专项2 填空题1（浙江中考真题+中考模拟）【答案+解析】 ——2025年中考数学冲刺中考模拟真题速递(浙江专用)

2025年中考数学冲刺中考模拟真题速递(浙江专用)
专项2 填空题1（浙江中考真题+中考模拟）
一、填空题
1．（2024·浙江）（1）若，，且，则的最小值为　 　．
（2）如图，是的外接圆，点D是半圆弧的中点，交延长线于点E，连结，．若与的面积比为，则　 　．
2．（2024·浙江）已知实数a，b满是，则的最大值为　 　．
3．（2024·浙江）一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是　 　．
4．（2025·杭州模拟）因式分解： 　 　.
5．（2025九下·钱塘模拟）已知二次函数，当时，函数值　 　．
6．（2025·新昌模拟）如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是　 　．
7．（2025·杭州模拟）一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为5的概率是　 　．
8．（2025九下·浙江模拟）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为　 　．
9．（2025九下·浙江模拟）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为　 　．
10．（2025九下·浙江模拟）有12张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到12的一个自然数．从中任意抽出一张卡片，则这张卡片上的数既是3的倍数又是偶数的概率是　 　．
11．（2025九下·浙江模拟）如图，是的直径．点在上，是的切线，且为切点．已知，则　 　．
12．（2025九下·浙江模拟）当x　 　时，分式值为0．
13．（2025九下·浙江模拟）分解因式： －9=　 　．
14．（2025·浙江模拟）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，经过A，B两点的⊙O与边AC切于点A，与边BC交于点D，AE为⊙O直径，连结DE，若∠C=37°，则∠BDE的度数为　 　。
15．（2025九下·宁波模拟）如图所示，已知一次函数与反比例函数交于点为一次函数上一点，作等腰直角三角形与使得在轴正半上，延长交于点，连结，若，为中点，，则　 　
16．（2025九下·宁波模拟）长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且、、、四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是　 　.
17．（2025九下·宁波模拟）如图，四边形和四边形分别是边长为3和2的正方形，连结，，，则五边形的面积为　 　.
18．（2025·衢州模拟）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则的值是　 　.
19．（2025·衢州模拟）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（，和中间一个小正方形EFGH组成，连接并延长DF，交于点.若，
（1）比较线段大小：DF　 　DC.（填写“＞”“＝”“＜”）
（2）的值等于　 　.
20．（2025·温州模拟）因式分解：　 　．
21．（2025九下·宁波模拟）如图，已知圆锥的底面的直径，高，则该圆锥的侧面展开图的面积为　 　.
22．（2025·镇海区模拟）使得方程有实数根的最大的整数　 　．
23．（2025九下·宁波模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　 。
24．（2025·浙江模拟）如图，矩形ABCD在第一象限内，对角线BD所在直线经过点O，AB//y轴，BC//x轴，反比例函数的图象经过点A和点C，把矩形ABCD沿BD折叠，点A的对应点为点E。当点E落在x轴上，且点B的坐标为（2，1）时，k的值为　 　。
25．（2025·浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在AB边上，连结BE，若∠CBE=67.5°，则=　 　。
26．（2025·浙江模拟）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为　 　。
27．（2025·衢州模拟）不等式的解是　 　.
28．（2025·浙江模拟）已知是方程的一个解，则k的值是　 　。
29．（2025·温州模拟）如图，点E，F分别在的边AB，CD上，连结DE，EF，点关于EF的对称点恰好在AB的延长线上，连结FG交BC于点．若，则　 　，AE=　 　．
30．（2025·温州模拟）如图，将Rt沿斜边AB向右平移得到与DF交于点，延长AC，EF交于点，连结GH．若，则AE的长为　 　．
31．（2025·温州模拟）一个布袋里只有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、黑球的个数之比为5：6：7．从布袋里任意摸出1个球，该球为黑球的概率是　 　．
32．（2025·温州模拟）如图，AB是半圆的直径，为AB延长线上一点，CD切半圆于点，连结OD，BD．若，则等于　 　度．
33．（2025·温州模拟）方程组的解为　 　．
34．（2025·衢州模拟）如图，直线BC与相切于点C，点A在上，AB⊥BC于点B.若AB=3，BC=6，则的半径为　 　cm.
35．（2025·衢州模拟）如图，转盘的白色扇形和灰色扇形的圆心角分别为和.让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是　 　.
