北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二下学期统练一 数学试卷(含详解)

北京市中国人民大学附属中学2024 2025学年高二下学期统练一数学试卷
一、单选题（本大题共10小题）
1．数列，，，，，…的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列的前n项和，则是（ ）
A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列
C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列
3．若数列满足，且，则数列的前4项和等于（ ）
A． B． C．14 D．
4．设在处可导，且，则等于（ ）
A．6 B． C． D．2
5．大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ）
A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
6．设等比数列的公比为，前项和为，使有最小值的一组和可以为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去（假设细胞在一个月内不会死亡）．细胞总数超过个所用时间为（ ）
（时间精确到个位．参考数据：，）．
A．30小时 B．40小时 C．45小时 D．46小时
9．设数列是公比为q的等比数列，其前n项的积为，并且满足条件，，，下列结论中：①②③④使得成立的最小自然数n等于4018，其中正确结论序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
10．已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．已知是等比数列，为其前n项和．若是，的等差中项，则公比 ．
12．若函数，其中，则的解集为 ．
13．直线是曲线的一条切线，切点坐标为 ，实数 ．
14．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的，琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为 ．
15．中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义，则是的一列近似值.当时，给出下列四个结论：① ；② ；③，；④ ，.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共3小题）
16．已知等差数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和Sn，
17．已知数列满足：
(1)求，，的值；
(2)求数列的前n项和公式；
(3)令，如果对任意，都有，求实数t的取值范围．
18．有限数列：，，，（）同时满足下列两个条件：
①对于任意的i，j（），；
②对于任意的i，j，k（），，，三个数中至少有一个数是数列中的项．
(1)若，且，，，，求a的值；
(2)证明：2，3，5不可能是数列中的项；
参考答案
1．【答案】B
【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2，
则第项的分子为，对应的分母为，
所以.
故选：B
2．【答案】A
【详解】当时，，
当时，，作差得，
显然时，也满足上式，故，
显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误.
故选：A
3．【答案】D
【详解】由于数列满足，即
故数列为公比为2的等比数列，
又，则，
故，
故选：D
4．【答案】B
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B.
5．【答案】C
【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差，
所以甲地的绿化好于乙地，故A正确；
对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大，
所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确；
对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大，
所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误；
对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确.
故选：C.
6．【答案】B
【详解】对于A，，，数列是首项为，
公比为的递减等比数列，因此，随着的增大逐渐减小，无最小值，A不是；
对于B，，，
当时，，即，
因此对任意正整数，恒成立，有最小值，B是；
对于CD，或，，因此，随着的增大逐渐减小，无最小值，CD不是.
故选：B
7．【答案】B
【详解】由等差数列前n项和公式知：，
∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列，
∴“对于任意且，”必有“”，
而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立，
∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件.
故选：B.
8．【答案】D
【详解】不妨列举小时后细胞个数分别如下：
1小时后，
2小时后,
3小时后，
假设小时后可超过个，则依题意可有，
取对数得，
解之得，故D正确.
故选：D
9．【答案】C
【详解】，，∴，则
又，
若，则，与前提矛盾，
所以，故①正确；
由等比中项的性质知：，故③正确；
易知，，
且
使成立的最小自然数等于4019，故②④不正确．
正确结论的序号是①③．故选：C．
10．【答案】B
【详解】当满足时，，
令，则或有一项为1，而，
∴，又是各项均为正整数的数列，
∴，，，，
此时的最小值为，
当满足时，，，，，，，时，
，
因为，
所以的最小值为20
故选：B.
11．【答案】2
【详解】由题意知是等比数列，是，的等差中项，
得，则，
故答案为：2
12．【答案】
【详解】由题意知的定义域为，
，则由，得，
结合，解得，
故的解集为，
故答案为：
13．【答案】 0
【详解】直线是曲线的一条切线，
设切点坐标为,因为，
，则，所以切点为，
故切线为，
即，故.
故答案为： ；0.
14．【答案】
【详解】设第一根弦长为，
则第二根弦长为，第三根弦长为，第四根弦长为，第五根弦长为，
又因为，
又因为琴弦越短，发出的声音音调越高，
所以“宫，商，角，徵，羽”对应的弦长为：，
所以“宫”与“角”所对琴弦长度之比为：.
故答案为：.
15．【答案】①④
【详解】对于①，，，故①正确；
对于②，，故②错误；
为了说明选项③④，引理：我们先来讨论与的关系；
由于是偶数，所以，对于而言，由于为奇数，所以，
所以有，
由于数列每一项均为正，所以利用均值不等式，有，取不到等号，即，
同时有，因此数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于；
对于③，当时，由于是偶数，所以
，
由于数列从第3项起，奇次项均大于，以及每一项均为正，
所以，
于是，时，相邻奇次项之差同号，又由于，
所以，即，
从而时，恒有，故③错误；
对于④，当时，根据上述引理可知，
所以有，
从而有，
利用均值不等式有代入上式得，
即，故④正确.
故答案为：①④.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为d．
由，可得，
即，解得．
所以
（2）若数列是公比为3的等比数列，且，
则．
由（1）可得，
．
17．【答案】(1)，，
(2)；
(3).
【详解】（1）由①，
令得，得；
令得，得；
令得，得.
（2）当时，②，
①-②得：，即，即，
又，所以数列是以为首项和为公比的等比数列，
所以数列的前n项和为.
（3）由（2）可知，所以，
因为对任意恒成立，
即对任意恒成立，
记则，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
所以当时单调递增，时单调递减，
即有，
所以，故，即，
解得或，所以t的取值范围为.
18．【答案】(1)3
(2)证明见解析
【详解】（1）由①知，；
由②知，当时，中至少有一个是数列中的项，
结合，且，得，
经检验符合题意，故；
（2）假设2，3，5是数列中的项，则由②知中至少有一个是数列中的项，
则有限数列的最后一项，且，
由①知，，
对于，由②知，
对于，由②知，则可得，与①矛盾，
故2，3，5不可能是数列中的项.