图形的坐标变化与平移的关系
图形上的各点的横、纵坐标分别增加或减少时，图形在原位置上进行了平移，其形状、大小不变，只是位置改变了.平移规律如下：
点的坐标变化 k>0 k<0
纵坐标保持不变，横坐标分别加k 向右平移k个单位长度 向左平移|k|个单位长度
横坐标保持不变，纵坐标分别加k 向上平移k个单位长度 向下平移|k|个单位长度
在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都会发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
图形的平移变换
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.
在平面直角坐标系中，若图形沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度，沿y轴方向平移b(b>0)个单位长度，则图形平移的距离为，平移的方向为原图形的点到平移后图形的对应点的方向.
确定一个图形平移后的位置需要满足的条件
要确定一个图形平移后的位置需要满足三个条件：(1)图形原来的位置；(2)平移的方向；(3)平移的距离.
若上述三个条件同时存在，则平移后的图形的位置被唯一确定，就是说只能作出一个平移后的图形，若三个条件缺少一个并不是无法作出平移后的图形，而是可以作出无数个平移后的图形.
平移与坐标变换及有关计算
典例1 [2023春·呼伦贝尔期末]点P(－5，4)向右平移4个单位，再向下平移4个单位，点P的对应点P′的坐标是( C )
A.(－1，8) B.(－9，8)
C.(－1，0) D.(－9，0)
根据向右移动，横坐标加，纵坐标不变；向下移动，横坐标不变，纵坐标减，即可得到点P的对应点P′的坐标.
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.记清此规律是解决此类问题的关键.
变式 如图，设△A′B′C′是△ABC经过平移得到的，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－1)，B(－5，－4)，C(－1，－3)，△ABC中任意一点P(x1，y1)平移后的对应点为P′(x1＋6，y1＋4).
(1)请写出△ABC平移的过程；
(2)写出点A′，C′的坐标；
(3)求△A′B′C′的面积.
变式图
解：(1)∵△ABC中任意一点P(x1，y1)平移后的对应点为P′(x1＋6，y1＋4)，
∴平移后对应点的横坐标加6，纵坐标加4，
∴△ABC先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到△A′B′C′或△ABC先向上平移4个单位，再向右平移6个单位得到△A′B′C′；
(2)由(1)可知，A′(2，3)，C′(5，1)；
(3)S△A′B′C′＝S△ABC＝3×4－×1×3－×1×4－×2×3＝5.5.
平移在实际问题中的应用
典例2 某酒店为举办一场新人的婚礼，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米40元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需要640元.
典例2图
根据题意，结合图形，先把楼梯台阶的水平面和铅垂面分别向下向左平移，再展开，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求.
解析：楼梯表面可展开为一个长方形，
地毯长为5＋3＝8(米)，宽为2米，
∴地毯的面积为8×2＝16 (平方米)，
∴买地毯至少需要40×16＝640 (元).
本题考查平移性质的实际运用.解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算.
变式 如图1，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)，在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分).(设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b)
变式图
(1)在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；
(2)请你分别写出
图1，图2，
图3中除去阴影部分后剩余部分的面积：
S1＝________，S2＝________，S3＝________；
(3)如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位)，请你求出空白部分表示的草地面积是多少？
(4)如图5，若在图4中的草地又有一条横向的弯曲小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位)，请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？
解：(1)如图所示(答案不唯一)：
变式图
(2)ab－b，ab－b，ab－b；
(3)∵小路任何地方的水平宽度都是2个单位，
∴空白部分表示的草地面积是(a－2)b；
(4)∵横向小路任何地方的宽度都是1个单位，
∴空白部分表示的草地面积是(a－2)(b－1).
1.[2024·台儿庄]如图，已知点A(2，3)，B(5，1)，若将线段AB平移至A1B1，A1在y轴正半轴上，B1在x轴上，则A1的纵坐标，B1的横坐标分别为( A )
第1题图
A.2，3 B.1，4
C.2，2 D.1，3
2.在直角坐标系中，点P(－2，3)向右平移3个单位长度后的坐标为( B )
A.(－2，6) B.(1，3)
C.(1，6) D.(－5，3)
3.如图，点A，B的坐标分别为(1，2)，(4，0)，将三角形沿x轴向右平移，得到三角形CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为( D )
第3题图
A.(2，2) B.(4，3)
C.(3，2) D.(4，2)
4.点A(3，2)向右平移2个单位长度得到A′，则A′的坐标为(5，2).
5.A，B两点的坐标分别为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，点A1，B1的坐标分别为(－2，a)，(b，3)，求a＋b.
解：由题意可得线段AB向左平移3个单位，向上平移1个单位，
∵A，B两点的坐标分别为(1，0)，(0，2)，
∴点A1，B1的坐标分别为(－2，1)，(－3，3)，
∴a＝1，
b＝－3.