36．（2025·衢州模拟）二次根式 中，a的取值范围是　 　．
37．（2025·鹿城模拟）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时，　 　．
38．（2025·鹿城模拟）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 　 　 ．
39．（2025·镇海区模拟）如图，四边形是平行四边形，已知，，则　 　．
40．（2025·鹿城模拟）如图，点D、E分别为的中点，平分交于点F，若，则　 　．
41．（2025·钱塘模拟）如图，已知四边形内接于，延长，交于点．若，，则圆的半径为　 　．
42．（2025·钱塘模拟）如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
43．（2025·衢江模拟）如图，在中，将沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为　 　．
44．（2025·衢江模拟）如图，在中，，点是边上的一点，满足．若，则的度数为　 　°．（请用含的代数式表示）
45．（2025·衢江模拟）已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为　 　．
46．（2025·衢江模拟）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球　 　个．
47．（2025·镇海区模拟）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为　 　．
48．（2025·镇海区模拟）已知是镜子，球在两镜子之间的地面上．球在镜子中的像为，在中的像为．若镜子，之间的距离为66，则　 　．
49．（2025·镇海区模拟）已知如下的两组数据：
第一组：20，21，22，25，24，23；
第二组：20，21，23，25，，26．
若两组数据的中位数相等，实数　 　．
50．（2025·镇海区模拟）方程的解是　 　．
答案解析部分
1．；
2．55
3．12
4．a(a-4)
a2﹣4a=a（a﹣4）.
故答案为a（a﹣4）.
直接把公因式a提出来即可.
5．0
6．
7．
解：列出摸出的2球的树从图如下所示：
总共有12种情况，两球数字之和为5的情况有4种，故概率为P=
故答案为：.
利用树众图将可能所有情况列出，即可求出和为5的概率.
8．
解：如图2，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D， 连接EI，
∴四边形EFGH是平行四边形，且平行四边形 平行四边形BILK，
且
∴四边形EILH是平行四边形，
∵大正方形的边长为4，
且
∴EI垂直平分BC，
∴圆心O在EI上，
∴EI垂直平分AD，
，
连接OD、OB， 则
解得
∴这个圆的半径长为
故答案为：
在图2中标出相应的字母，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D，连接EI，则四边形EFGH是平行四边形，且 可证明四边形EILH是平行四边形，由大正方形的边长为4， 可知 则 得. 则EI垂直平分BC，所以圆心O在EI上，则EI垂直平分AD，连接OD、OB，由 根据勾股定理求得即可求出OD长于是得到问题的答案.
9．
解：过点G作 于M，
∵E， F分别是AD和BC的中点，
∵AG平分 ，
由折叠可知，
故答案为：
过点G作于M，则 由AG平分 可得 由折叠可知， ，再由勾股定理得到长，则 进而求得AB长.
10．
解：从1到12的自然数中，既是3的倍数又是偶数的6，12， 共2种结果，
故答案为：
从1到12的自然数中，既是3的倍数又是偶数的6，12，共2种结果，据此计算即可.
11．67
解：∵AD是⊙O的直径， 点B在⊙O上， AC是⊙O的切线， A为切点.
在中，
故答案为：67.
根据切线的性质得到 由此得到 根据AD是直径可得 由直角三角形两锐角互余即可求解.
12．=-1
解：∵分式 值为0，
且
解得
故答案为：=-1.
若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可.
13．
－9= ．
14．16
解：∵AB=AC，∠C=37°，
∴ ∠B=∠C=37°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=106°.
∵⊙O与边AC切于点A，
∴∠CAE=90°，
∴∠BDE=∠BAE=∠BAC-∠CAE=16°.
故答案为：16.
先根据等边对等角，求得∠B，再利用三角形内角和定理求得∠BAC，然后利用切线的性质证得∠CAE=90°，再用两角之差求得∠BDE.
15．20
解：过点P作PH⊥x轴于点H，延长HP，过点M作MG⊥PH交PH于点G，
令y=0.则x-1=0，解得x=1，
∴点B的坐标为(1，0)，∴OB=1，
∵BC=6，
∴OC=OB+BC=1+6=7，∴点C的坐标为(7，0)，
把x=7代入得y=7-1=6，∴点A的坐标为(7，6)，
又∵D是AC的中点，∴点D的坐标为(7，3)，
又∵AC=6=BC，∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵PH⊥x轴，
∴∠PHB=90°，
∴△PBH为等要直角三角形，
∴BH=PH，
设OH=m，则BH=OH-OB=m-1，
∴PH=BH=m-1，即点P的坐标为(m，m-1)，
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴MP=PN，
∵MG⊥PH，PH⊥x轴，
∴∠G=∠MPN=∠PHB=90°，
∴∠GMP+∠GPM=∠NPH=∠GPM=90°，
∴∠GMP=∠NPH，
∴△MPG≌△PNH，
∴MG=PH=m-1，PG=NH=CH=OC-OH=7-m，
∴NH=CH=PG，
∵，，
∴点M的坐标为(1，6)，
设直线MD的解析式为y=kx+b，代入得：
，解得，
∴直线MD的解析式为，
把P(m，m-1)代入得到，解得m=5，
∴点P的坐标为(5，4)，
把点P(5，4)代入得到k=5×4=20，
故答案为，20.
