平行四边形的概念
1.两组对边分别 的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个 连成的线段叫做它的对角线.
2.几何语言表述(如图所示)：
若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是 .
3.平行四边形的表示：如果四边形ABCD是平行四边形，那么记作“ ”(四个顶点A，B，C，D的书写顺序只有按顺时针或逆时针方向两种形式).
平行四边形的性质
1.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
2.平行四边形的对边 .若四边形ABCD是平行四边形，则AD∥ ，AD＝ ；AB∥ ，AB＝ .
3.平行四边形的对角 .若四边形ABCD是平行四边形，则∠A＝∠C，∠B＝ .
平行四边形边、角的性质
典例图
典例 [2022·内江]如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
变式图
变式 [2023·宿迁一模]如图，在 ABCD中，点E为BC边上一点，且AB＝AE，∠B＝65°，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为( )
A.25° B.40°
C.65° D.75°
1.[2024春·市中区期末]如图，在 ABCD中，CE⊥AB于点E，若∠D＝65°，则∠BCE＝( )
第1题图
A.65° B.35°
C.30° D.25°
2.[2024·济南二模]如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AD中点，延长BF交CD延长线于点E.证明：CD＝DE.
第2题图平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线互相平分.
如图，若四边形ABCD是平行四边形，则AO＝CO，BO＝DO.
(1)平行四边形有两条对角线；(2)连接平行四边形的对角线是常用的辅助线作法；(3)四边形具有不稳定性.
平行四边形的对角线互相平分
典例
典例图
[2022·广州]如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝22，则△BOC的周长为21.
根据平行四边形对角线互相平分，求出OC＋OB的长，即可解决问题.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，
BC＝AD＝10.
∵AC＋BD＝22，
∴OC＋BO＝11.
∵BC＝10，
∴△BOC的周长＝OC＋OB＋BC＝11＋10＝21.
本题考查平行四边形的对角线的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分.
变式 [2023春·新乡期末]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则OD的长为( A )
变式图
A. B.6
C.7 D.
1.平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长度可以是( C )
A.8和12 B.4和16
C.20和30 D.8和6
2.[2024春·武威期末]如图，在平行四边形ABCD中，∠BDA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD＝( A )
第2题图
A.4 B.5
C.6 D.8
3.[2024春·北海期末]如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF.求证：△ABE≌△CDF.
第3题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OE＝OB，DF＝OF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS).平行四边形的概念
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.
2.几何语言表述(如图所示)：
若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形.
3.平行四边形的表示：如果四边形ABCD是平行四边形，那么记作“ ABCD”(四个顶点A，B，C，D的书写顺序只有按顺时针或逆时针方向两种形式).
平行四边形的性质
1.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
2.平行四边形的对边相等.若四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，AD＝BC；AB∥CD，AB＝CD.
3.平行四边形的对角相等.若四边形ABCD是平行四边形，则∠A＝∠C，∠B＝∠D.
平行四边形边、角的性质
典例图
典例 [2022·内江]如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为( B )
A.2 B.4
C.6 D.8
根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等角对等边即可得MC＝BC＝8，进而可求解.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD.
∴∠ABM＝∠CMB.
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM.
∴∠CBM＝∠CMB.
∴MC＝BC＝8.
∴DM＝CD－MC＝12－8＝4.
变式图
变式 [2023·宿迁一模]如图，在 ABCD中，点E为BC边上一点，且AB＝AE，∠B＝65°，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为( D )
A.25° B.40°
C.65° D.75°
1.[2024春·市中区期末]如图，在 ABCD中，CE⊥AB于点E，若∠D＝65°，则∠BCE＝( D )
第1题图
A.65° B.35°
C.30° D.25°
2.[2024·济南二模]如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AD中点，延长BF交CD延长线于点E.证明：CD＝DE.
第2题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠EDF，∠ABF＝∠DEF，
∵F是AD中点，
∴AF＝DF，
在△ABF和△DEF中，
∴△ABF≌△DEF(AAS)，
∴AB＝DE.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴CD＝DE.平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线 .
如图，若四边形ABCD是平行四边形，则AO＝ ，BO＝ .
(1)平行四边形有两条对角线；(2)连接平行四边形的对角线是常用的辅助线作法；(3)四边形具有不稳定性.
平行四边形的对角线互相平分
典例
典例图
[2022·广州]如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝22，则△BOC的周长为 .
变式 [2023春·新乡期末]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则OD的长为( )
变式图
A. B.6
C.7 D.
1.平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长度可以是( )
A.8和12 B.4和16
C.20和30 D.8和6
2.[2024春·武威期末]如图，在平行四边形ABCD中，∠BDA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD＝( )
第2题图
A.4 B.5
C.6 D.8
3.[2024春·北海期末]如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF.求证：△ABE≌△CDF.
第3题图
列清单划重点
知识点
A
D
O
B
C
明烤点识分法
A
D
O
B
C
A
B
0
D
C
当堂侧+夯基础
D
C
O
A
B
A
D
O
F
E
B
C