∴a＋b＝－2.图形的坐标变化与平移的关系
图形上的各点的横、纵坐标分别增加或减少时，图形在原位置上进行了平移，其形状、大小不变，只是位置改变了.平移规律如下：
点的坐标变化 k>0 k<0
纵坐标保持不变，横坐标分别加k 向右平移k个单位长度 向左平移|k|个单位长度
横坐标保持不变，纵坐标分别加k 向上平移k个单位长度 向下平移|k|个单位长度
在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都会发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
图形的平移变换
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.
在平面直角坐标系中，若图形沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度，沿y轴方向平移b(b>0)个单位长度，则图形平移的距离为，平移的方向为原图形的点到平移后图形的对应点的方向.
确定一个图形平移后的位置需要满足的条件
要确定一个图形平移后的位置需要满足三个条件：(1)图形原来的位置；(2)平移的方向；(3)平移的距离.
若上述三个条件同时存在，则平移后的图形的位置被唯一确定，就是说只能作出一个平移后的图形，若三个条件缺少一个并不是无法作出平移后的图形，而是可以作出无数个平移后的图形.
平移与坐标变换及有关计算
典例1 [2023春·呼伦贝尔期末]点P(－5，4)向右平移4个单位，再向下平移4个单位，点P的对应点P′的坐标是( )
A.(－1，8) B.(－9，8)
C.(－1，0) D.(－9，0)
变式 如图，设△A′B′C′是△ABC经过平移得到的，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－1)，B(－5，－4)，C(－1，－3)，△ABC中任意一点P(x1，y1)平移后的对应点为P′(x1＋6，y1＋4).
(1)请写出△ABC平移的过程；
(2)写出点A′，C′的坐标；
(3)求△A′B′C′的面积.
变式图
平移在实际问题中的应用
典例2 某酒店为举办一场新人的婚礼，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米40元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需要 元.
典例2图
变式 如图1，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)，在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分).(设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b)
变式图
(1)在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；
(2)请你分别写出
图1，图2，
图3中除去阴影部分后剩余部分的面积：
S1＝ ，S2＝ ，S3＝ ；
(3)如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位)，请你求出空白部分表示的草地面积是多少？
(4)如图5，若在图4中的草地又有一条横向的弯曲小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位)，请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？
1.[2024·台儿庄]如图，已知点A(2，3)，B(5，1)，若将线段AB平移至A1B1，A1在y轴正半轴上，B1在x轴上，则A1的纵坐标，B1的横坐标分别为( )
第1题图
A.2，3 B.1，4
C.2，2 D.1，3
2.在直角坐标系中，点P(－2，3)向右平移3个单位长度后的坐标为( )
A.(－2，6) B.(1，3)
C.(1，6) D.(－5，3)
3.如图，点A，B的坐标分别为(1，2)，(4，0)，将三角形沿x轴向右平移，得到三角形CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为( )
第3题图
A.(2，2) B.(4，3)
C.(3，2) D.(4，2)
4.点A(3，2)向右平移2个单位长度得到A′，则A′的坐标为 .
5.A，B两点的坐标分别为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，点A1，B1的坐标分别为(－2，a)，(b，3)，求a＋b.平移的概念
在平面内，将一个图形沿某个 移动一定的 ，这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的 和
(1)平移的两个基本元素：平移方向、平移距离；(2)平移不改变图形的形状和大小.
平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段 (或在一条直线上)且 ，对应线段 (或在一条直线上)且 ，对应角 .
对于平移问题，一定要画图，通过看具体图形来判断对应点、对应点所连的线段、对应线段、对应角.
平移作图的步骤和方法
1.找出平移的方向和平移的距离；
2.找出构成图形的关键点；
3.沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点；
4.连接所作的各个关键点，并标上相应字母；
5.写出结论(方格纸作图可以略写结论).
画一个平移后的图形通常是通过确定关键点来画平移后的图形.
平移的概念
典例1
典例1图
[2023春·赤峰期末]脸谱，是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术.下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是( )
根据平移的性质判断即可.
解析：由平移的性质可知，D选项中的图形可由如图所示的脸谱平移得到.
变式 下列现象中，属于平移的是( )
A.在荡秋千的小朋友
B.湖面上随波摇摆的树叶
C.“天宫一号”绕着地球运动
D.水平传送带上的物体
平移的性质
典例2图
典例2 [2023春·合肥期末]如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4 cm，把三角形ABC沿着直线BC向右平移2.5 cm后得到三角形DEF，有以下结论：①AC∥DF ②AD∥CF ③CF＝2.5 cm ④DE⊥AC.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
变式 [2023春·温州期中]小温同学在美术课上将△ABC通过平移设计得到“一棵树”，已知底边AB上的高CD为5 cm，沿CD方向向下平移3 cm到△A1B1C1的位置，再经过相同的平移到△A2B2C2的位置，下方树干EF长为6 cm，则树的高度CF长为( )
变式图
A.19 cm B.17 cm
C.15 cm D.11 cm
简单的平移作图
典例3 在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.利用网格点和三角板画图或计算：
典例3图
(1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
(2)图中AC与A′C′的关系是：
；
(3)△A′B′C′的面积为 .
