一元一次不等式的概念
不等式的左右两边都是 ，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 ，像这样的不等式，叫做
一元一次不等式中的元指的是未知数的个数，次指的是未知数的次数.
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式大致要分五个步骤进行，每一步的依据如下：
(1)去分母(根据不等式的基本性质2或3)；
(2) (根据整式运算法则)；
(3)移项(根据不等式的基本性质1)；
(4) (根据整式运算法则)；
(5) (根据不等式的基本性质2或3).
一元一次不等式的定义
典例1 下列式子：①－2＜0 ②3x－5＞0
③x2－x＞1 ④x＞1 ⑤－2＞0
⑥x＋2＞y＋1.其中一元一次不等式有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
变式 若(a－2)x|a－1|－2＜0是关于x的一元一次不等式，则a的值为( )
A.2 B.－1
C.0 D.0或2
一元一次不等式的解法
典例2 [2023·宜昌]解不等式>x－1，下列在数轴上表示的解集正确的是( )
变式 [2023·阜新]不等式x＋8<4x－1的解集是( )
A.x<3 B.x>3
C.x<－3 D.x>－
一元一次不等式的解集的应用
典例3 [2023·荷塘区二模]关于x的不等式x－a＞0的一个解是x＝6，则a的值可能是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
变式 [2023秋·南阳期中]关于x的方程4x－2m＋1＝5x－8的解是非负数，则m的取值范围是( )
A.m≤0 B.m≥
C.m≤ D.m>0
1.[2023春·老河口市期末]解不等式＞的下列过程中错误的是( )
A.去分母，得5(2＋x)＞3(2x－1)
B.去括号，得10＋5x＞6x－3
C.移项，合并同类项，得－x＞－13
D.系数化为1，得x＞13
2.不等式2x≤4的解集，在数轴上表示正确的是( )
3.[2024春·泰山区期末]不等式3－2x＞7的解集为 .
4.[2024春·铁西区期末]解不等式＜＋1，并把它的解集在数轴上表示出来.
第4题图列一元一次不等式解应用题的步骤
1.“审”：认真审题，找出题目中的已知量、未知量.
2.“设”：找出能够表示应用题全部含义的不等关系，设出适当的未知数.
3.“列”：根据不等关系，列出不等式.
4.“解”：解这个不等式，求出不等式的解集.
5.“验”：检验所得的解集是否正确，是否符合实际情况.
6.“答”：写出答案.
由实际问题抽象出一元一次不等式
典例1 [2023·滨江区二模]一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分.小聪有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则( B )
A.95－7x＞80 B.5(19－x)－2x≥80
C.100－7x＞80 D.5(20－x)－2x≥80
设小聪答错了x道题，则答对了20－1－x＝(19－x)道题，根据总分＝5×答对题目数－2×答错题目数，结合小聪竞赛成绩不低于80分，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解.
变式 [2023春·铁西区期末]小明要从甲地到乙地，两地相距2千米.已知小明步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若要在不超过15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设小明需要跑步x分钟，根据题意可列不等式为200x＋100(15－x)≥2_000.
运用不等式解决实际问题
典例2 [2022·山西]某品牌护
典例2图
眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价32元.
设该商品最多可降价x元，列不等式≥20%，求解即可.
变式 某造纸企业为了更好地处理污水问题，决定购买10台新型污水处理设备.有甲、乙两种型号的设备可选，其中每台的价格、月处理污水量如表所示：
型号 甲型 乙型
价格(万元/台) 10 8
处理污水量(吨/月) 180 150
(1)经预算：该企业购买污水处理设备的资金不超过85万元，你认为该企业有哪几种购买方案；
(2)在(1)的条件下，若每月需要处理的污水不低于1 530吨，为了节约资金，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案.
解：(1)设购进甲型污水处理设备x台，则购进乙型污水处理设备(10－x)台.
由题意，得10x＋8(10－x)≤85，
解得x≤.
∵x为非负整数，∴x＝0，1，2.
∴该企业有三种购买方案，方案1：购进乙型污水处理设备10台；方案2：购进甲型污水处理设备1台，乙型污水处理设备9台；方案3：购进甲型污水处理设备2台，乙型污水处理设备8台；
(2)由题意，得180x＋150(10－x)≥1 530，
解得x≥1，∴x＝1，2.
当x＝1时，10－x＝9，购买污水处理设备的资金为10×1＋8×9＝82(万元)；
当x＝2时，10－x＝8，购买污水处理设备的资金为10×2＋8×8＝84(万元).
∵82＜84，
∴最省钱的购买方案为购进甲型污水处理设备1台，乙型污水处理设备9台.
1.一次生活常识知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣5分，乐乐想要在这次竞赛中得分不低于90分，则他至少要答对的题数是13.
2.创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶.若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元.
(1)求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15 200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
解：(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得
解得
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
(2)设A型垃圾桶a个，
由题意可得60a＋100(200－a)≤15 200，解得a≥120，
答：至少需购买A型垃圾桶120个.列一元一次不等式解应用题的步骤
1.“审”：认真审题，找出题目中的 、 .
