函数、不等式、方程之间的关系
对于一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当y＝0时，形成方程kx＋b＝0；当y>0或y<0时，形成不等式，即kx＋b>0或kx＋b<0.
一元一次不等式与一次函数的关系
对于一次函数y＝kx＋b(k≠0)，如图：
(1)当y>0，即kx＋b>0，取图象在x轴上方的部分；
(2)当y<0，即kx＋b<0，取图象在x轴下方的部分；
(3)当y＝0，即kx＋b＝0，取图象与x轴的交点.反之也成立.
结合图象体会，一元一次方程kx＋b＝0是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的函数值为0时的特殊情况，一元一次不等式kx＋b>0或kx＋b<0 (k≠0)是函数值不等于0的情形.
一元一次不等式与一次函数的关系
典例1 [2023春·渭南期末]如图，直线y＝kx＋6经过点(1，4)，则关于x的不等式kx＋6<4的解集是( B )
A.x<－1 B.x>1
C.x<1 D.x>4
典例1图
根据函数图象，找到直线y＝kx＋6的图象在直线y＝4下方时自变量的取值范围即可得到答案.
变式 [2023春·太原期中]如图，一次函数y＝kx－1与y＝－x＋3的图象都经过点P(2，1)，则不等式kx－1≥－x＋3的解集为( A )
变式图
A.x≥2 B.x≤2
C.x≥1 D.x≤1
一元一次不等式与一次函数的综合题
典例2 如图，直线AB的函数表达式为y＝x＋n，与直线y＝kx＋m交于点C(其中k，m，n为常数)，点C的横坐标为3，下列四个结论：
①关于x的方程x＋n＝kx＋m的解为x＝3
②关于x的不等式kx＋m3
③直线y＝kx＋m上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1④直线y＝x＋n上有两点(a，b)，(c，d)，则(a－b)(c－d)＝n2
其中正确结论的序号是( B )
典例2图
A.①②③ B.①②④
C.只有②④ D.只有①④
①交点C的横坐标就是关于x的方程x＋n＝kx＋m的解；②，③根据函数图象直接作出判断即可；④把(a，b)，(c，d)代入直线y＝x＋n得，a＋n＝b，c＋n＝d，整理得到a－b＝－n，c－d＝－n，整体代入所求的代数式即可求解.
解析：∵直线AB的表达式为y＝x＋n，与直线y＝kx＋m交于点C(其中k，m，n为常数)，点C的横坐标为3，
∴关于x的方程x＋n＝kx＋m的解为x＝3，
故①正确；
根据函数图象可知，关于x的不等式kx＋m3，故②正确；
根据函数图象可知，在直线y＝kx＋m上，y随x的增大而减小，
又∵(x1，y1)，(x2，y2)在y＝kx＋m上，x1∴y1>y2，故③错误；
把(a，b)，(c，d)代入直线y＝x＋n，
得a＋n＝b，c＋n＝d，
整理，得a－b＝－n，c－d＝－n，
∴(a－b)(c－d)＝n2，故④正确.
综上所述，正确的结论是①②④.
变式 [2023春·周口期中]如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝x＋b的图象交于点P.下列有四个结论：①a<0
②b<0 ③当x>0时，y1<0 ④当x<－2时，y1变式图
A.①③ B.②③
C.①② D.①④
1.直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解集为( B )
第1题图
A.x＞－1 B.x＜－1
C.x＜－2 D.x＞－2
2.[2023春·南陵县期末]如图所示，直线y＝kx＋b经过点(－2，0)，则关于x的不等式kx＋b＜0的解集为x＜－2.
第2题图
3.如图，直线y＝kx＋2与直线y＝x相交于点A(3，1)，与x轴交于点B.
(1)求B点坐标；
(2)根据图象写出不等式kx＋2＜x的解集.
第3题图
解：(1)∵直线y＝kx＋2与直线y＝x相交于点A(3，1)，与x轴交于点B，
∴3k＋2＝1，
解得k＝－，
∴y＝－x＋2，
当y＝0时，－x＋2＝0，得x＝6，
∴点B的坐标为(6，0)；
(2)由图象可知，kx＋2＜x的解集是3＜x.函数、不等式、方程之间的关系
对于一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当y＝0时，形成方程 ；当 或 时，形成不等式，即 或 .
一元一次不等式与一次函数的关系
对于一次函数y＝kx＋b(k≠0)，如图：
(1)当 ，即 ，取图象在x轴上方的部分；
(2)当 ，即 ，取图象在x轴下方的部分；
(3)当 ，即 ，取图象与x轴的交点.反之也成立.
