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（北师大版）2024-2025学年八年级下学期数学
期中质量检测卷02
（测试范围：第1章---第3章）
（考试时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
2．若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x，则a的取值范围是（ ）
A．a≠3 B．a＞3 C．a＜3 D．a≤3
【分析】根据不等式的性质可得a﹣3＜0，由此求出a的取值范围．
【解答】解：∵（a﹣3）x＞2的解集为x，
∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质：在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题解不等号时方向改变，所以a﹣3小于0．
3．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠BOC等于（ ）
A．55° B．45° C．40° D．35°
【分析】首先根据旋转角定义可以知道∠AOC＝80°，而∠AOB＝45°，然后根据图形即可求出∠BOC．
【解答】解：∵△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，
∴∠AOC＝80°，
而∠AOB＝45°，
∴∠BOC＝80°﹣45°＝35°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．
4．若不等式组：的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2026＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2023
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：由x﹣a＞2，得x＞a+2，
由b﹣2x＞0，得x，
∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，
∴a+2＝﹣1，1，
解得a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2026＝（﹣3+2）2026
＝（﹣1）2026
＝1，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
【分析】由题意可知，AP是EC的垂直平分线，证明△ADE≌△ADC（SAS），进而证明△AEC是等边三角形，求出∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°，利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：由题意可知，AP是EC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，DE＝CD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠EAD＝∠CAD，∠C＝∠AED，
∴∠EAC＝2∠CAD，
∵∠C＝2∠CAD，
∴∠C＝∠EAC＝∠AED，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°，
在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠BAE＝75°﹣60°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．
6．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
【分析】设AB＝AD＝x cm，根据题意可推出AC＝（x﹣2）cm，然后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设AB＝AD＝x cm，
根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，
∴CE＝BF＝8cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，
解得：x＝26，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（ ）
A．六折 B．六五折 C．七折 D．七五折
【分析】设商店打x折销售，利用利润＝销售价格﹣进价，结合要保证利润率不低于5%，列出一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．
【解答】解：设商店可打x折销售，
依题意得：60×0.1x﹣40≥40×5%，
解得：x≥7，
即最多可打7折，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③
【分析】根据等边三角形的判定方法：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，进行判定即可．
【解答】解：∵有两个角等于60°，
则第三个角为180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴这个三角形是等边三角形，
故①选项符合题意；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，
故②选项符合题意；
∵三个外角都相等，
∴三个内角也都相等，
∴这个三角形是等边三角形，
故③选项符合题意；
∵一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，
∴腰和底边相等，
∴这个三角形是等边三角形，
故④选项符合题意，
∴正确的选项有①②③④，
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解题的关键．
9．若方程组的解满足x＜y，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a＞2
【分析】将方程组中两方程相减，表示出x﹣y，代入x﹣y＜0中，即可求出a的范围．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣y＝4+2a，
∵x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴4+2a＜0，
∴a＜﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x﹣y是解本题的关键．
10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是（ ）
A． B． C． D．3
【分析】如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM为等边三角形，根据AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出，，最终得到答案．
【解答】解：如图，连接AM，
由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；
∵∠ABC＝90°，，
∴AC＝2＝CM，
∵AB＝BC，CM＝AM，
∴BM垂直平分AC，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．若点P（m+1，8﹣2m）在第四象限，那么m的取值范围是 ．
【分析】根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：∵点P（m+1，8﹣2m）在第四象限，
∴，
解得m＞4，
∴m的取值范围是m＞4．
故答案为：m＞4．
【点评】本题考查了象限内点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是根据点在第四象限正确列出不等式组．