2.“设”：找出能够表示应用题全部含义的不等关系，设出适当的 .
3.“列”：根据不等关系，列出 .
4.“解”：解这个不等式，求出 .
5.“验”：检验所得的解集是否正确，是否符合实际情况.
6.“答”：写出答案.
由实际问题抽象出一元一次不等式
典例1 [2023·滨江区二模]一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分.小聪有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则( )
A.95－7x＞80 B.5(19－x)－2x≥80
C.100－7x＞80 D.5(20－x)－2x≥80
变式 [2023春·铁西区期末]小明要从甲地到乙地，两地相距2千米.已知小明步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若要在不超过15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设小明需要跑步x分钟，根据题意可列不等式为 _ .
运用不等式解决实际问题
典例2 [2022·山西]某品牌护
典例2图
眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元.
变式 某造纸企业为了更好地处理污水问题，决定购买10台新型污水处理设备.有甲、乙两种型号的设备可选，其中每台的价格、月处理污水量如表所示：
型号 甲型 乙型
价格(万元/台) 10 8
处理污水量(吨/月) 180 150
(1)经预算：该企业购买污水处理设备的资金不超过85万元，你认为该企业有哪几种购买方案；
(2)在(1)的条件下，若每月需要处理的污水不低于1 530吨，为了节约资金，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案.
1.一次生活常识知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣5分，乐乐想要在这次竞赛中得分不低于90分，则他至少要答对的题数是 .
2.创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶.若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元.
(1)求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15 200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？一元一次不等式的概念
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
一元一次不等式中的元指的是未知数的个数，次指的是未知数的次数.
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式大致要分五个步骤进行，每一步的依据如下：
(1)去分母(根据不等式的基本性质2或3)；
(2)去括号(根据整式运算法则)；
(3)移项(根据不等式的基本性质1)；
(4)合并同类项(根据整式运算法则)；
(5)把未知数的系数化为1(根据不等式的基本性质2或3).
一元一次不等式的定义
典例1 下列式子：①－2＜0 ②3x－5＞0
③x2－x＞1 ④x＞1 ⑤－2＞0
⑥x＋2＞y＋1.其中一元一次不等式有( A )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式.
解析：①－2＜0，不含有未知数，不是一元一次不等式；
②3x－5＞0是一元一次不等式；
③x2－x＞1，未知数的次数不是1，不是一元一次不等式；
④x＞1是一元一次不等式；
⑤－2＞0不是整式，不是一元一次不等式；
⑥x＋2＞y＋1，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
∴一元一次不等式一共有2个.
变式 若(a－2)x|a－1|－2＜0是关于x的一元一次不等式，则a的值为( C )
A.2 B.－1
C.0 D.0或2
一元一次不等式的解法
典例2 [2023·宜昌]解不等式>x－1，下列在数轴上表示的解集正确的是( D )
按去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1的步骤求出解集，再把解集在数轴上表示出来，注意包含端点值用实心圆点，不包含端点值用空心圆圈，即可求解.
解析：两边同时乘3，得1＋4x>3x－3，
移项，得4x－3x>－3－1，
合并同类项，得x>－4，
解集在数轴上表示为
典例2图
变式 [2023·阜新]不等式x＋8<4x－1的解集是( B )
A.x<3 B.x>3
C.x<－3 D.x>－
一元一次不等式的解集的应用
典例3 [2023·荷塘区二模]关于x的不等式x－a＞0的一个解是x＝6，则a的值可能是( A )
A.2 B.3
C.4 D.5
先解不等式，然后根据不等式x－a＞0的一个解是x＝6，求得a的范围即可求解.
解析：∵x－a＞0，
解得x＞2a，
∵不等式x－a＞0的一个解是x＝6，
∴6＞2a，
解得a＜3，
∴a的值可能是2.
变式 [2023秋·南阳期中]关于x的方程4x－2m＋1＝5x－8的解是非负数，则m的取值范围是( C )
A.m≤0 B.m≥
C.m≤ D.m>0
1.[2023春·老河口市期末]解不等式＞的下列过程中错误的是( D )
A.去分母，得5(2＋x)＞3(2x－1)
B.去括号，得10＋5x＞6x－3
C.移项，合并同类项，得－x＞－13
D.系数化为1，得x＞13
2.不等式2x≤4的解集，在数轴上表示正确的是( B )
3.[2024春·泰山区期末]不等式3－2x＞7的解集为x＜－2.
4.[2024春·铁西区期末]解不等式＜＋1，并把它的解集在数轴上表示出来.
第4题图
解：<＋1，
去分母，得2(2x＋5)＜x＋1＋6，
去括号，得4x＋10＜x＋1＋6，
移项，得4x－x＜1＋6－10，
合并同类项，得3x＜－3，
化系数为1，得x＜－1，
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
第4题图