过点P作PH⊥x轴于点H，延长HP，过点M作MG⊥PH交PH于点G，设OH=m，即可得到△MPG≌△PNH，求出点M的坐标，然后求出直线MD的解析式，再求出点P的坐标，代入反比例函数解析式即可解题.
16．
解：
设正方形边长为x，假设AC在矩形里与其它线段分别交于点T和点P，过T做平行于点C所在的矩形边，交矩形另外两边于点E和点F；过点P做平行于点B所在的矩形边，交矩形另外两边于点J和点H；EF和JH相交于点O， EF垂直于JH， 设EF与DT边成的角为θ，则PJ与PC边成的角也为θ，
在 中，
可得 ①
解得
两边平方相加得
所以正方形的边长
故答案为：.
如图，设正方形边长为x，设EF与DT边成的角为θ，则PJ与PC边成的角也为θ，利用三角函数值表示出EF和JH的值求出然后根据一个角的正弦与余弦的平方和为1求出x值即可.
17．4.5
解：如图， 过点A作. 于T，连接AE，过点E作 于P，
设
∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，
，
.
故答案为： 4.5.
如图，过点A作. 于T， 连接AE，过点E作 于P， 设. 由勾股定理得 利用余弦列式为 可表示BN的长，证明 利用余弦的定义可得AT的长，最后由面积和即可解答.
18．5
解：∵ 关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴，解得：.
故答案为：5.
根据方程组解的意义，将解代入方程组，转化为关于字母参数的方程求解.
19．（1）=
（2）
解：（1）∵FM=MB，
∴∠MFB=∠MBF=∠EFN，
∵∠MBF+∠FBC=90°，
∠EFN+∠DFC=90°，
∴∠FBC=∠DFC.
∵△ABC≌△CDG，
∴∠FBC=∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC.
故答案为：=.
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=x，MB=y，
∵DM2=AD2+AM2，
∴（x+y）2=x2+(x-y)2.解得：x2=4xy.
∵x>0，
∴x=4y，
∴.
故答案为：.
（1）先根据等腰三角形的性质以及对顶角相等，证明∠FBC=∠DFC，再结合等角的余角相等，证得∠FBC=∠DFC，然后利用全等三角形的性质证得∠FBC=∠DFC=∠DCF，再利用等角对等边可得DF=DC；
（2）先用x、y表示出AM，DM，再利用勾股定理求得x与y的关系，然后求得．
20．
解：
故答案为：.
分解因式的一般策略是“一提二套”，即当多项式的各项都有公因式时，先提公因式，再考虑对另一个因式套用乘法公式继续分解因式，直到每一个因式不能再分解为止.
21．
解：在 中，
所以这个圆锥的侧面展开图的面积
故答案为：.
先利用勾股定理计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解即可.
22．2
23．x≥1
根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．
根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
24．
解：设E（x，0)，
∵AB//y轴，BC//x轴，点B的坐标为（2，1）， 反比例函数的图象经过点A和点C，
∴A（2，），C（k，1），
∴AB=-1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴D（k，），
∴AD=BC=k-2.
∵把矩形ABCD沿BD折叠，点A的对应点为点E，
∴BE=AB=-1，DE=ADk-2.
∴BE2=（x-2)2+12=(-1)2，
DE2=（x-k)2+()2=(k-2)2，
解得：x1=2，x2=.
∵ 反比例函数，，
∴k=4x-8>0，解得：x>2.
∴x=，
∴k=4x-8=.
故答案为：.
先根据矩形的性质，用k表示出A，C，D，再计算BE2与DE2，求得x，根据x的范围确定x的值，再求出k.
25．
解：设BD=x，
∵ 将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴CE=BC，AC=CD，∠ACB=∠DCE=90 ° ，∠ABC=∠CED.
∵ ∠CBE=67.5°，
∴∠BEC=∠CBE=67.5°，
∴∠BCE=180°-∠BEC-∠CBE=45°.
∴∠BCD=∠DCE-∠BCE=45°.
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=45°.
∴∠A=∠ADC=(180°-∠ACD)=67.5°.
∴∠ABC=∠CED=90°-∠A=22.5°.
∴∠DBE=∠CBE+∠ABC=90°，∠DEB=∠CEB-∠CED=45°.
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=BE，
∴DE=AB=.
∴AD=AB-BD=.
∵∠A=∠ADC=∠CBE=∠CEB=67.5°，
∴△CBE∽△CAD.
∴.
故答案为：.
先利用旋转的性质，证得CE=BC，AC=CD，∠ACB=∠DCE=90 ° ，∠ABC=∠CED.再利用等边对等角求得∠BEC，然后证明△BDE是等腰直角三角形，用x表示出DE和AD，再利用△CBE∽△CAD，列出比例式，求得.
