平行四边形的判定定理
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
典例1 [2022·株洲]如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE.
典例1图
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形.
(1)根据SAS证明△AEF≌△DEC；
(2)由△AEF≌△DEC，得∠AFE＝∠DCE，推出AB∥DC，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明结论.
证明：(1)∵∠AEF与∠DEC是对顶角，
∴∠AEF＝∠DEC.
在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(SAS)；
(2)由(1)知△AEF≌△DEC，
∴∠AFE＝∠DCE，∴AF∥DC.
∵点F在BA的延长线上，
∴AB∥DC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
变式 [2023·宁夏]如图，已知EF∥AC，点B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形.
变式图
证明：∵EF∥AC，
∴∠EDC＋∠C＝180°，
又∵∠EDC＝∠CBE，
∴∠CBE＋∠C＝180°，
∴EB∥DC，
∵DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
典例2 [2024春·淅川县期末]如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，使得AB＝10 cm，AD＝6 cm，分别以点B，D为圆心，作BC＝6 cm，CD＝10 cm相交于点C，连接CD，BC，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.
典例2图
由题意得AB＝CD，AD＝BC，即可得出结论.
解：四边形ABCD是平行四边形，理由：
∵AB＝10 cm，AD＝6 cm，BC＝6 cm，CD＝10 cm，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
变式 [2023春·岳阳楼区期中]如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
变式图
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，
∴AB＝CD，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
典例3 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.下列选项中错误的是( B )
典例3图
A.BC∥AD B.BC＝AD
C.AB＝CD D.∠A＋∠B＝180°
根据平行四边形的定义及判定定理得出即可.
解析：A.∵AB∥CD，BC∥AD，∴根据平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得A不符合题意；B.添加条件AD＝BC不能使四边形ABCD是平行四边形，故B符合题意；C.∵AB∥CD，AB＝CD，∴根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得C不符合题意；D.∵∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC.∵AB∥CD，∴根据平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得D不符合题意.
变式 [2023·广安]如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形.
变式图
证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵AF＝CE，AE＝AF－EF，CF＝CE－EF，
∴AE＝CF，
又∵∠BAC＝∠DCA，
∴△AEB≌△CFD(ASA)，
∴AB＝CD，
∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
1.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( C )
A.AB＝CD，AD＝BC
B.AB∥CD，AB＝CD
C.AB＝CD，AD∥BC
D.AB∥CD，AD∥BC
2.[2024春·秦淮区期中]一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是( D )
A.88°，108°，88°
B.88°，104°，108°
C.88°，92°，92°
D.88°，92°，88°
3.已知：如图，AD∥BC，E为AF的中点，C为BF的中点.求证：四边形ABCD是平行四边形.
第3题图
证明：∵E为AF中点，
∴AE＝EF，
又∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AD＝CF，
又∵C为BF中点，
∴BC＝CF，
∴AD＝CB，
又∵AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形.平行四边形的判定定理
1.两组对边 的四边形是平行四边形.
2.一组对边 的四边形是平行四边形.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
典例1 [2022·株洲]如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE.
典例1图
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形.
∴四边形ABCD为平行四边形.
变式 [2023·宁夏]如图，已知EF∥AC，点B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形.
变式图
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
典例2 [2024春·淅川县期末]如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，使得AB＝10 cm，AD＝6 cm，分别以点B，D为圆心，作BC＝6 cm，CD＝10 cm相交于点C，连接CD，BC，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.
典例2图
变式 [2023春·岳阳楼区期中]如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
典例3 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.下列选项中错误的是( )
典例3图
A.BC∥AD B.BC＝AD
C.AB＝CD D.∠A＋∠B＝180°
变式 [2023·广安]如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形.
变式图
1.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB＝CD，AD＝BC
B.AB∥CD，AB＝CD
C.AB＝CD，AD∥BC
D.AB∥CD，AD∥BC
2.[2024春·秦淮区期中]一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是( )
A.88°，108°，88°
B.88°，104°，108°
C.88°，92°，92°
D.88°，92°，88°
3.已知：如图，AD∥BC，E为AF的中点，C为BF的中点.求证：四边形ABCD是平行四边形.
第3题图平行四边形的判定方法
对角线 的四边形是平行四边形.
平行线之间的距离
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都 ，这个距离称为平行线之间的距离.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
典例1 如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：四边形DEBF是平行四边形.
典例1图
连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，得OB＝OD，OA＝OC，再由AE＝CF和等式性质，得OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明.
变式 [2023春·定边县期末]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB＝OD，∠BAC＝∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形.