12．如图，在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝1，△ACB绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，点B，E之间的距离为 ．
【分析】连接BE，根据含30度的直角三角形的性质可得AB＝2BC＝2，根据旋转得到∠BAE＝90°，AE＝AB＝2，利用勾股定理即可求出BE．
【解答】解：连接BE，
∵BC＝1，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴AB＝2BC＝2，
由旋转可知：∠BAE＝90°，AE＝AB＝2，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是由旋转得到
∠BAE＝90°，AE＝AB＝2．
13．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以点A，C 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于F ，直线FD 交BC 于点E ，连接AE ，若AD＝2.5 ，△ABE 的周长为13，则△ABC 的周长为 ．
【分析】根据线段中点的定义可得AC＝5，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得EA＝EC，然后根据△ABE 的周长为13，可得AB+BC＝13，从而求出△ABC 的周长，即可解答．
【解答】解：∵点D 是AC 的中点，
∴AC＝2AD＝5，
由题意得：
ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ABE 的周长为13，
∴AB+BE+AE＝13，
∴AB+BE+EC＝13，
∴AB+BC＝13，
∴△ABC 的周长＝AB+BC+AC＝13+5＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14．如果关于x的不等式2x﹣5≤2a+1只有4个正整数解，那么a的取值范围是 ．
【分析】求出不等式的解集，根据不等式只有4个正整数解即可求得a的取值范围．
【解答】解：解不等式2x﹣5≤2a+1得：x≤a+3，
又∵不等式2x﹣5≤2a+1只有4个正整数解，
∴4个正整数解是1、2、3、4，
∴4≤a+3＜5，
解不等式组得：1≤a＜2，
故答案为：1≤a＜2．
【点评】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于a的不等式是解题的关键．
15．等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为 ．
【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高．
①当∠A＝70°时，
则∠ABC＝∠C＝55°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝90°﹣55°＝35°；
②当∠C＝70°时，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝90°﹣70°＝20°；
故答案为：20°或35°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
16．我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接BF，若S△ABF＝12.5，AB﹣EF＝6，则S正方形ABCD＝ ．
【分析】根据题意得AF＝BG，利用三角形的面积公式求得AF＝BG＝5，由AB﹣EF＝6，推出EF＝AB﹣6，AG＝AB﹣1，在Rt△ABG 中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【解答】解：由题意得，AF＝BG，
∵S△ABF＝12.5，
∴，
∴AF＝BG＝5，
∵AB﹣EF＝6，
∴EF＝AB﹣6，
∴AG＝AB﹣6+5＝AB﹣1，
在Rt△ABG中，
∵AB2﹣AG2＝BG2，
即AB2﹣（AB﹣1）2＝52，
∴AB＝13，
∴S正方形ABCD＝169，
故答案为：169．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确得出AG与AB的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（每小题4分，共8分）（1）解不等式：5x＞3（x﹣2）+2，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）∵5x＞3（x﹣2）+2，
∴5x＞3x﹣6+2，
5x﹣3x＞﹣6+2，
2x＞﹣4，
则x＞﹣2，
解集表示在数轴上如下：
（2）由3x﹣4＞2（x﹣2）得：x＞0，
由1得：x≤4，
所以不等式组的解集为0＜x≤4，其整数解为1、2、3、4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）如图，点D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．
【分析】（1）根据“手拉手”模型，结合三角形全等的判定定理即可得证；
（2）由（1）中结论，结合△EAD为等边三角形，数形结合即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴∠BAD+∠EAB＝60°＝∠BAD+∠DAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
（2）解：∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠AED＝60°，
由（1）知△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC＝115°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝115°﹣60°＝55°．
【点评】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长．
【分析】（1）连接EC，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，再根据线段垂直平分线的性质证明即可；
（2）结合（1）求出BD＝3，根据勾股定理求出AE＝BE，再根据三角形周长定义求解即可．
【解答】（1）证明：连结EC．
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∵点E在AD上，
∴BE＝EC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝EC，
∴AE＝BE．
（2）由（1）得，，
∵BC＝6，
∴BD＝3，
∴AD4，
设AE＝BE＝x，
在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
∴，
即，
∴△ABE的周长为：AB+BE+AE＝5．
【点评】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟记勾股定理、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，请画出平移后的△A2B2C2，并写出B2的坐标；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点M，则△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，B1的坐标为（5，﹣3）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
由图可得，B2的坐标为（﹣1，5）．
