同理，
则，
故，
设，故，
因为∽，所以，即，
解得，C错误；
D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，
设小球半径为，四个小球球心连线是棱长为的正四面体，
由C选项可知，其高为，
由C选项可知，是正四面体的高，过点且与平面交于，作平面平面且与小球相切，与平面交于，
则，，
由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的得，如图正四面体中，，，
正四面体高为，解得，D正确.
故选：ABD
40．（2025·湖北·模拟预测）在一次数学兴趣小组的实践活动中，李怡同学将一张边长为的菱形纸片沿对角线折叠，形成一个二面角模型，如图所示.下列叙述中正确的有（ ）
A．四面体体积的最大值为；
B．在折叠的过程中，存在某个时刻使；
C．当时，动点在平面内且，则动点所形成区域的面积为；
D．在C的条件下，若直线与直线所成的角为，则的最大值为.
【答案】BCD
【解析】
连接交于，则，连接，则，
，根据勾股定理可得
对于A，当平面时，四面体的体积最大，
此时，故A错；
对于B，因为，且，所以平面,则平面平面，
又因为平面平面，过作于，则平面，所以平面，则在平面的投影就是，
当时，，故B正确；
对于C，当时，为正三角形，又因为平面，
即平面，
所以平面平面且平面平面，
过作于点，又因为平面，所以平面，且，
在中，根据勾股定理，，
即点在以为圆心，半径为的圆面上，其面积为，故C正确；
对于D，由前面分析知：与平面所成角最小时，其余弦值，
所以与所成角最小时，即在平面的射影与平行时，为最大值，故D正确.
故选：BCD.
41．（2025·福建莆田·二模）在三棱锥中，平面分别为中点，下列结论正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．平面
C．三棱锥的体积最大值为 D．三棱锥外接球的半径为定值
【答案】ACD
【解析】对A，因为平面，平面，所以，
又是平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以，所以为直角三角形，正确；
对B，连接相交于点，连接，
若平面，平面平面，平面，则，
因为为的中线，所以为的重心，，
因为为的中点，所以，与矛盾，故B错误；
对C，因为，得，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，正确；
对D，将三棱锥补形成长方体，易知即为外接球的直径，
易得，外接球半径，正确.
故选：ACD
42．（2025·高三·海南海口·期末）在棱长为2正方体中，、分别为棱、的中点，过直线的平面截该正方体外接球所得的截面面积为.下列选项正确的是（ ）
A．与所成的角为
B．的最大值为
C．当取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形
D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，连接，如下图所示：
由于、分别为棱、的中点，所以，
所以与所成的角与与所成的角相等，即为（或其补角）；
易知为正三角形，所以，
因此与所成的角为，可得A错误；
对于B，设正方体外接球的半径为，则，
解得,
因此当截面过球心时，截面圆半径最大，为球的半径,
此时的最大值为，即B正确；
对于C，由选项B可知当取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形，如下图所示：
图中六边形均为所在棱的中点，因此C正确；
对于D，当球心到截面的距离最大时，截面面积最小，
设正方体外接球的球心为，如下图：
显然为边长为的正三角形，所以到的距离为，
即可知当球心到截面的距离为时，截面半径为，
此时的最小值为，即D正确.
故选：BCD
43．（2025·高二·浙江·阶段练习）如图，把正方形纸片沿着（是线段的中点）翻折成平面，是原正方形的中心，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ）
A．
B．与所成角的最大值是
C．若是的中点，则与平面所成角的正弦值的最大值是
D．过做的垂线与交于点，
【答案】ABD
【解析】对于A：过点作的垂线，交于点，连接，
则，又，平面，
则平面，又平面，所以．故正确；
对于B：连接，过点作的平行线交于点，则，
直线BD与直线的夹角，就是直线与的夹角，
设，
当在平面ABCD时，，
因此直线BD与直线的夹角最大值是．故正确；
对于C选项，如图所示，的轨迹是圆G，当与圆G相切时，
则与平面ABCD所成角的正弦值的最大，
设正方形的边长是2，，故C错误．
对于D：与都是等腰三角形，，
因此．故正确.
故选：.
44．（2025·高三·浙江宁波·阶段练习）在棱长为2的正方体中，为面内以为直径的半圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为
B．与平面所成角的最大值的正弦值为
C．的最小值为
D．二面角的最小值的正切值为
【答案】ACD
【解析】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
设，
对于A，，
则，
所以的最大值为，故A正确；
对于B，因为轴垂直平面，
则平面的法向量可取，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以与平面所成角的最大值的正弦值为，故B错误；
对于C，，
则，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，因为轴垂直平面，
则平面的法向量可取，
，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，
所以，
设二面角为，由图可知为锐角，
则
，
所以，
则
，
当，即时，取得最小值，
所以二面角的最小值的正切值为，故D正确.
