因式分解的概念
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.
(1)因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式.(2)因式分解的结果要以积的形式表示，每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须不高于原来多项式的次数.(3)因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
因式分解与整式乘法的关系
多项式整式的积.
因式分解的概念
典例1 [2022春·乐清期末]下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( C )
A.2ab(a－b)＝2a2b－2ab2
B.x2－3x＋1＝x(x－3)＋1
C.4a2－4a＋1＝(2a－1)2
D.x2＋1＝x(x＋)
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.
变式 [2023春·西安期中]下列变形中，是因式分解的是( C )
A.4xy2＝2xy·2y
B.x2＋1＝x(x＋)
C.xy2－x2y＝xy(y－x)
D.x2－2x－3＝x(x－2)－3
因式分解与整式乘法的互逆变形
典例2 [2023春·于洪区期末]把多项式2x2＋mx－5因式分解成(2x＋5)(x－n)，则m的值为( A )
A.m＝3 B.m＝－3
C.m＝7 D.m＝5
根据题意，2x2＋mx－5＝(2x＋5)(x－n)＝2x2－2nx＋5x－5n，根据等式列出关于m和n的方程即可解答.
解析：∵多项式2x2＋mx－5可因式分解成(2x＋5)(x－n)，
∴2x2＋mx－5＝(2x＋5)(x－n)＝2x2－2nx＋5x－5n＝2x2＋(5－2n)x－5n，
∴m＝5－2n，5n＝5，
解得n＝1，m＝3.
变式 [2023春·新邵县期末]多项式x2＋x－6可因式分解成(x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则(a＋b)2 023的值为( B )
A.－1 B.1
C.－2 023 D.2 023
因式分解的应用
典例3 通过计算说明255＋511能被30整除吗？
将255化为以5为底数的形式，再变形成含有30 的因数即可.
解：255＋511＝510＋511＝510×(1＋5)＝59×5×6＝59×30，所以255＋511能被30整除.
变式 32 023－32 022－32 021能否被15整除？
解：32 023－32 022－32 021＝32 021×(32－3－1)＝32 021×5＝32 020×15.
所以32 023－32 022－32 021能被15整除.
1.下列由左到右的变形，属于因式分解的是( B )
A.(x＋2)(x－2)＝x2－4
B.x2－4＝(x＋2)(x－2)
C.x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x
D.x2＋4x－2＝x(x＋4)－2
2.[2024春·惠来县期末]下列等式从左到右的变形，是因式分解的是( D )
A.2x(x－3)＝2x2－6x
B.12m2n＝3m2·4n
C.a2－2ab＋b2－1＝(a－b)2－1
D.x2－y2＝(x＋y)(x－y)
3.[2023春·历城区期末]下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( D )
A.x(a－b)＝ax－bx
B.ax＋bx－c＝x(a＋b)－c
C.x2－2x＝x
D.y2－1＝(y＋1)(y－1)
4.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( D )
A.(x＋1)(x－1)＝x2－1
B.x2－2x＋3＝x(x－2)＋3
C.x2＋6x－9＝(x－3)2
D.(x－1)(x－2)－2＝x(x－3)
5.多项式x2＋mx＋6因式分解得(x－2)(x＋n)，求m.
解：x2＋mx＋6因式分解得(x－2)(x＋n)，
∴x2＋mx＋6＝(x－2)(x＋n)，
∵(x－2)(x＋n)＝x2＋(n－2)x－2n，
∴x2＋mx＋6＝x2＋(n－2)x－2n，
∴－2n＝6，m＝n－2.
解得n＝－3，m＝－5.因式分解的概念
因式分解：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.
(1)因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式.(2)因式分解的结果要以积的形式表示，每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须不高于原来多项式的次数.(3)因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
因式分解与整式乘法的关系
多项式整式的积.
因式分解的概念
典例1 [2022春·乐清期末]下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A.2ab(a－b)＝2a2b－2ab2
B.x2－3x＋1＝x(x－3)＋1
C.4a2－4a＋1＝(2a－1)2
D.x2＋1＝x(x＋)
变式 [2023春·西安期中]下列变形中，是因式分解的是( )
A.4xy2＝2xy·2y
B.x2＋1＝x(x＋)
C.xy2－x2y＝xy(y－x)
D.x2－2x－3＝x(x－2)－3
因式分解与整式乘法的互逆变形
典例2 [2023春·于洪区期末]把多项式2x2＋mx－5因式分解成(2x＋5)(x－n)，则m的值为( )
A.m＝3 B.m＝－3
C.m＝7 D.m＝5
变式 [2023春·新邵县期末]多项式x2＋x－6可因式分解成(x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则(a＋b)2 023的值为( )
A.－1 B.1
C.－2 023 D.2 023
因式分解的应用
典例3 通过计算说明255＋511能被30整除吗？
变式 32 023－32 022－32 021能否被15整除？
1.下列由左到右的变形，属于因式分解的是( )
A.(x＋2)(x－2)＝x2－4
B.x2－4＝(x＋2)(x－2)
C.x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x
D.x2＋4x－2＝x(x＋4)－2
2.[2024春·惠来县期末]下列等式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A.2x(x－3)＝2x2－6x
B.12m2n＝3m2·4n
C.a2－2ab＋b2－1＝(a－b)2－1
D.x2－y2＝(x＋y)(x－y)
3.[2023春·历城区期末]下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A.x(a－b)＝ax－bx
B.ax＋bx－c＝x(a＋b)－c
C.x2－2x＝x
D.y2－1＝(y＋1)(y－1)
4.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A.(x＋1)(x－1)＝x2－1
B.x2－2x＋3＝x(x－2)＋3
C.x2＋6x－9＝(x－3)2
D.(x－1)(x－2)－2＝x(x－3)
5.多项式x2＋mx＋6因式分解得(x－2)(x＋n)，求m.
