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（北师大版）2024-2025学年八年级下学期数学
期中质量检测卷01
（测试范围：第1章---第3章）
（考试时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸作品中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的特征逐项判断即可．
【解答】解：A、图形是中心对称图形，故选项A符合题意；
B、图形不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形，解答此题的关键是要明确：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．若关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m＝1
【分析】根据不等式的基本性质3求解即可．
【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，
∴m﹣1＜0，
则m＜1，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3．
3．如图，将△ABC向右平移得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝2，BF＝8，则AD的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【分析】根据平移的性质可得BC＝EF，CF＝3，然后列式求解即可．
【解答】解：∵△DEF是由△ABC向右平移得到，
∴BC＝EF，AD＝BE，
∴BE＝CF＝（8﹣2）÷2＝3，
∴AD＝BE＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到BC＝EF是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，
∴BD+CD＝8﹣3＝5，
∵AD＝BD，
∴AD+DC＝5，
∴AC＝5，
∵AB＝AC，
∴AB＝5，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴AEAB＝2.5，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．若不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a＞2 C．a＞3 D．a≥3
【分析】解出不等式组的解集（含a的式子），与不等式组无解比较，求出a的取值范围．
【解答】解：不等式组无解，
根据“大大小小解不了”则2a﹣1≤3，
故a的取值范围是a≤2．
故选：A．
【点评】考查了不等式的解集，本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，把Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，DE的延长线与AB相交于点F，连接BE，则下列结论一定正确的是（ ）
A．BE＝AE B．∠ABC＝∠BEF C．AE+BC＝ED D．DF⊥AB
【分析】根据旋转的性质得出∠A＝∠D，再结合对顶角相等以及三角形内角和定理得出推出结论．
【解答】解：∵把Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，
∴∠A＝∠D，
又∵∠AEF＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACB＝∠AFE＝90°，
∴DF⊥AB，
故选项D结论一定正确，由已知无法得出选项ABC中结论一定正确，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
7．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，由平行线的性质得到∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，即可推出△DEF是等边三角形，得到△DEF的周长＝3EF＝BC＝6．
【解答】解：∵点E，F是边BC上的三等分点，
∴BC＝3EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF＝DF，
∴△DEF的周长＝3EF＝BC＝6．
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，关键是由以上知识点证明△DEF是等边三角形．
8．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD5（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
【分析】根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度数；由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C72°，
故①正确；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，
∴BD是∠ABC的平分线，
故②错误；
∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．
故③错误；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD
∴△ABD是等腰三角形；
故④正确；
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠CBD＝36°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
10．已知关于x的方程的解是非负数，且关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．27 B．28 C．35 D．36
【分析】根据所给方程的解是非负数，得出关于a的不等式，再由不等式组至多有3个整数解，得出关于a的不等式，进而求出a的取值范围，据此可解决问题．
【解答】解：解方程得，
x，
因为此方程的解是非负数，
所以3a﹣4＞0，
解得a．
解不等式得，
y，
解不等式4﹣y≤2a﹣3y得，
y≤a﹣2，
因为不等式组至多有3个整数解，
所以a﹣2＜6，
解得a＜8．
综上所述，a的取值范围是：，
所以符合条件的所有整数a的和为：2+3+4+5+6+7＝27．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程，一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的方法求出不等式组的解集是解决问题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．在等腰△ABC中，如果两边长分别为5、10，则第三边的长为 ．
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为5，底边长为10时；当等腰三角形的腰长为10，底边长为5时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为5，底边长为10时，
∵5+5＝10，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为10，底边长为5时，
∵5+10＝15＞10，
∴能组成三角形；
综上所述：第三边的长为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，点A（2a+4，6﹣2a）在第四象限，则a的取值范围是 ．
【分析】根据点A（2a+4，6﹣2a）在第四象限和第四象限点的坐标的特点，可以得到关于a的不等式组，从而可以得到a的取值范围．
【解答】解：∵点A（2a+4，6﹣2a）在第四象限，
∴，
解得：a＞3，
故答案为：a＞3．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第四象限点的坐标的符号是（+，﹣），列出相应的不等式组．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为 ．
【分析】利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理的推论，等腰三角形的判定与性质，利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．
14．不等式组无解，则m的取值范围是 ．
【分析】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到4m≤8，
解得：m≤2，
则m的取值范围是m≤2．
故答案为：m≤2．
【点评】此题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
15．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，AB＝2，AC＝5，则AD的长为 ．
【分析】由旋转得，AC＝CE＝5，DE＝AB＝2，∠ACE＝90°，利用勾股定理求出AE的长，再根据AD＝AE﹣DE可得答案．
【解答】解：由旋转得，AC＝CE＝5，DE＝AB＝2，∠ACE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得，AE，
