多边形、正多边形的概念
1.在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.
2.在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形.
多边形的内角和
1.在n边形内取一点O，连接点O与各顶点的线段把n边形分成n个三角形，n边形的内角和等于n个三角形的内角和n·180°减去以O为公共顶点的n个角之和360°，即n·180°－360°＝(n－2)·180°.
2.过n边形一个顶点作对角线，共(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形，n边形的内角和恰好等于(n－2)个三角形的内角和(n－2)·180°.
3.在n边形一边上任取一点P，连接点P与各个顶点，把n边形分成(n－1)个三角形.n边形的内角和等于(n－1)个三角形的内角和减去点P处的一个平角，即(n－1)·180°－180°＝(n－2)·180°.
以上三种方法都是将多边形问题转化成三角形问题来解决，体现了转化的思想.
多边形外角和
1.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
2.多边形的外角和都等于360°.
外角和定理的作用：(1)已知外角度数求正多边形的边数；(2)已知正多边形边数求外角度数.
多边形的内角和
典例1 [2023·重庆]若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为800°.
根据多边形的内角和公式180°·(n－2)即可求解.
解析：∵七边形的内角中有一个角为100°，
∴其余六个内角之和为180°×(7－2)－100°＝800°.
变式 [2023·重庆]如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为36°.
变式图
多边形的外角和
典例2 [2023·兰州]如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝( A )
典例2图
A.45° B.60°
C.110° D.135°
由正八边形的外角和为360°，结合正八边形的每一个外角都相等，列式计算即可.
解析：∵正八边形的外角和为360°，
∴∠1＝＝45°.
变式 [2023春·成都期末]如果一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，那么这个多边形是( D )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
1.若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是( B )
A.540° B.720°
C.900° D.1 080°
2.[2024·巧家县模拟]一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数是( C )
A.10 B.11
C.12 D.13
3.已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为8.
第4题图
4.如图，已知AB是正六边形ABCDEG与正五边形ABGHI的公共边，连接FJ，则∠AFI的度数为84°.
5.[2024·潼南区二模]一个正多边形的一个内角与一个外角的差是90°，则这个多边形的内角和为1_080°.
6.[2024·德州期中]已知一个多边形的内角和与外角和相加等于2 160°，
(1)求这个多边形的边数及对角线的条数；
(2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是________.
解：(1)设这个多边形的边数为n，
(n－2)×180°＝2 160°－360°，
解得n＝12；
∴对角线的条数为：＝54；
所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54；
(2)因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三种情况：
当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为12＋1＝13，
∴内角和＝(13－2)×180°＝1 980°；
当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12，
内角和＝(12－2)×180°＝1 800°；
当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为12－1＝11，
内角和＝(11－2)×180°＝1 620°；
综上所述：当新多边形有13条边时内角和为1 980°，12条边时内角和为1 800°，11条边时内角和为1 620°.
故答案为：1 980°或1 800°或1 620°.多边形、正多边形的概念
1.在平面内，由若干条不在同一条 上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.
2.在平面内，内角都 ，边也都 的多边形叫做正多边形.
多边形的内角和
1.在n边形内取一点O，连接点O与各顶点的线段把n边形分成n个三角形，n边形的内角和等于n个三角形的内角和n·180°减去以O为公共顶点的n个角之和360°，即n·180°－360°＝(n－2)·180°.
2.过n边形一个顶点作对角线，共(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形，n边形的内角和恰好等于(n－2)个三角形的内角和(n－2)·180°.
3.在n边形一边上任取一点P，连接点P与各个顶点，把n边形分成(n－1)个三角形.n边形的内角和等于(n－1)个三角形的内角和减去点P处的一个平角，即(n－1)·180°－180°＝(n－2)·180°.
以上三种方法都是将多边形问题转化成三角形问题来解决，体现了转化的思想.
多边形外角和
1.多边形内角的一边与另一边的 所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
2.多边形的外角和都等于 .
外角和定理的作用：(1)已知外角度数求正多边形的边数；(2)已知正多边形边数求外角度数.
多边形的内角和
典例1 [2023·重庆]若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 .
变式 [2023·重庆]如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为 .
变式图
多边形的外角和
典例2 [2023·兰州]如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝( )
典例2图
A.45° B.60°
C.110° D.135°
变式 [2023春·成都期末]如果一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，那么这个多边形是( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
1.若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是( )
A.540° B.720°
C.900° D.1 080°
2.[2024·巧家县模拟]一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数是( )
A.10 B.11
C.12 D.13
3.已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 .
第4题图
4.如图，已知AB是正六边形ABCDEG与正五边形ABGHI的公共边，连接FJ，则∠AFI的度数为 .
5.[2024·潼南区二模]一个正多边形的一个内角与一个外角的差是90°，则这个多边形的内角和为 _ .
6.[2024·德州期中]已知一个多边形的内角和与外角和相加等于2 160°，
(1)求这个多边形的边数及对角线的条数；
(2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是 .