故选：ACD.
45．（2025·高三·山西吕梁·期末）如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ）
A．与一定是异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．平面
D．异面直线与所成角的范围为
【答案】BC
【解析】对于A选项，连接、、、，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，同理可证，
因为，、平面，所以，平面，
因为为四边形内（含边界）的一个动点，
故当时，平面，则，故点的轨迹为线段，
当点与点重合时，因为且，则四边形为平行四边形，
此时，，A错；
对于B选项，连接、、、，
在正方体中，平面平面，
因为平面，所以，点到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，
即三棱锥的体积为定值，B对；
对于C选项，连接，
因为且，故四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，所以，平面，C对；
对于D选项，因为，所以，异面直线与所成角等于直线与所成的角，
易知为等边三角形，如下图所示：
当点为的中点时，，此时，直线与所成的角取最大值，
当点与点或点重合时，直线与所成的角取最小值，
因此，异面直线与所成角的范围为，D错.
故选：BC.
三、填空题
46．（2025·高二·河北邯郸·期末）如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ．
【答案】
【解析】点M在侧面内的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧．
以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
设，则．
因为，所以，
所以，
所以．
当时，最小，最小值为．
故答案为：
47．（2025·湖北武汉·二模）四棱锥中，，，，，，内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等，则长的最小值为 ．
【答案】
【解析】在四棱锥中，延长交于点，令，
由，，得，又，
则，
由，得，则， ，
，
，设点到底面距离为，
依题意，， 由，
得，则，
而，则，
，令，
当，即时，，所以长的最小值为.
故答案为：
48．（2025·辽宁·二模）我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图.
如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数.
（1）的定义域是 ；（2）的最小值是 .
【答案】
【解析】如图，连接，
由题知，平行且等于，平行且等于，
所以，，故为平行四边形，
所以对角线，则是的中点，
同理也是的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点，
由三条内棱两两垂直，易知为菱形，则，
显然，故，同理，
所以“垂棱四面体”可补为如下图示的长方体，
综上，题设右图可将补成长方体，设长宽高分别为，
则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，为，
所以，
显然，，，则，
设，因直线过椭圆焦点，所以，
联立，得，则，
所以，则，又，，，
所以，
则，即，
由为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知中为锐角，
所以只需角为锐角，即，则，可得，
由，
所以最大时，最小，
令，则，
由在上单调递增，故，
所以.
故答案为：，.
49．（2025·高三·全国·专题练习）直三棱柱中，，侧棱长为2，该三棱柱的体积为，则三棱柱外接球的表面积的最小值为 .
【答案】
【解析】如图：
由三棱柱的体积为，可得，所以，所以，
由余弦定理可得：
，
当且仅当时取等号，
设底面的外接圆半径为，
由正弦定理得，所以.
所以外接球半径为，所以求得表面积为.
故答案为：
50．（2025·高三·浙江·开学考试）四棱锥满足底面，且，，，动点在以为球心1为半径的球与（包括边界）的交线上，动点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】以为球心1为半径的球与（包括边界）的交线上事实上就是内以为圆心，1为半径的一截圆弧，如图所示：
由于距离为定值1，则当点固定时，由余弦定理可知，EF的距离只取决于，越小，距离越小.
过作面的垂线，垂足为，
则，
因为中，，，所以；
在中，，，所以.
由.
做，垂足为，则
所以点与点重合，此时连接交圆弧为，此时为线面角，取到最小，
此时，
过作垂线，取到最小值．
故答案为：
51．（2025·高三·北京·开学考试）如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 .
【答案】 / /
【解析】因为，则，
记，
因为，即。
又因为，
当且仅当，即时，取等号.
所以a的最小值为.
故答案为：；.
52．（2025·山西晋中·模拟预测）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，，分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，，且底面椭圆的离心率为，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【解析】连接，，由，
要使三棱锥体积最大，
只需的面积和到平面距离之和都最大，
，令，且，则，
，
当时，有最大值，
在下底面内以为原点，构建如图所示的直角坐标系，
由题设，长轴长，
因为底面椭圆的离心率为，所以焦距为，所以短轴长，
则椭圆方程为，，且，设，
联立椭圆得，，
，，
令，，
由对勾函数性质可知在上递增，，
综上，三棱锥体积的最大值为.
故答案为：.
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