2025年中考数学二轮复习专题4 一线三等角模型 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
专题四　一线三等角模型
　　如图，三个相等角（∠1＝∠2＝∠3）的顶点在同一条直线上，可
利用三角形外角的性质定理得到两个三角形另一组角相等，进而可得
中间等角两侧的两个三角形全等或相似（△ACP≌△BPD或
△ACP∽△BPD）.在具体运用该模型时，有边相等证全等，无边相等
证相似.
（1）如图①，点P在线段AB上（同侧型）：∠CPB＝∠2＋
∠BPD＝∠1＋∠C→∠BPD＝∠C.
（2）如图②，点P在线段AB的延长线上（异侧型）：∠CPB＝
∠3－∠BPD＝∠1－∠C→∠BPD＝∠C.
1. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB边上一点，
AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F. 若AE＝5，BF＝3，则AB的长
为 　2 　，DF的长为 　 　.
2 　
　
2. 如图，在等边三角形ABC中，点P，D分别在边BC，AC上，且
∠APD＝60°.若PB＝3，CD＝2，则AB的长为 .
9　
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD
＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC. 若△ABC的面积
为15，则△ABE和△CDF的面积之和为 .
10　
4. 如图，Rt△ABC的直角顶点C在x轴的正半轴上，已知A（0，4），
B（4，1），则点C的坐标为 .
（2，0）　
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点D在边AC上，AD的垂直平分
线交BC于点E. 若∠AED＝∠B，CE＝3BE，则CD的长为 .
2　
6. 如图，在平面直角坐标系中，A是双曲线y＝ （x＞0）上任意一
点，连接OA，作OB⊥OA交双曲线y＝ （x＜0）于点B. 若OA＝
2OB，则 的值是 .
－4　
7. 如图，D是等边三角形ABC边AB上的点，AD＝2，BD＝4，现将
△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC
和BC上，则 的值为 　 　.
　
8. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作
EF⊥AE，交CD于点F，连接AF，求AF的最小值.
解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝
∠C＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵EF⊥AE，∴∠CEF＋∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF. 又∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF，
∴ ＝ .设BE＝x，则 ＝ ，
整理可得CF＝－ x2＋x＝－ （x－2）2＋1，∴当x＝2时，CF取得
最大值为1，
当CF取得最大值1时，DF取得最小值为3.
∵AF＝ ＝ ＝5，∴当DF＝3时，AF取得最小值
为5.
9. 如图，在 ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，点E，F分别在边
BC，AB上，DE＝EF，∠DEF＝120°.若CE＝2，求 ABCD的周
长.
解：如图，在BC上截取BG＝BF，连接FG.
∵AD∥BC，∠A＝120°，∴∠B＝60°，△BFG为等边三角形，
∴GF＝BF＝BG，∠BGF＝60°，∴∠FGE＝∠C＝120°.
∵∠FEC＝∠DEF＋∠DEC＝∠EFG＋∠FGE，∠DEF＝∠FGE＝
120°，
∴∠DEC＝∠EFG. 又∵DE＝EF，∴△DEC≌△EFG（AAS），
∴GF＝CE＝2，EG＝DC＝AB＝6，∴BC＝BG＋EG＋CE＝10.
∴ ABCD的周长为2（AB＋BC）＝
2×（6＋10）＝32.
10. 如图，已知点A（3，0），点B在y轴的正半轴上，将线段AB绕
点A顺时针旋转120°得到线段AC，若点C的坐标为（7，h），求h
的值.
解：如图，在x轴上取点D，E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点
C作CF⊥x轴于点F，
∴∠CEF＝60°，EF＝ ＝ h，CE＝ ＝ h.
∵∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝∠ADB＋∠ABD，∠ADB＝∠BAC＝
120°，
∴∠CAE＝∠ABD. 又∵AC＝BA，∴△ACE≌△BAD（AAS），
∴AD＝CE＝ h，∴OD＝OA－AD＝3－ h，∴AE＝BD＝
2OD＝6－ h.
∵OA＋AE＋EF＝OF＝7，∴3＋6－ h＋ h＝7，解得h＝ .
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