人教版八年级下册数学 第十七章 勾股定理 单元测试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册数学 第十七章 勾股定理 单元测试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1017.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-20 16:39:31 | ||
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文档简介
八年级数学新人教版下册第十七章《勾股定理》单元测试题
一、单选题
1．如图，在Rt ABC中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．满足下列条件的 ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
3．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，以为直角边作，使，再以为直角边作，使，，依此法继续作下去，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，点为边的中点，点E在边上，且，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
7．在 ABC中，，为边上的中线，，平分外角，过作交于点，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（ ）
A．△APP'是正三角形B．△PCP'是直角三角形C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°
二、填空题
9．如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元．
10．如图，在 ABC中，，，，，将 ABC沿直线向右平移3个单位长度得到，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是27；④点A到直线的距离是．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号）
11．如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ．
12．如图，在 ABC中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ．
13．如图，四边形中，，，，若，，则的长为 ．
14．如图，“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．它是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若中间的小正方形的周长为4，，则大正方形的周长为 ．
15．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千路板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 ．
16．一种盛饮料的圆柱形杯子(如图)，测得它的内部底面半径为，高为，吸管放进杯子里，杯口外面至少要露出，则吸管的长度至少为 cm．
三、解答题
17．如图，在四边形中，∠B＝90°，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
18．如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求图中的面积．
19．甲、乙两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号．甲搜救艇立即以15海里/时的速度离开港口O，沿北偏西50°的方向向A地出发，同时乙搜救艇也从港口O出发，以20海里/时的速度向B地出发，2小时后他们同时到达各自的目标位置，且相距50海里．
(1)求乙搜救艇的航行方向；
(2)成功救援后，甲、乙两艘搜救艇同时沿原路方向返回港口O，其速度分别是12海里/时、16海里/时，1小时后甲、乙两艘搜救艇分别在点E，F处，此时甲、乙两艘搜救艇相距多少海里？
20．周末，小斌在父母的陪伴下坐车外出游玩．在一段笔直的公路段外有一个景点C，由于视线遮挡原因．只有在离景点C250m以内的区域才能欣赏景点已知，，．
(1)请通过计算说明小斌一家在公路AB段行驶时能否欣赏到景点C？
(2)已知在公路AB段欣赏景点C的足够时间为18s，小斌家汽车在AB段以的速度匀速行驶．请你通过计算判断小斌家在公路AB段欣赏景点C的时间足够吗？
21．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据．
【采集数据】
如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米．
【数据应用】
当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上．
(1)求此时风筝的垂直高度．
(2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？
22．在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
如图1，在直角坐标系中任意两点，其坐标分别为和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边，利用勾股定理可得，线段的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
(1)在平面直角坐标系中，已知，则线段的长为__________；
(2)若点C在x轴上，点D的坐标是，且，求点C的坐标；
(3)如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求周长的最小值．
23．阅读材料，并完成相应任务.
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.
下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形：
证明：①在图1中，∵
4个直角三角形的面积+两个正方形的面积
=4× + + .
②在图2中，∵
4个直角三角形的面积+正方形的面积
=4× + .
∴4× + + =4× + .
整理得：
∴ .
任务：（1）将材料中的空缺部分补充完整；
（2）如图3，在△ABC中，∠A=60°,∠ACB=75°，CD⊥AB，AC=4，求BC的长.