（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点M，
则△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，
∴对称中心的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
21．（9分）如图，点D在边BC的延长线上，∠ACE＝28°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD于点H，且∠CEH＝62°．
（1）证明：AE平分∠CAF；
（2）若AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，求△ACD的面积．
【分析】（1）如图，过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN＝EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（2）根据S△ACD＝S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM＝4，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【解答】（1）证明：过E点作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝28°，∠CEH＝62°，
∴∠HCE＝90°﹣∠CEH＝90°﹣62°＝28°＝∠ACE，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（2）∵AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，
∴，
∴EM＝4，
∴EN＝EH＝EM＝4，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED
＝32，
∴△ACD的面积为32．
【点评】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键．
22．（9分）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：2x﹣1＝3的解为的解集为﹣3≤x＜4，x＝2在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x﹣1＝3是的“子方程”．
问题解决：
（1）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；
（2）若方程都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围．
【分析】（1）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出x，最后根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义即可解答．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x，
解不等式②得：x≤3，
∴原不等式组的解集为：x≤3，
2x﹣k＝2，
解得：x，
∵方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”，
∴3，
解得：3＜k≤4；
（2）2x+4＝0，
解得：x＝﹣2，
1，
解得：x＝﹣1，
，
解不等式①得：x≥m﹣5，
解不等式②得：x＜m﹣3，
∴原不等式组的解集为：m﹣5≤x＜m﹣3，
∵方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
解得：2＜m≤3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键．
23．（10分）某超市准备购进A，B两种商品，进30件A，40件B需要2700元；进50件A，20件B需要3100元．商品A，B销售单价分别定为80元，45元．
（1）商品A，B每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种数量不低于B种数量的一半，商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
【分析】（1）设商品A每件的进价为x元，商品B每件的进价为y元，由进30件A，40件B需要2700元；进50件A，20件B需要3100元，列出方程组，即可求解；
（2）设购进商品A有a件，则商品B有（40﹣a）件，根据“进货总价不超过1560元，且A种商品的数量不低于B种商品数量的一半”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数，即可得出进货方案的个数；
（3）设销售这40件商品获得总利润为w元，利用总利润＝每件商品的销售利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设商品A每件的进价为x元，商品B每件的进价为y元，
由题意可得：，
解得：，
答：商品A每件的进价为50元，商品B每件的进价为30元；
（2）设购进商品A有a件，则商品B有（40﹣a）件，
由题意可得：，
解得：a≤18．
又∵a为整数，
∴a可以为14，15，16，17，18，
∴该商店有5种进货方案；
（3）设销售这40件商品获得总利润为w元，则w＝（80﹣m﹣50）a+（45﹣30）（40﹣a）＝（15﹣m）a+600．
若15﹣m＞0，即10＜m＜15时，w随a的增大而增大，
∴当a＝18时，w取得最大值，此时40﹣a＝40﹣18＝22；
若15﹣m＝0，即m＝15时，w的值不变；
若15﹣m＜0，即15＜m＜20时，w随a的增大而减小，
∴当a＝14时，w取得最大值，此时40﹣a＝40﹣14＝26．
答：当10＜m＜15时，购进A种商品18件，B种商品22件时，销售这40件商品获得总利润最大；当m＝15时，选择各方案销售这40件商品获得总利润相同；当15＜m＜20时，购进A种商品14件，B种商品26件时，销售这40件商品获得总利润最大．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
24．（12分）综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．
已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°
【初步探究】（1）小鸣将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段BD、CE的数量关系，并说明理由；
【深入探究】（2）若∠ADB＝90°，旋转过程中，当点D、点E和BC的中点O三点共线时，如图2，探究线段BD、DO和OE的数量关系，并说明理由．
【应用探究】（3）如图2，在（2）的条件下，若∠BAD＝30°，AB＝4，则OD＝ （直接写出结果）
【拓展探究】（4）如图3，当∠BDC＝60°，，，则CD＝ （直接写出结果）
【分析】（1）证明△ABD≌△ACE 即可；
（2）过C作CM∥BD，证明△BDO≌△CMO，则CM＝BD，OM＝OD，由已知得CM∥AE，CE＝CM，由勾股定理得，进而得到．
（3）由直角三角形的性质可分别求得BD、AD，进而求得DE，由即可求得结果：
（4）设∠DBC＝α，则∠ABD＝45°+α由（1）可得△ABD≌△ACE，则∠ABD＝∠ACE＝45°+α，导角证明∠DCE＝150°，过点E作EH⊥CD交延长线于点H，则∠HCE＝30°，在 Rt△HEC 中，∠HCE＝30°，，则，由勾股定理得，在Rt△ADE 中，AD＝AE，∠AED＝45°，由勾股定理得：，在Rt△DEH中，由勾股定理得 HD＝9，再由CD＝HD﹣HC即可求解．
【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2），理由如下：
如图，过C作CM∥BD，
则∠DBO＝∠MCO，
∵O为BC的中点，
