课件24张PPT。 3.2 一元二次不等式及其解法 现有电信和联通两家网络服务公司，它们的资费标准为：
电信公司：每小时收费1.5元（不足一小时按一小时计算）
联通公司：用户上网的第一小时内(含1小时，下同)收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）（一般来说，一次上网时间不会超过17小时）所以<不妨假设该同学一次上网总小于17小时>
那么一次上网在多长时间以内能够保证选择电信比选择联通所需要费用少？新课引入分析：假设一次上网x小时，如果能够保证选择电信公司比选择联通公司所需费用少，则有则电信公司的收取费用为1.5x（元）联通收费每小时依次为：1.7 ，1.6，1.5 ，1.4……（元）这是什么？一元二次不等式（定义）新知讲解 引例.画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答：
(1).图象与x轴交点的坐标为 ,
该坐标与方程 x2 -x-6=0的解有什么关系： 。
(2).当x取 时，y=0？
当x取 时，y>0？
当x取 时，y<0?
(3).由图象写出：
不等式x2 -x-6>0 的
解集为 。
不等式x2 -x-6<0 的
解集为 。(-2, 0)，(3, 0) 交点的横坐标即为方程的根x= -2 或 3x<-2 或 x>3 -2 < x <3﹛x|x<-2或x>3﹜﹛x| -2
求一般的一元二次不等式
或 的解集.并且规定
或
为一元二次不等式的标准形.△>0有两相异实根
x1, x2 (x1x2}{x|x1< x x1=x2={x|x≠ }ΦΦR没有实根一元二次不等式的解法二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系 这张表是我们今后求解一元二次不等式的主要工具，必须熟练掌握，其关键是要抓住相应的二次函数的图像。记忆口诀：
大于取两边，小于取中间. 求解一元二次不等式ax2+bx+c>0
(a>0)的程序框图:x< x1或x> x2例1：解不等式: x2－2x－15≥0 ∵ ⊿=b2-4ac= 22 +4× 15 > 0 方程x2－2x－15＝0的两根为:
x＝－3，或x＝5∴ 不等式的解集
为:{x│ x ≤－3 或x ≥5}。知识应用一：解一元二次不等式解：总结出： 解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) （标准形）的步骤是： (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
(2)判定△的符号，
(3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像）
(4)（结合函数图象）写出不等式的解集.简记为：一化—二判—三求—四写
解： 因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是
x1=x2=1/2故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0 解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0因为△= 4 - 12 = - 8 < 0方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根所以原不等式的解集为ф例2：解不等式4x2-4x +1>0答案:(3) φ(4) R巩固练习 知识应用二：三个“二次”关系的应用 这节课我们学习了一元二次不等式的解法，同学们要注意以下两点1、掌握三个二次的关系，注意结合函数图像，理解并会求一元二次不等式的解集；
2、记住解一元二次不等式的步骤；
课堂小结△>0有两相异实根
x1, x2 (x1x2}{x|x1< x x1=x2={x|x≠ }ΦΦR没有实根一元二次不等式的解法二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系作业：
课本80页习题3.2 A组第1、2题
谢谢教学设计
教学主题
3.2 一元二次不等式及其解法
一、教材分析
学生在此之前已经学习了：“一元一次不等式的解法”，“二次函数”，“一元二次方程的根与函数的零点”和“不等式的性质“的基础上，这为本节课的学习起到了一个很好的铺垫作用。这部分内容较好的反映了“三个二次”之间的关系，蕴含着数形结合、从特殊到一般的数学思想方法。本节内容先从实际问题引入了一元二次不等式，通过复习一元二次方程与函数的零点，进而引出一元二次不等式的解法。
二、学生分析
学生在初中已经学习过“一元一次不等式的解法“以及”一元二次方程“和”二次函数“，利用函数的图形，得到一元二次不等式的解法，应该不成问题，数形结合，直观形象，由a>0,进而得到a<0时，可以利用不等式的性质，先把二次项系数化为正的，再进行求解。
三、教学目标
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
四、教学环境
□简易多媒体教学环境 □交互式多媒体教学环境 □网络多媒体环境教学环境 □移动学习 □其他
五、信息技术应用思路（突出三个方面：使用哪些技术？在哪些教学环节如何使用这些技术？使用这些技术的预期效果是？）200字
利用几何画板正确快捷的作出二次函数的图形，是解决一元二次不等式的关键一环，教学过程中，可以利用几何画板画出函数的图像，数形结合，利用三个二次之间的关系，学生便能马上得到一元二次不等式的解集，能起到推波助澜的作用。当然利用课件，也能增大课堂容量以及直观性，利用电子白板，随时展示学生的作业，也能够及时发现问题，同时也能调动学生的学习积极性。
六、教学流程设计（可加行）
教学环节
（如：导入、讲授、复习、训练、实验、研讨、探究、评价、建构）
教师活动
学生活动
信息技术支持（资源、方法、手段等）
创设情境、引入新课
上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Service Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用.?
某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）?
一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？
假设一次上网x小时，则A公司收取的费用为1.5x，那么B公司收取的费用为多少？怎样得来？?
结果是元，因为是等差数列，其首项为1.7，公差为-0.1，项数为x的和，即?
如果能够保证选择A公司比选择B公司所需费用少，则如何列式？?
由题设条件应列式为＞1.5x(0＜x＜17)，整理化简得不等式x2-5x＜0.
课件显示实例，激发兴趣，引入新课
观察分析、引入新知
因此这个问题实际就是解不等式：x2-5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重
点.
什么叫做一元二次不等式？?
含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.?
探究新知
探究一元二次不等式的解集
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
二次函数有两个零点：
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即；
当0所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。
利用几何画板画出函数的图像，形象直观
特殊到一般
探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
?一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况
(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线?（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式>0与<0的解集
利用图像，形象直观
生成结论
由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.?
如何讨论一元二次不等式的解集呢？
归纳步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根<，
ⅱ.=0时，求根＝＝，
ⅲ.<0时，方程无解，
③ 写出解集.
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
迁移应用
例1：解不等式: x2－2x－15≥0
例2 (课本第78页)求不等式的解集.
例3 (课本第78页)解不等式
例4：逆向应用、三个二次之间的关系
若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
教师总结：
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
师生共同完成例1.
学生自己完成例2和例3
分组完成巩固练习
展示学生的学习成果
生讨论得例4的解法：展示成果：由已知得a＜0 且＋2＝－，×2＝，知c＞0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
其中＝，
－＝＝＝＋，
∴x1＝＝－3，x2＝.
∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0)的解集为
生自己完成巩固练习
利用几何画板画出函数图像，数形结合得到不等式的解集
课堂总结
让生自己总结出本堂课的知识以及思想方法
生相互补充总结，完成作业
七、教学特色（如为个性化教学所做的调整，为自主学习所做的支持、对学生能力的培养的设计，教与学方式的创新等）200字左右
本节课从学生感兴趣的实际例子引入新课，激发了学生的学习兴趣和探究热情，结合三个二次之间的关系，让学生自己利用几何画板精准的画出了函数的图像，数形结合、直观形象，学生非常容易的接受了新知的教学。利用小组讨论，有特殊到一般，得到了结论，迁移应用，展示学生的作业，既发现了学生的不足之处，又调动了学生的积极性，三个二次之间的关系的逆用，使思维得到了升华，达到了预期的效果。