结合图象体会，一元一次方程kx＋b＝0是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的函数值为0时的特殊情况，一元一次不等式kx＋b>0或kx＋b<0 (k≠0)是函数值不等于0的情形.
一元一次不等式与一次函数的关系
典例1 [2023春·渭南期末]如图，直线y＝kx＋6经过点(1，4)，则关于x的不等式kx＋6<4的解集是( )
A.x<－1 B.x>1
C.x<1 D.x>4
典例1图
变式 [2023春·太原期中]如图，一次函数y＝kx－1与y＝－x＋3的图象都经过点P(2，1)，则不等式kx－1≥－x＋3的解集为( )
变式图
A.x≥2 B.x≤2
C.x≥1 D.x≤1
一元一次不等式与一次函数的综合题
典例2 如图，直线AB的函数表达式为y＝x＋n，与直线y＝kx＋m交于点C(其中k，m，n为常数)，点C的横坐标为3，下列四个结论：
①关于x的方程x＋n＝kx＋m的解为x＝3
②关于x的不等式kx＋m3
③直线y＝kx＋m上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1④直线y＝x＋n上有两点(a，b)，(c，d)，则(a－b)(c－d)＝n2
其中正确结论的序号是( )
典例2图
A.①②③ B.①②④
C.只有②④ D.只有①④
变式 [2023春·周口期中]如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝x＋b的图象交于点P.下列有四个结论：①a<0
②b<0 ③当x>0时，y1<0 ④当x<－2时，y1变式图
A.①③ B.②③
C.①② D.①④
1.直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解集为( )
第1题图
A.x＞－1 B.x＜－1
C.x＜－2 D.x＞－2
2.[2023春·南陵县期末]如图所示，直线y＝kx＋b经过点(－2，0)，则关于x的不等式kx＋b＜0的解集为 .
第2题图
3.如图，直线y＝kx＋2与直线y＝x相交于点A(3，1)，与x轴交于点B.
(1)求B点坐标；
(2)根据图象写出不等式kx＋2＜x的解集.
第3题图一元一次不等式与一次函数在实际中的应用
根据题意列出一元一次不等式解决问题的步骤：
1.“审题”：理清题目中的数量关系，把这些关系分解为函数关系；
2.“列式”：列出函数关系式；
3.“转化”：依据题意，将列出的函数关系式转化为一元一次不等式；
4.“解式”：解一元一次不等式；
5.“检验”：选择符合题意的一元一次不等式的解或解集.
利用一次函数与一元一次不等式解决实际问题，一般首先列出函数关系式，再根据题意列出不等式，进而通过解不等式解决问题.此时，除了考虑一次函数、一元一次不等式的知识外，还要使实际问题有意义，所以特别注意自变量的取值范围.
一元一次不等式与一次函数在实际中的应用
典例 某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为x时两种消费卡所需费用分别为y甲，y乙元，y甲，y乙与x的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算( B )
典例图
A.甲种更合算 B.乙种更合算
C.两种一样合算 D.无法确定
根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可.
解析：观察图象，当游泳次数大于10次时，
y甲在y乙上面，即y甲＞y乙，
∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱.
此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出函数大小关系是解题关键.
变式 甲、乙两个书店举行了购书优惠活动.甲书店：所有书籍按标价7折出售；乙书店：所购图书标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元的部分打5折.设要购买图书的标价总额为x元，实际支付金额为y元.
(1)根据题意，填写表格：
在乙书店购买图书标价总额/元 60 80 90 100
在乙书店购买图书实际支付金额/元 60 ________ 85 ________
(2)请直接写出在甲、乙书店购书，y1，y2与x的函数关系式；
(3)若只在一家书店购书，请通过计算说明在哪家购买更实惠.
解：(1)当在乙书店购买图书标价总额为80元时，实际支付金额为80元，
当在乙书店购买图书标价总额为100元时，实际支付金额为80＋50%×(100－80)＝90(元).
故答案为：80，90；
(2)甲书店：y1＝0.7x(x>0)，
乙书店：当0当x>80时，y2＝80＋0.5(x－80)＝0.5x＋40.
∴y2＝
(3)当0当x>80时，y1＝0.7x(x>0)，y2＝0.5x＋40，
①当y1②当y1＝y2时，0.7x＝0.5x＋40，解得x＝200；
③当y1>y2时，0.7x>0.5x＋40，解得x>200.
