一元一次不等式组的相关概念
1.一元一次不等式组：一般地，关于 未知数的 一元一次不等式合在一起，就组成一个 .
2.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的解集.
3.解不等式组： 叫做解不等式组.
一元一次不等式组的解法
1.求出不等式组中 的解集.
2.求出它们的 ，利用 也可以直观地求出不等式组的解集.
不等式组的解集
不等式组 不等式组的解集 用数轴表示解集 口诀
(a＞b) x＞a 同大取大
(a>b) x＜b 同小取小
(a>b) b＜x＜a 大小小大取中间
(a>b) 无解 大大小小解不了
一元一次不等式组的解法
典例1 [2023·江苏]解不等式组把解集在数轴上表示出来，并写出整数解.
典例1图
变式 [2023·盐城二模]解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
利用一元一次不等式组的解集求字母的取值范围
典例2 [2023·遂宁]若关于x的不等式组的解集为x>3，则a的取值范围是( )
A.a>3 B.a<3
C.a≥3 D.a≤3
变式 [2023·黄石]若实数a使关于x的不等式组的解集为－11.若不等式组的解集是x>3，则m的取值范围是 .
2.解不等式组：
3.解不等式组：
4.解不等式组：一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解决实际问题的步骤：
(1)分析题意，找出 ；
(2)设未知数，列出 ；
(3)解不等式组；
(4)从不等式组的解集中找出符合题意的答案，并作答.
一般情况下，题意中的几个不等关系都要列出来，特别是隐含的不等关系(或限制条件)更要找出来.
由实际问题抽象出一元一次不等式组
典例1 某生物制药公司计划生产制造A，B两种疫苗共40万支，已知生产每支A疫苗需甲种原料8 mg，乙种原料5 mg；生产每支B疫苗需甲种原料4 mg，乙种原料9 mg.公司现有甲种原料4 kg，乙种原料3 kg，设计划生产A疫苗x支，下列符合题意的不等式组是( )
A.
B.
C.
D.
根据“生产每支A疫苗需甲种原料8 mg，乙种原料5 mg；生产每支B疫苗需甲种原料4 mg，乙种原料9 mg；公司现有甲种原料4 kg，乙种原料3 kg”可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题.
解析：由题意，得
变式 [2023春·达州期中]八年级某班级部分同学去植树，每个人都要植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到8棵.若设同学人数为x人，则下列各项能准确地求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A.8x＋7≤8＋9(x－1)
B.8x＋7≥9(x－1)
C.
D.
不等式组的实际应用
典例2 [2023·恩施州]为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装.经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同.
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17 000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
变式 [2023春·广安期末]武胜脐橙和邻水脐橙是农业农村部划定的长江上中游柑橘产业带之二，也是广安市的特色水果.某超市专门销售这两种特色脐橙.已知购进15 kg武胜脐橙和20 kg邻水脐橙需要430元；购进10 kg武胜脐橙和8 kg邻水脐橙需要212元.
(1)购进每千克武胜脐橙和邻水脐橙分别需要多少钱？
(2)若该超市决定每天购进这两种特色脐橙共100 kg，且购买资金不少于1 160元又不多于1 168元，设每天购进武胜脐橙x kg(x为正整数)，则该超市有哪几种购买方案？
1.[2024·宁波期中]“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3 600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元.求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组为( )
A.
B.
C.
D.
2.[2024·武威三模]暖暖花城攀枝花，不仅阳光充沛，特色水果更是闻名全国，某经销商计划购进A，B两种水果.已知购进A种水果2件，B种水果3件，共需690元；购进A种水果1件，B种水果4件，共需720元.
(1)A，B两种水果每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5 400元购进A，B两种水果共40件，且A种水果的件数不超过B种水果件数的3倍，共有多少种进货方案？如果该经销商将购进的水果按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？
3.[2024春·杭州期中]某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1 100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1 800元.
(1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？
(2)该茶叶店准备用不超过10 200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶叶店有哪几种采购方案？一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解决实际问题的步骤：
(1)分析题意，找出不等关系；
(2)设未知数，列出不等式组；
(3)解不等式组；
(4)从不等式组的解集中找出符合题意的答案，并作答.
一般情况下，题意中的几个不等关系都要列出来，特别是隐含的不等关系(或限制条件)更要找出来.
由实际问题抽象出一元一次不等式组
典例1 某生物制药公司计划生产制造A，B两种疫苗共40万支，已知生产每支A疫苗需甲种原料8 mg，乙种原料5 mg；生产每支B疫苗需甲种原料4 mg，乙种原料9 mg.公司现有甲种原料4 kg，乙种原料3 kg，设计划生产A疫苗x支，下列符合题意的不等式组是( C )
A.
B.
C.
D.
根据“生产每支A疫苗需甲种原料8 mg，乙种原料5 mg；生产每支B疫苗需甲种原料4 mg，乙种原料9 mg；公司现有甲种原料4 kg，乙种原料3 kg”可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题.
解析：由题意，得
变式 [2023春·达州期中]八年级某班级部分同学去植树，每个人都要植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到8棵.若设同学人数为x人，则下列各项能准确地求出同学人数与种植的树木的数量的是( C )
A.8x＋7≤8＋9(x－1)
B.8x＋7≥9(x－1)
C.
D.
不等式组的实际应用
典例2 [2023·恩施州]为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装.经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同.
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17 000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
(1)设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
(2)设参加活动的女生有a人，则男生有(150－a)人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可.