∴AD＝AE﹣DE2．
故答案：．
【点评】本题考查旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键．
16．如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为 ．
【分析】根据“若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，”列式，然后解不等式，即可作答．
【解答】解：∵结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，
∴
由（2m﹣3）×2﹣3≤100，得；
由[（2m﹣3）×2﹣3]×2﹣3＞100，得，
即，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（每小题4分，共8分）按要求解下列不等式（组）．
（1）解关于x的不等式1，并将解集用数轴表示出来．
（2）解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解．
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）1，
去分母得：6﹣2（2x﹣1）≤3（1+x），
去括号得：6﹣4x+2≤3+3x，
移项得：﹣4x﹣3x≤3﹣6﹣2，
合并同类项得：﹣7x≤﹣5，
系数化成1得：x，
在数轴上表示为：
；
（2），
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣3，
所以不等式组的解集是﹣3＜x≤1，
在数轴上表示不等式组的解集为：
，
所以不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，不等式组的整数解等知识点，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求∠BAC和∠ACB的度数；
（2）求证：△ACF是等腰三角形．
【分析】（1）设∠BAC＝x°，由AD＝BD＝BC知∠BAC＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠BCD＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°列方程求解可得；
（2）依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF．
【解答】解：（1）设∠BAC＝x°，
∵AD＝BD，
∴∠BAC＝∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2x°，
由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
则∠BAC＝36°，∠ACB＝72°；
（2）∵E是AB的中点，AD＝BD，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
19．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移4个单位得到△A′B′C′，请在图中作出△A′B′C′，则点B的对应点B′坐标为 ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，请在图中作出△A1OB1；
（3）求△A1OB1的面积．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可得解；
（2）根据旋转的性质作图即可得解；
（3）利用割补法求三角形的面积即可得解．
【解答】解：（1）如图所示，所作△A′B′C′即为所求，点B′（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）；
（2）如图所示，所作△A1OB1即为所求；
（3）△A1OB1的面积．
【点评】本题查了作图—平移变换、旋转变换，利用网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
【分析】（1）根据旋转的性质和等边三角形的性质，可得AC＝BC，∠DCE＝60°，CD＝CE，通过证明△BCD≌△ACE即可得出结论；
（2）连接DE，根据旋转的性质易证△CDE为等边三角形，则∠CDE＝60°，根据△BCD≌△ACE，用勾股定理求出AE的长度即可．
【解答】（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD．
（2）连接DE，
由（1）的结论知AE＝BD，
∵BD＝5，
∴AE＝5，
由旋转可知∠DCE＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∵∠ADC＝30°
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
在Rt△ADE中，，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝DE＝4
【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的性质和判定，等边三角形的性质和判定以及勾股定理，熟练掌握各个相关知识点，连接DE，构建直角三角形是解题的关键．
21．（8分）已知关于x，y的方程组的解均为非负数，
（1）用a的代数式表示方程组的解；
（2）求a的取值范围；
（3）化简：|2a+4|﹣|a﹣1|．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据（1）所求结合题意可得，解不等式组即可得到答案；
（3）根据（2）所求得到a﹣1＜0，2a+4≥0，据此化简绝对值求解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：4x＝8a+16，
解得x＝2a+4，
把x＝2a+4代入②得：2a+4﹣y＝5a+7，
解得y＝﹣3a﹣3，
∴方程组的解为；
（2）∵关于x，y的方程组的解均为非负数，
∴，
∴﹣2≤a≤﹣1；
（3）∵﹣2≤a≤﹣1，
∴a﹣1＜0，2a+4≥0，
∴|2a+4|﹣|a﹣1|
＝2a+4+a﹣1
＝3a+3．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，正确求出方程组的解是解题的关键．
22．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答；
（2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，
分三种情况：
当BD＝BF时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3α，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF时，
∴∠DBE＝∠BFD＝3α，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴90°﹣2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD时，
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键．
23．（10分）如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．
（1）若设BE＝a，CF＝b，满足|b﹣5|，求BE及CF的长．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．
【分析】（1）先根据二次根式的非负性求出m＝2，再由非负数的性质求出a、b的值，进而得到BE及CF的长；
（2）延长ED到P，使DP＝DE，连接FP，CP，利用SAS得到三角形BED与三角形CPD全等，利用全等三角形对应边相等得到BE＝CP，再利用SAS得到△EDF和△PDF全等，利用全等三角形对应边相等得到EF＝FP，利用等角的余角相等得到∠FCP为直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；
（3）连接AD，由AB＝AC，且D为BC的中点，利用三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，再由三角形ABC为等腰直角三角形，得到一对角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AD＝CD，利用ASA得到三角形AED与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等得到AE＝CF＝5，DE＝DF，由AE+EB求出AB的长，即为AC的长，再由AC﹣CF求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的长，再根据三角形DEF为等腰直角三角形求出DE与DF的长，即可确定出三角形DEF的面积．
【解答】（1）解：由题意得，
解得m＝2，
则|b﹣5|＝0，
所以a﹣12＝0，b﹣5＝0，
a＝12，b＝5，
即BE＝12，CF＝5；
（2）证明：延长ED到P，使DP＝DE，连接FP，CP，
在△BED和△CPD中，
，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE＝CP，∠B＝∠DCP，
在△EDF和△PDF中，
，
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF＝FP，