26．
解：画树状图.
共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有8种，
∴能够让灯泡发光的概率.
故答案为：.
先画树状图，求出所有等可能结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式求解.
27．
解：，
去分母，得2x+3>4，
移项，得2x>4-3，
合并同类项，得2x>1，
即x>.
故答案为：.
先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1求解.
28．4
解：∵是方程的一个解，
∴1+2k=9，解得：k=4.
故答案为：4.
根据方程解的意义，转化为k的方程求解.
29．；
解：如图所示，连接DG交EF于点O.
关于直线EF对称
四边形ABCD是平行四边形
四边形DEGF是菱形
设，则
四边形ABCD和四边形DEGF都是平行四边形
故答案分别为：和.
第一空：由轴对称的性质知EF垂直平分DG，则FD等于FG，再等腰三角形三线合一知FE平分，由于平行四边形的对边平行，由平行线的性质结合等量代换得等于，则GE等于GF，可将线段GH与EG的比转化为GH与FG的比，从而利用比例的基本性质得到FH与GH的比值；第二空：由第一空的推理可得四边形DEGF是菱形，则可设FH等于3a，则GH等于5a，则DE、EG、FG都是8a，此时利用平行四边形的对边平行，可借助内错角相等证明与相似，再借助同位角相等证明与相似，由于CF已知，两组三角形的相似比可以计算出来，则可先求出BG的值，进而求出AE的值.
30．8
解：如图，连接CF.
、
四边形CHFG是平行四边形
是矩形
四边形ADFC是平行四边形
故答案为：8.
由于平移不改变图形的形状与大小，且平移前后对应线段平行且相等，或在同一条直线上，因此可连接CF，则四边形ADFC是平行四边形；同理四边形CHFG也是平行四边形，由于已知是直角，则平行四边形CHFG还是矩形，则对角线CF等于GH，则AD等于3，结合已知得AB等于5；由于DE等于AB等于5，则AE可求.
31．
解：
故答案为：.
直接利用简单随机事件概率的求解方法计算即可.
32．130
解：是的切线
，即
故答案为：130.
由于切线垂直于过切点的半径，因此可知等于90度；由于已知，则可求；由于半径处处相等，因此等于；最后利用外角的性质可直接求出度数.
33．
解：
得：
把代入得：
原方程组的解为
故答案为：.
解二元一次方程组时，当两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数时，可直接利用加减消元法求解.
34．
解：如图，连结OA，OC，过点A作AD⊥OC于点D，设的半径为r，
∵直线BC与相切于点C，
∴BC⊥OC，
∵AB⊥BC于点B ，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，AD=BC=6，
∴OD=r-3，
∵OA2=DA2+OD2，
∴r2=62+(r-3)2，解得：r=.
故答案为：.
先证明四边形ABCD是矩形，再利用勾股定理，得到关于r的方程求解.
35．
解：∵ 转盘的白色扇形和灰色扇形的圆心角分别为和，
∴转动一次，指针落在白色区域的概率为.
故答案为：.
利用概率公式求解.
36．a≥1
解：由题意得，a﹣1≥0，
解得，a≥1，
故答案为：a≥1．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
37．
解：过点作于点，交于点，
，
，
即，
解得，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
故当时，矩形面积最大，
，
此时，
故答案为：．
过点作于点，交于点，根据三角形ABC的面积等于40看求出的值，由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据比例式可将DE用含DG的代数式表示出来，于是，将S矩形DEFG与DG之间的函数关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解．
38．
解：连接，，
、是的切线，切点分别是、，
，
，
，
．
故答案为：．
由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可得∠AOB=2∠C，然后根据四边形内角和定理可求解.
39．
40．1
解：∵点D、E分别为的中点，，
∴是的中位线，，
∴，，
∴，
∵平分交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
利用三角形中位线性质得到，，利用中点定义得到，再利用平行线的性质和角平分线得到，则，即可得到的长度．
41．7
42．
43．
解：延长交于点D，过点B作于点H，连接，
∵和是圆周角所对的弧，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴，，
在，，
故答案为：．
延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，根据等腰三角形三线合一性质，得到，设，则，结合已知根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，整理可得，在中，利用勾股定理得到，即，解方程求出a的值，在Rt△ABH中，用勾股定理计算即可求解.
44．
解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形内角和定理得，
即，
∴，
故答案为：．
设，由等边对等角得∠B=，在△ABC中，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
45．
解：由题意，得：圆锥的侧面积为；
故答案为：．
根据圆锥的侧面积公式计算即可求解．
46．12
解：设红球有x个，由题意可得，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
故答案为：12．
设红球有x个，根据频率=红球个数÷总数可得关于x的方程，解方程即可求解．
47．
48．132
49．22
50．