变式图
平行线之间的距离
典例2 [铜仁中考]已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，则a与c的距离是( )
A.3 cm B.7 cm
C.3 cm或7 cm D.以上都不对
变式 [六盘水中考]如图，已知l1∥l2 ，点C1在l1上，并且C1A⊥l2 ，点A为垂足，点C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上.设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由.
变式图
平行四边形判定的应用
典例3 如图在10×10的正方形网格中，△ABC 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；
(2)若网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为(0，0)，(－1，1).
典例3图
请你在图中找出点D，使以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D点的坐标.
变式 [2022·宁夏]如图，是边长为1的小正方形组成的8×8方格，线段AB的端点在格点上.建立平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为(2，1)和(－1，3).
变式图
(1)画出该平面直角坐标系xOy；
(2)画出线段AB关于原点O成中心对称的线段A1B1；
(3)画出以点A，B，O为其中三个顶点的平行四边形.(画出一个即可)
1.[2024春·江北区期中]已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
①再加上条件“BC＝AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形
②再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形
③再加上条件“AO＝CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形
④再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形
A.①和② B.①③和④
C.②和③ D.②③和④
2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A(1，0)，B(－1，3)，C(－2，－1)，再找一点D，使它与点A，B，C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是( )
第2题图
A.(－3，2) B.(－4，2)
C.(0，－4) D.(2，4)
3.[2023春·竞秀区期末]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
第3题图平行四边形的判定方法
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行线之间的距离
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
典例1 如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：四边形DEBF是平行四边形.
典例1图
连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，得OB＝OD，OA＝OC，再由AE＝CF和等式性质，得OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明.
证明：连接BD，交AC于点O，
典例1图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，
∴OE＝OF.
又∵OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形.
变式 [2023春·定边县期末]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB＝OD，∠BAC＝∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形.
变式图
证明：在△AOB与△COD中，
∴△AOB≌△COD(AAS)，
∴OA＝OC，
又∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行线之间的距离
典例2 [铜仁中考]已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，则a与c的距离是( C )
A.3 cm B.7 cm
C.3 cm或7 cm D.以上都不对
因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a，b外，②直线c在直线a，b之间两种情况讨论求解.
解析：如图，①直线c在a，b外时，∵a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，∴a与c的距离为5＋2＝7(cm)；
典例2图
②直线c在直线a，b之间时，∵a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，∴a与c的距离为5－2＝3(cm).
综上所述，a与c的距离为3 cm或7 cm.
变式 [六盘水中考]如图，已知l1∥l2 ，点C1在l1上，并且C1A⊥l2 ，点A为垂足，点C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上.设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由.
变式图
解：∵直线l1∥l2，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形的面积相等.
即S1＝S2＝S3.
平行四边形判定的应用
典例3 如图在10×10的正方形网格中，△ABC 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；
(2)若网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为(0，0)，(－1，1).
典例3图
请你在图中找出点D，使以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D点的坐标.
(1)先利用勾股定理可分别求得AC，BC，AB的长，再利用勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形；
(2)分别过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，这些线的交点即为满足条件的点D.
解：(1)∵小正方形的边长为1，
∴AC＝＝，BC＝＝3 ，AB＝＝2 .
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形；
(2)∵A，C的坐标分别为(0，0)，(－1，1)，
∴点A为坐标原点.
如图，分别过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，三条线两两相交于点D1，D2，D3.
典例3图
∴满足条件的点D的坐标为(3，3)或(1，5)或(－3，－3).
本题主要考查平行四边形的判定和勾股定理.确定点D的位置是解题的关键.
变式 [2022·宁夏]如图，是边长为1的小正方形组成的8×8方格，线段AB的端点在格点上.建立平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为(2，1)和(－1，3).
变式图
(1)画出该平面直角坐标系xOy；
(2)画出线段AB关于原点O成中心对称的线段A1B1；
(3)画出以点A，B，O为其中三个顶点的平行四边形.(画出一个即可)
解：(1)如图，平面直角坐标系xOy即为所求作；
变式图
(2)如图，线段A1B1即为所求作；
(3)(示例)如图，平行四边形AOBD即为所求作.
1.[2024春·江北区期中]已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是( C )
①再加上条件“BC＝AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形
②再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形
③再加上条件“AO＝CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形
④再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形
A.①和② B.①③和④
C.②和③ D.②③和④
2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A(1，0)，B(－1，3)，C(－2，－1)，再找一点D，使它与点A，B，C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是( A )
第2题图
A.(－3，2) B.(－4，2)
C.(0，－4) D.(2，4)
3.[2023春·竞秀区期末]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
第3题图
证明：∵点O是AC中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵DF∥BE，
∴∠OEB＝∠OFD，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴OD＝OB，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