∵∠B＝∠DCP，∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCP＝90°，即∠FCP＝90°，
在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF2+CP2＝PF2，
∵BE＝CP，PF＝EF，
∴BE2+CF2＝EF2；
（3）解：连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠FCD＝45°，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF＝90°，∠ADF+∠FDC＝90°，
∴∠EDA＝∠FDC，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE＝CF＝5，DE＝DF，即△EDF为等腰直角三角形，
∴AB＝AE+EB＝5+12＝17，
∴AF＝AC﹣FC＝AB﹣CF＝17﹣5＝12，
在Rt△EAF中，根据勾股定理得：EF13，
设DE＝DF＝x，
根据勾股定理得：x2+x2＝132，
解得：x，即DE＝DF，
则S△DEFDE DF．
【点评】此题考查了非负数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．（12分）宣城市郎溪县是我国绿茶之乡，县内有八万亩茶园．为拓宽销售渠道，进一步向外扩大郎溪县茶叶市场，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的茶叶包装成茶叶礼盒后再出售．已知每件A品种茶叶礼盒比B品种茶叶礼盒的售价少20元，且出售2件A品种茶叶礼盒和1件B品种茶叶礼盒的总价共500元．
（1）求A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知A、B两种茶叶礼盒每件的成本分别为100元、110元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种茶叶礼盒共100盒，且A品种茶叶礼盒售出的数量不超过B品种茶叶礼盒数量的1.5倍，总成本不超过10500元，一共有多少种满足条件的方案？
（3）在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种茶叶礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【分析】（1）设A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可；
（2）设售出A种茶叶礼盒x盒，则售出B种茶叶礼盒（100﹣x）盒，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论；
（3）设收益为y元，根据题意结合（2）列出y关于x的一次函数关系式，然后由一次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为a元，b元，
根据题意得，
解得，
所以A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为160元，180元，
答：A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为160元，180元；
（2）设售出A种茶叶礼盒x盒，则售出B种茶叶礼盒（100﹣x）盒，
根据题意得，，
解得50≤x≤60，
∵60﹣50+1＝11，x为正整数，
∴共有11种满足条件的方案；
（3）设收益为y元，
根据题意得，y＝（160﹣100）x+（180﹣110）（100﹣x）＝﹣10x+7000，
∵﹣10＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝50时，y取得最大值，最大值为﹣10×50+7000＝6500（元），
∴售出B种茶叶礼盒100﹣50＝50（盒），
所以要使农户收益最大，销售方案为售出A种茶叶礼盒50盒，售出B种茶叶礼盒50盒，最大收益为6500元．
答：要使农户收益最大，销售方案为售出A种茶叶礼盒50盒，售出B种茶叶礼盒50盒，最大收益为6500元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
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（北师大版）2024-2025学年八年级下学期数学
期中质量检测卷01
（测试范围：第1章---第3章）
（考试时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸作品中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m＝1
3．如图，将△ABC向右平移得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝2，BF＝8，则AD的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．若不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a＞2 C．a＞3 D．a≥3
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，把Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，DE的延长线与AB相交于点F，连接BE，则下列结论一定正确的是（ ）
A．BE＝AE B．∠ABC＝∠BEF C．AE+BC＝ED D．DF⊥AB
7．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
9．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
10．已知关于x的方程的解是非负数，且关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．27 B．28 C．35 D．36
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．在等腰△ABC中，如果两边长分别为5、10，则第三边的长为 ．
12．在平面直角坐标系中，点A（2a+4，6﹣2a）在第四象限，则a的取值范围是 ．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为 ．
14．不等式组无解，则m的取值范围是 ．
15．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，AB＝2，AC＝5，则AD的长为 ．
16．如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（每小题4分，共8分）按要求解下列不等式（组）．
（1）解关于x的不等式1，并将解集用数轴表示出来．
（2）解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求∠BAC和∠ACB的度数；
（2）求证：△ACF是等腰三角形．
19．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移4个单位得到△A′B′C′，请在图中作出△A′B′C′，则点B的对应点B′坐标为 ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，请在图中作出△A1OB1；
（3）求△A1OB1的面积．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
21．（8分）已知关于x，y的方程组的解均为非负数，
（1）用a的代数式表示方程组的解；
（2）求a的取值范围；
（3）化简：|2a+4|﹣|a﹣1|．
22．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
23．（10分）如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．
（1）若设BE＝a，CF＝b，满足|b﹣5|，求BE及CF的长．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．
24．（12分）宣城市郎溪县是我国绿茶之乡，县内有八万亩茶园．为拓宽销售渠道，进一步向外扩大郎溪县茶叶市场，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的茶叶包装成茶叶礼盒后再出售．已知每件A品种茶叶礼盒比B品种茶叶礼盒的售价少20元，且出售2件A品种茶叶礼盒和1件B品种茶叶礼盒的总价共500元．
（1）求A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知A、B两种茶叶礼盒每件的成本分别为100元、110元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种茶叶礼盒共100盒，且A品种茶叶礼盒售出的数量不超过B品种茶叶礼盒数量的1.5倍，总成本不超过10500元，一共有多少种满足条件的方案？
（3）在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种茶叶礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
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