变式 [2023春·宿迁期中]如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.
变式图
(1)画出△A′B′C′；
(2)连接AA′，CC′，那么AA′与CC′的关系是 ；
(3)求线段AC扫过的图形的面积.
1.[2024春·恩施市期中]如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是( )
第1题图
A.2 B.2.5
C.3 D.5
2.将长度为5 cm的线段向上平移10 cm后，所得线段的长度是( )
A.10 cm B.5 cm
C.0 cm D.无法确定
3.下列哪些图形是可以通过平移得到的( )
4.[2023·南关区一模]如图，∠ACB＝90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5 cm，得△A′B′C′，若BC＝3 cm，AC＝4 cm，则阴影部分的周长为 _ .
第4题图
5.[2024秋·泗水县期末]如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，求四边形ABFD的周长.
第5题图平移的概念
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.
(1)平移的两个基本元素：平移方向、平移距离；(2)平移不改变图形的形状和大小.
平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等.
对于平移问题，一定要画图，通过看具体图形来判断对应点、对应点所连的线段、对应线段、对应角.
平移作图的步骤和方法
1.找出平移的方向和平移的距离；
2.找出构成图形的关键点；
3.沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点；
4.连接所作的各个关键点，并标上相应字母；
5.写出结论(方格纸作图可以略写结论).
画一个平移后的图形通常是通过确定关键点来画平移后的图形.
平移的概念
典例1
典例1图
[2023春·赤峰期末]脸谱，是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术.下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是( D )
根据平移的性质判断即可.
解析：由平移的性质可知，D选项中的图形可由如图所示的脸谱平移得到.
变式 下列现象中，属于平移的是( D )
A.在荡秋千的小朋友
B.湖面上随波摇摆的树叶
C.“天宫一号”绕着地球运动
D.水平传送带上的物体
平移的性质
典例2图
典例2 [2023春·合肥期末]如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4 cm，把三角形ABC沿着直线BC向右平移2.5 cm后得到三角形DEF，有以下结论：①AC∥DF ②AD∥CF ③CF＝2.5 cm ④DE⊥AC.其中正确的结论有( D )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5 cm后得到△DEF，∴AC∥DF，故①正确；∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5 cm后得到△DEF，∴AD∥CF，故②正确；∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5 cm后得到△DEF，∴点C与其对应点F的连线CF＝2.5 cm，故③正确；∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5 cm后得到△DEF，∴AB∥DE，∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，∴DE⊥AC，故④正确.
变式 [2023春·温州期中]小温同学在美术课上将△ABC通过平移设计得到“一棵树”，已知底边AB上的高CD为5 cm，沿CD方向向下平移3 cm到△A1B1C1的位置，再经过相同的平移到△A2B2C2的位置，下方树干EF长为6 cm，则树的高度CF长为( B )
变式图
A.19 cm B.17 cm
C.15 cm D.11 cm
简单的平移作图
典例3 在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.利用网格点和三角板画图或计算：
典例3图
(1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
(2)图中AC与A′C′的关系是：________
________________；
(3)△A′B′C′的面积为________.
(1)根据平移的性质作出△A′B′C′即可；(2)根据平移性质：对应线段平行(或共线)且相等解答即可；(3)根据三角形的面积公式求解即可.
解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
典例3图
(2)由图可知，AC∥A′C′，AC＝A′C′，
故答案为：AC∥A′C′，AC＝A′C′；
(3)S△A′B′C′＝S△ABC＝×4×4＝8，故答案为：8.
变式 [2023春·宿迁期中]如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.
变式图
(1)画出△A′B′C′；
(2)连接AA′，CC′，那么AA′与CC′的关系是________________________；
(3)求线段AC扫过的图形的面积.
解：(1)△A′B′C′如图所示：
变式图
(2)根据平移的性质，得AA′与CC′的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
(3)线段AC扫过的图形的面积即为四边形ACC′A′的面积，
四边形ACC′A′的面积＝10×2－×1×4×2－×1×6×2＝10.
1.[2024春·恩施市期中]如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是( A )
第1题图
A.2 B.2.5
C.3 D.5
2.将长度为5 cm的线段向上平移10 cm后，所得线段的长度是( B )
A.10 cm B.5 cm
C.0 cm D.无法确定
3.下列哪些图形是可以通过平移得到的( B )
4.[2023·南关区一模]如图，∠ACB＝90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5 cm，得△A′B′C′，若BC＝3 cm，AC＝4 cm，则阴影部分的周长为16_cm.
第4题图
5.[2024秋·泗水县期末]如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，求四边形ABFD的周长.
第5题图
解：由平移的性质可知，AD＝BE＝CF＝1，
AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，
∵△ABC的周长为8，
即AB＋BC＋AC＝8，
∴四边形ABFD的周长为
AB＋BC＋CF＋DF＋AD＝AB＋BC＋AC＋CF＋AD＝8＋1＋1＝10.