24．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知：
∴_____；
∴_____，得证．
(2)应用勾股定理
①应用一：在数轴上画出表示无理数的点
如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____；
②应用二：最短路径问题
如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____；
③应用三：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《八年级数学新人教版下册第十七章《勾股定理》单元测试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C C B C D
9．2800
10．①②
11．
12．//
13．
14．
15．
16．
17．（1）解：，，
，，
在 ABC中，，，
，，
，
是直角三角形，
；
（2）解：由题意得：四边形的面积 ABC的面积的面积
．
四边形的面积为．
18．（1）解：（1）∵四边形是长方形即矩形，
∴，，，
∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处，
∴，，，
∴，，
在与中，
，
∴
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴
．
∴图中的面积为．
19．（1）解：由题意可得：海里，海里，
∵海里，
∴，，
∵，
∴，
即乙搜救艇的航行方向是北偏东方向；
（2）解：由题意，海里，海里，
∴海里，海里，
∵，
∴海里，
答：甲、乙两艘搜救艇相距30海里．
20．（1）解：由题意，，，，
根据面积法可得，C到的距离
如图．
以C为圆心，250m长为半径，交于点G、H，
小斌一家在公路段行驶时能欣赏到景点
（2）由题意，结合（1）图可得，，且关于对称，
，
故小斌家在公路段欣赏景点C的时间足够．
21．（1）解：由题意得，米，，
在中，由勾股定理得米，
∴米；
∴此时风筝的垂直高度为米；
（2）解：由题意得，米，
在中，由勾股定理得米，
∵米，
∴还需要放出风筝线14米．
22．（1）解：∵，
∴，
故答案为：6；
（2）解：设，
∵点的坐标是，且，
∴，
解得，
∴点的坐标是：或；
（3）解：作A点关于y轴的对称点为，则 ABC的周长最小值，
∴点的坐标为，
的周长最小值
23．（1）①在图1中，∵
4个直角三角形的面积+两个正方形的面积
=4×++.
②在图2中，∵
4个直角三角形的面积+正方形的面积
=4×+.
∴4×++ =4×+ .
整理得：
∴ .
故填：，，，
（2）∵CD⊥AB
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠A=60°
∴∠ACD=30°
∵AC=4
∴AD=2
在Rt△ACD中
CD=
又∵∠ACB=75°
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°
∴∠B=45°
∴ BD=CD=
在Rt△BCD中
BC=
24．1）证明：由等面积法知：
∴，
∴，得证．
故答案为：，；
（2）解：①在中，
∵，
∴，
∴点E表示的数是，
故答案为：；
②连接，
∵圆柱的底面半径为，
∴，
在中，，
，
即蚂蚁爬行的最短路径长为．
故答案为：；
③∵，，
∴．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：绳索的长为．
答案第1页，共2页
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一、单选题
1．如图，在Rt ABC中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．满足下列条件的 ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
3．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，以为直角边作，使，再以为直角边作，使，，依此法继续作下去，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，点为边的中点，点E在边上，且，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
7．在 ABC中，，为边上的中线，，平分外角，过作交于点，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（ ）
A．△APP'是正三角形B．△PCP'是直角三角形C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°
二、填空题
9．如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元．
10．如图，在 ABC中，，，，，将 ABC沿直线向右平移3个单位长度得到，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是27；④点A到直线的距离是．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号）
11．如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ．
12．如图，在 ABC中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ．
13．如图，四边形中，，，，若，，则的长为 ．
14．如图，“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．它是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若中间的小正方形的周长为4，，则大正方形的周长为 ．
15．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千路板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 ．
16．一种盛饮料的圆柱形杯子(如图)，测得它的内部底面半径为，高为，吸管放进杯子里，杯口外面至少要露出，则吸管的长度至少为 cm．
三、解答题
17．如图，在四边形中，∠B＝90°，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
18．如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求图中的面积．
19．甲、乙两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号．甲搜救艇立即以15海里/时的速度离开港口O，沿北偏西50°的方向向A地出发，同时乙搜救艇也从港口O出发，以20海里/时的速度向B地出发，2小时后他们同时到达各自的目标位置，且相距50海里．
(1)求乙搜救艇的航行方向；
(2)成功救援后，甲、乙两艘搜救艇同时沿原路方向返回港口O，其速度分别是12海里/时、16海里/时，1小时后甲、乙两艘搜救艇分别在点E，F处，此时甲、乙两艘搜救艇相距多少海里？
20．周末，小斌在父母的陪伴下坐车外出游玩．在一段笔直的公路段外有一个景点C，由于视线遮挡原因．只有在离景点C250m以内的区域才能欣赏景点已知，，．
(1)请通过计算说明小斌一家在公路AB段行驶时能否欣赏到景点C？
(2)已知在公路AB段欣赏景点C的足够时间为18s，小斌家汽车在AB段以的速度匀速行驶．请你通过计算判断小斌家在公路AB段欣赏景点C的时间足够吗？
21．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据．
【采集数据】
如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米．
【数据应用】
当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上．
(1)求此时风筝的垂直高度．
(2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？
22．在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
如图1，在直角坐标系中任意两点，其坐标分别为和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边，利用勾股定理可得，线段的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
(1)在平面直角坐标系中，已知，则线段的长为__________；
(2)若点C在x轴上，点D的坐标是，且，求点C的坐标；
(3)如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求周长的最小值．
23．阅读材料，并完成相应任务.