综上所述，当0200时，在乙书店购买更实惠.
1.[2024春·莱芜区期末]甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每把椅子80元.甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送两把椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价9折优惠.现某公司要购买5张办公桌和若干把椅子，若购买的椅子数为x把(x≥10).
(1)分别用含x的式子表示在甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额y甲，y乙；
(2)该公司选择哪一个厂家购买更划算？
解：(1)由题意可得
y甲＝5×800＋80(x－10)＝80x＋3 200，
y乙＝(5×800＋80x)×0.9＝72x＋3 600，
由上可得，y甲＝80x＋3 200，y乙＝72x＋3 600；
(2)由y甲＝y乙得3 200＋80x＝3 600＋72x，解得x＝50，
由y甲＞y乙得3 200＋80x＞3 600＋72x，解得x＞50，
由y甲＜y乙得3 200＋80x＜3 600＋72x，解得x＜50，
答：当x＝50时，两个厂家费用相同；当10≤x＜50时，到甲厂家购买更划算；当x＞50时，到乙厂家购买更划算.
2.[2024春·天桥区期末]共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10千米的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y(元)与骑行时间x(分钟)之间的关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2.
(1)________是自变量；
(2)写出A品牌y1与x的关系式________________________；
(3)如果小明每天早上需要到距家9千米的工厂上班，且两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20千米/小时，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
(4)请直接写出两种收费相差2元时，x的值是________.
第2题图
解：(1)由题意可知，骑行时间x是自变量，
故答案为：骑行时间x；
(2)设A品牌的函数关系式为y1＝kx，
∵点(20，8)在该函数图象上，
∴8＝20k，
解得k＝，
∴y1＝x.
故答案为：y1＝x；
(3)小明从家到工厂的时间为
9÷20×60＝27(分钟)，
由图象可知，当x＞20时，y1＞y2，
∴小明选择B品牌更省钱；
(4)由题意可知，
当x＜20时，x＝6－2，
解得x＝10，
当x＞20时，设B品牌的函数关系式为y2＝kx＋b，
∵点(10，6)，(20，8)在该函数图象上，
∴
解得
∴y2＝0.2x＋4，
由题意可得x－2＝0.2x＋4，
解得x＝30，
综上所述：x值为10或者30.
故答案为：10或30.一元一次不等式与一次函数在实际中的应用
根据题意列出一元一次不等式解决问题的步骤：
1.“审题”：理清题目中的数量关系，把这些关系分解为 关系；
2.“列式”：列出函数关系式；
3.“转化”：依据题意，将列出的函数关系式转化为 ；
4.“解式”：解 ；
5.“检验”：选择符合题意的一元一次不等式的 .
利用一次函数与一元一次不等式解决实际问题，一般首先列出函数关系式，再根据题意列出不等式，进而通过解不等式解决问题.此时，除了考虑一次函数、一元一次不等式的知识外，还要使实际问题有意义，所以特别注意自变量的取值范围.
一元一次不等式与一次函数在实际中的应用
典例 某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为x时两种消费卡所需费用分别为y甲，y乙元，y甲，y乙与x的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算( )
典例图
A.甲种更合算 B.乙种更合算
C.两种一样合算 D.无法确定
变式 甲、乙两个书店举行了购书优惠活动.甲书店：所有书籍按标价7折出售；乙书店：所购图书标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元的部分打5折.设要购买图书的标价总额为x元，实际支付金额为y元.
(1)根据题意，填写表格：
在乙书店购买图书标价总额/元 60 80 90 100
在乙书店购买图书实际支付金额/元 60 85
(2)请直接写出在甲、乙书店购书，y1，y2与x的函数关系式；
(3)若只在一家书店购书，请通过计算说明在哪家购买更实惠.
1.[2024春·莱芜区期末]甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每把椅子80元.甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送两把椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价9折优惠.现某公司要购买5张办公桌和若干把椅子，若购买的椅子数为x把(x≥10).
(1)分别用含x的式子表示在甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额y甲，y乙；
(2)该公司选择哪一个厂家购买更划算？
2.[2024春·天桥区期末]共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10千米的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y(元)与骑行时间x(分钟)之间的关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2.
(1) 是自变量；
(2)写出A品牌y1与x的关系式 ；
(3)如果小明每天早上需要到距家9千米的工厂上班，且两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20千米/小时，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
(4)请直接写出两种收费相差2元时，x的值是 .
第2题图