解：(1)设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意，得解得
答：男装单价为100元，女装单价为120元；
(2)设参加活动的女生有a人，则男生有(150－a)人，
根据题意，得
解得90≤a≤100，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，故一共有11种方案，
设总费用为w元，则w＝120a＋100(150－a)＝15 000＋20a，
∵20>0，
∴当a＝90时，w有最小值，最小值为15 000＋20×90＝16 800(元).
此时，男装套数为150－a＝60.
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16 800元.
变式 [2023春·广安期末]武胜脐橙和邻水脐橙是农业农村部划定的长江上中游柑橘产业带之二，也是广安市的特色水果.某超市专门销售这两种特色脐橙.已知购进15 kg武胜脐橙和20 kg邻水脐橙需要430元；购进10 kg武胜脐橙和8 kg邻水脐橙需要212元.
(1)购进每千克武胜脐橙和邻水脐橙分别需要多少钱？
(2)若该超市决定每天购进这两种特色脐橙共100 kg，且购买资金不少于1 160元又不多于1 168元，设每天购进武胜脐橙x kg(x为正整数)，则该超市有哪几种购买方案？
解：(1)设购进每千克武胜脐橙需要a元，购进每千克邻水脐橙需要b元.
依题意，得解得
答：购进每千克武胜脐橙需要10元，购进每千克邻水脐橙需要14元；
(2)依题意，每天购进邻水脐橙(100－x)kg，
则有
解得58≤x≤60.
又∵x为正整数，
∴x＝58，59或60，该超市共有3种购买方案：
方案一：每天购进58 kg武胜脐橙和42 kg邻水脐橙；
方案二：每天购进59 kg武胜脐橙和41 kg邻水脐橙；
方案三：每天购进60 kg武胜脐橙和40 kg邻水脐橙.
1.[2024·宁波期中]“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3 600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元.求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组为( C )
A.
B.
C.
D.
2.[2024·武威三模]暖暖花城攀枝花，不仅阳光充沛，特色水果更是闻名全国，某经销商计划购进A，B两种水果.已知购进A种水果2件，B种水果3件，共需690元；购进A种水果1件，B种水果4件，共需720元.
(1)A，B两种水果每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5 400元购进A，B两种水果共40件，且A种水果的件数不超过B种水果件数的3倍，共有多少种进货方案？如果该经销商将购进的水果按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？
解：(1)设A种水果每件的价格是x元，B种水果每件的价格是y元，
根据题意，得
解得
答：A种水果每件的价格是120元，B种水果每件的价格是150元；
(2)设A种水果有a件，则B水果有(40－a)件，
由题意可得
解得20≤a≤30，
∵a为正整数，
∴共有11种方案，
设获利w元，
∴w＝(160－120)a＋(200－150)(40－a)＝40a＋2 000－50a＝－10a＋2 000，
∵－10<0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝20时，获利最多，
∴购进A种水果20件，B种水果20件时，获利最多.
3.[2024春·杭州期中]某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1 100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1 800元.
(1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？
(2)该茶叶店准备用不超过10 200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶叶店有哪几种采购方案？
解：(1)设甲型号的茶叶每斤是x元，乙型号的茶叶每斤是y元，
由题意得
解得
答：甲型号的茶叶每斤是400元，乙型号的茶叶每斤是300元；
(2)设采购甲型号的茶叶a斤，则采购乙型号的茶叶(30－a)斤，
由题意得
解得10≤a≤12，
∵a为正整数，
∴a＝10，11，12，
∴该茶叶店有3种采购方案：
①采购甲型号的茶叶10斤，乙型号的茶叶20斤；
②采购甲型号的茶叶11斤，乙型号的茶叶19斤；
③采购甲型号的茶叶12斤，乙型号的茶叶18斤.一元一次不等式组的相关概念
1.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
2.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.
3.解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组.
一元一次不等式组的解法
1.求出不等式组中每个不等式的解集.
2.求出它们的公共部分，利用数轴也可以直观地求出不等式组的解集.
不等式组的解集
不等式组 不等式组的解集 用数轴表示解集 口诀
(a＞b) x＞a 同大取大
(a>b) x＜b 同小取小
(a>b) b＜x＜a 大小小大取中间
(a>b) 无解 大大小小解不了
一元一次不等式组的解法
典例1 [2023·江苏]解不等式组把解集在数轴上表示出来，并写出整数解.
典例1图
先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案.
解：
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x>－1，
故不等式组的解集为－1将解集在数轴上表示出来：
典例1图
它的整数解为0，1，2.
变式 [2023·盐城二模]解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
解：
解不等式①，得x>5，
解不等式②，得x>2，
因此，该不等式组的解集为x>5，
在数轴上表示为
变式图
利用一元一次不等式组的解集求字母的取值范围
典例2 [2023·遂宁]若关于x的不等式组的解集为x>3，则a的取值范围是( D )
A.a>3 B.a<3
C.a≥3 D.a≤3
分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是x>3求出a的取值范围即可.
解析：
解不等式①，得x>3，
解不等式②，得x>a，
∵关于x的不等式组的解集为x>3，
∴a≤3.
变式 [2023·黄石]若实数a使关于x的不等式组的解集为－11.若不等式组的解集是x>3，则m的取值范围是m≤3.
2.解不等式组：
解：
解不等式①，得x＞3，
解不等式②，得x≤5，
故不等式组的解集为3＜x≤5.
3.解不等式组：
解：
解不等式①，得x＜3，
解不等式②，得x≥－1，
则不等式组的解集为－1≤x＜3.
4.解不等式组：
解：
解不等式①，得x≥2，
解不等式②，得x＜4，
∴原不等式组的解集是2≤x＜4.