∴OB＝OC，
在△BDO和△CMO中，
，
∴△BDO≌△CMO（ASA），
∴CM＝BD，OM＝OD，
∵∠ADB＝90°，∠DAE＝90°，
∴BD∥AE，
∵CM∥BD，
∴CM∥AE，
∴∠ECM＝90°，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠CEM＝45°，
∴∠CME＝∠CEM＝45°，
∴CE＝CM，
由勾股定理得，
∴．
（3）∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝4，
∴，
由勾股定理得，
由勾股定理得，
由（2）知，
∵OE＝DE﹣OD，
∴，
即，
故答案为：．
（4）设∠DBC＝α，则∠ABD＝45°+α，
由（1）可得△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°+α，
∴∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，
∴α+60°+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝120°﹣α，
∵∠ACE+∠ACB+∠BCD+∠DCE＝360°，∠ACE＝45°+α，∠ACB＝45°，∠BCD＝120°﹣α，
∴∠DCE＝150°，
过点E作EH⊥CD交延长线于点H，
∠DCE＝150°，
∴∠HCE＝30°，
在 Rt△HEC 中，∠HCE＝30°，，
∴，
∴由勾股定理得：，
在 Rt△ADE 中，AD＝AE，∠AED＝45°，
∴由勾股定理得：，
在 Rt△DEH 中，DE2＝HE2+HD2，
∴HD＝9，
∵CD＝HD﹣HC，
∴CD＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键．
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（北师大版）2024-2025学年八年级下学期数学
期中质量检测卷02
（测试范围：第1章---第3章）
（考试时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x，则a的取值范围是（ ）
A．a≠3 B．a＞3 C．a＜3 D．a≤3
3．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠BOC等于（ ）
A．55° B．45° C．40° D．35°
4．若不等式组：的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2026＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2023
5．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
6．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
7．某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（ ）
A．六折 B．六五折 C．七折 D．七五折
8．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③
9．若方程组的解满足x＜y，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a＞2
10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．若点P（m+1，8﹣2m）在第四象限，那么m的取值范围是 ．
12．如图，在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝1，△ACB绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，点B，E之间的距离为 ．
13．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以点A，C 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于F ，直线FD 交BC 于点E ，连接AE ，若AD＝2.5 ，△ABE 的周长为13，则△ABC 的周长为 ．
14．如果关于x的不等式2x﹣5≤2a+1只有4个正整数解，那么a的取值范围是 ．
15．等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为 ．
16．我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接BF，若S△ABF＝12.5，AB﹣EF＝6，则S正方形ABCD＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（每小题4分，共8分）（1）解不等式：5x＞3（x﹣2）+2，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．（8分）如图，点D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长．
20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，请画出平移后的△A2B2C2，并写出B2的坐标；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
21．（9分）如图，点D在边BC的延长线上，∠ACE＝28°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD于点H，且∠CEH＝62°．
（1）证明：AE平分∠CAF；
（2）若AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，求△ACD的面积．
22．（9分）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：2x﹣1＝3的解为的解集为﹣3≤x＜4，x＝2在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x﹣1＝3是的“子方程”．
问题解决：
（1）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；
（2）若方程都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围．
23．（10分）某超市准备购进A，B两种商品，进30件A，40件B需要2700元；进50件A，20件B需要3100元．商品A，B销售单价分别定为80元，45元．
（1）商品A，B每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种数量不低于B种数量的一半，商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
24．（12分）综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．
已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°
【初步探究】（1）小鸣将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段BD、CE的数量关系，并说明理由；
【深入探究】（2）若∠ADB＝90°，旋转过程中，当点D、点E和BC的中点O三点共线时，如图2，探究线段BD、DO和OE的数量关系，并说明理由．
【应用探究】（3）如图2，在（2）的条件下，若∠BAD＝30°，AB＝4，则OD＝ （直接写出结果）
【拓展探究】（4）如图3，当∠BDC＝60°，，，则CD＝ （直接写出结果）
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