北京市育才学校2024?2025学年高二下学期3月月考数学试题（含答案）

北京市育才学校2024 2025学年高二下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共10小题）
1．与的等差中项是（ ）
A． B．
C． D．
2．某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气不好，将损失2000元，根据预测，天气好的概率为0.6，天气不好的概率为0.4，则出海效益的期望是（ ）
A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2600元
4．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
5．2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或5
7．在数列中，且，则（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知离散型随机变量服从二项分布，且，则
A． B． C． D．
9．记为数列的前n项和.若，则（ ）
A．有最大项，有最大项
B．有最大项，有最小项
C．有最小项，有最大项
D．有最小项，有最小项
10．世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．已知数列为等差数列，，则 ．
12．若随机变量X的分布列为（如表），
X 1 2 3
则 ；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)= ．（用数字作答）
13．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 .
14．随机揶两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为，点数之和大于5的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，则比大小关系是 ．
15．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数 ﹔第n个图形的边数 ．
三、解答题（本大题共4小题）
16．已知数列中，．
(1)求数列的前5项；
(2)若等差数列满足，求的前n项和．
17．为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：
男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9；
女生组：5.5， 6， 6， 6， 6.5， 7， 7， 8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
(1)世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；
(2)现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望；
(3)原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
18．小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示：
语文 数学 英语 物理 化学 生物
第一次 87 92 91 92 85 93
第二次 82 94 95 88 94 87
（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；
（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望；
（3）现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示：
语文 数学 英语 物理 化学 生物 6科成绩均值 6科成绩方差
第一次
第二次
将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为.有一种观点认为：若，则.你认为这种观点是否正确？(只写“正确”或“不正确”)
19．若数列满足．对任意，都有，则称是“P数列”，
(1)若，判断，是否是“P数列”；
(2)已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围；
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】A
10．【答案】A
11．【答案】
12．【答案】 /0.5 /
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．（1）数列中，因为，故，
故，所以数列是等比数列，公比是2，
又因为，所以．
所以；
（2）等差数列满足，
设等差数列公差为，所以，所以,
所以的前n项和．
17．（1）设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A，
在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围，
所以；
（2）由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件B，
则，
“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C，
，
由条件可知，的所有可能取值为0，1，2，
，，
，
所以的分布列为：
0 1 2
；
（3）．
18．（1）共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科，
所以从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，该科成绩大于90分的概率为.
（2）的所有可能取值为：0，1，2，
，，，
所以X的分布列为：
0 1 2
数学期望.
（3）设，则，
则
，
同理可得，
，
因为，所以，
所以
的符号不确定，
所以与无法比较大小，
，
所以，
故这种观点不正确.
19．（1）由，则数列是“数列”，
由，当时，，则数列不是“数列”.
（2）设等差数列的公差为，则，
由数列是“数列”，则，
，
恒成立，即恒成立，
令，
当时，即，二次函数开口向下，对称轴为直线，
易知函数在上单调递减，则数列无最小值，不符合题意；
当时，即，，当时，，符合题意；
当时，即，二次函数开口向上，对称轴为直线，
易知函数在上单调递增，则，符合题意.
综上所述，公差d的取值范围为.