三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
图1
如图1，若点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，则DE，DF，EF是△ABC的中位线.
(1)每个三角形都有三条中位线，且每条中位线均是一条线段.(2)知道了三角形的一条中位线也就等于知道了三角形两条边的中点.
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于
第三边，且等于
第三边的一半.
如图2，若DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，DE＝BC.
图2
三角形中位线定理：(1)可以证明两条直线平行；(2)可以证明线段的倍分关系.
中点四边形
定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.
图3
如图3，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H.(1)四边形EFGH是平行四边形；(2)四边形EFGH的周长与原四边形对角线的长度之和相同；(3)四边形EFGH的面积等于原四边形面积的一半.
三角形中位线定理
典例1 [2023·盐城]在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10 cm，则DE的长为5cm.
由于点D，E分别为AB，AC边上的中点，那么DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可求DE.
变式 [2023·泸州]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，点E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为( A )
变式图
A.1 B.2
C.3 D.4
中点四边形
典例2 如图，四边形ABCD各边的中点分别是点E，F，G，H，若对角线AC，BD的长分别为9 cm和7 cm，则四边形EFGH的周长为( A )
典例2图
A.16 cm B.32 cm
C.24 cm D.18 cm
利用三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长都等于AC或BD的一半，进而求四边形EFGH周长即可.
变式 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝2 ，则四边形EGFH的周长是4.
变式图
1.[2024·永善县一模]如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E，F分别是AC，AD的中点，连接EF，已知BC＝12，则EF的长为( A )
第1题图
A.3 B.4
C.5 D.6
2.[2024·汕头期中]如图，已知P，R分别是长方形ABCD的边BC，CD上的点，E，F分别是PA，PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是( A )
第2题图
A.线段EF的长不变
B.线段EF的长逐渐变小
C.线段EF的长逐渐增大
D.无法确定
第3题图
3.如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘A，B两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点O，然后取线段OA，OB的中点D，E，测量出DE＝10 m，于是可以计算出池塘A，B两点间的距离是( B )
A.10 m B.20 m C.30 m D.40 m
4.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是各边的中点.甲说：若四边形ABCD是平行四边形，则四边形EFGH也是平行四边形；乙说：若四边形EFGH是平行四边形，则四边形ABCD也是平行四边形.下列说法正确的是( B )
第4题图
A.甲、乙都正确 B.甲正确，乙错误
C.甲错误，乙正确 D.甲、乙都错误
5.[2023秋·株洲期末]如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为2.
第5题图
6.[2023·商河县二模]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16 cm，则△DOE的周长是8cm.
第6题图三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做 .
图1
如图1，若点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，则DE，DF，EF是△ABC的中位线.
(1)每个三角形都有三条中位线，且每条中位线均是一条线段.(2)知道了三角形的一条中位线也就等于知道了三角形两条边的中点.
三角形中位线定理
三角形的中位线 于
第三边，且等于 .
如图2，若DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，DE＝BC.
图2
三角形中位线定理：(1)可以证明两条直线平行；(2)可以证明线段的倍分关系.
中点四边形
定义：顺次连接 叫做中点四边形.
图3
如图3，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H.(1)四边形EFGH是平行四边形；(2)四边形EFGH的周长与原四边形对角线的长度之和相同；(3)四边形EFGH的面积等于原四边形面积的一半.
三角形中位线定理
典例1 [2023·盐城]在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10 cm，则DE的长为 cm.
由于点D，E分别为AB，AC边上的中点，那么DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可求DE.
变式 [2023·泸州]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，点E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为( )
变式图
A.1 B.2
C.3 D.4
中点四边形
典例2 如图，四边形ABCD各边的中点分别是点E，F，G，H，若对角线AC，BD的长分别为9 cm和7 cm，则四边形EFGH的周长为( )
典例2图
A.16 cm B.32 cm
C.24 cm D.18 cm
变式 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝2 ，则四边形EGFH的周长是 .
变式图
1.[2024·永善县一模]如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E，F分别是AC，AD的中点，连接EF，已知BC＝12，则EF的长为( )
第1题图
A.3 B.4
C.5 D.6
2.[2024·汕头期中]如图，已知P，R分别是长方形ABCD的边BC，CD上的点，E，F分别是PA，PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是( )
第2题图
A.线段EF的长不变
B.线段EF的长逐渐变小
C.线段EF的长逐渐增大
D.无法确定
第3题图
3.如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘A，B两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点O，然后取线段OA，OB的中点D，E，测量出DE＝10 m，于是可以计算出池塘A，B两点间的距离是( )
A.10 m B.20 m C.30 m D.40 m
4.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是各边的中点.甲说：若四边形ABCD是平行四边形，则四边形EFGH也是平行四边形；乙说：若四边形EFGH是平行四边形，则四边形ABCD也是平行四边形.下列说法正确的是( )
第4题图
A.甲、乙都正确 B.甲正确，乙错误
C.甲错误，乙正确 D.甲、乙都错误
5.[2023秋·株洲期末]如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为 .
第5题图
6.[2023·商河县二模]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16 cm，则△DOE的周长是 cm.
第6题图