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.
下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形：
证明：①在图1中，∵
4个直角三角形的面积+两个正方形的面积
=4× + + .
②在图2中，∵
4个直角三角形的面积+正方形的面积
=4× + .
∴4× + + =4× + .
整理得：
∴ .
任务：（1）将材料中的空缺部分补充完整；
（2）如图3，在△ABC中，∠A=60°,∠ACB=75°，CD⊥AB，AC=4，求BC的长.
24．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知：
∴_____；
∴_____，得证．
(2)应用勾股定理
①应用一：在数轴上画出表示无理数的点
如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____；
②应用二：最短路径问题
如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____；
③应用三：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
试卷第1页，共3页
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《八年级数学新人教版下册第十七章《勾股定理》单元测试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C C B C D
9．2800
10．①②
11．
12．//
13．
14．
15．
16．
17．（1）解：，，
，，
在 ABC中，，，
，，
，
是直角三角形，
；
（2）解：由题意得：四边形的面积 ABC的面积的面积
．
四边形的面积为．
18．（1）解：（1）∵四边形是长方形即矩形，
∴，，，
∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处，
∴，，，
∴，，
在与中，
，
∴
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴
．
∴图中的面积为．
19．（1）解：由题意可得：海里，海里，
∵海里，
∴，，
∵，
∴，
即乙搜救艇的航行方向是北偏东方向；
（2）解：由题意，海里，海里，
∴海里，海里，
∵，
∴海里，
答：甲、乙两艘搜救艇相距30海里．
20．（1）解：由题意，，，，
根据面积法可得，C到的距离
如图．
以C为圆心，250m长为半径，交于点G、H，
小斌一家在公路段行驶时能欣赏到景点
（2）由题意，结合（1）图可得，，且关于对称，
，
故小斌家在公路段欣赏景点C的时间足够．
21．（1）解：由题意得，米，，
在中，由勾股定理得米，
∴米；
∴此时风筝的垂直高度为米；
（2）解：由题意得，米，
在中，由勾股定理得米，
∵米，
∴还需要放出风筝线14米．
22．（1）解：∵，
∴，
故答案为：6；
（2）解：设，
∵点的坐标是，且，
∴，
解得，
∴点的坐标是：或；
（3）解：作A点关于y轴的对称点为，则 ABC的周长最小值，
∴点的坐标为，
的周长最小值
23．（1）①在图1中，∵
4个直角三角形的面积+两个正方形的面积
=4×++.
②在图2中，∵
4个直角三角形的面积+正方形的面积
=4×+.
∴4×++ =4×+ .
整理得：
∴ .
故填：，，，
（2）∵CD⊥AB
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠A=60°
∴∠ACD=30°
∵AC=4
∴AD=2
在Rt△ACD中
CD=
又∵∠ACB=75°
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°
∴∠B=45°
∴ BD=CD=
在Rt△BCD中
BC=
24．1）证明：由等面积法知：
∴，
∴，得证．
故答案为：，；
（2）解：①在中，
∵，
∴，
∴点E表示的数是，
故答案为：；
②连接，
∵圆柱的底面半径为，
∴，
在中，，
，
即蚂蚁爬行的最短路径长为．
故答案为：；
③∵，，
∴．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：绳索的长为．
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