公因式的概念
公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
公因式可以是式子，也可以是数.
确定公因式的方法
确定公因式时，要对数字系数与字母分别进行考虑：(1)对于系数，如果是整数系数，那么就取各项系数的最大公约数作为公因式的系数.(2)对于字母，需考虑两条：一是取各项都含有的字母，二是对于各相同字母的指数取其最低次的幂.
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.
提公因式法
1.概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.
提公因式的依据是乘法分配律，它的实质是乘法分配律的逆用，即m(a＋b＋c)ma＋mb＋mc.
2.提公因式法因式分解的步骤
(1)找出公因式，可按照确定公因式的方法先确定系数，再确定字母及其指数.
(2)提公因式并确定另一个因式，要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式.
(1)当提出“－”时，剩下的括号里的每一项都要变号.(2)多项式有几项，提公因式后所剩的因式也是几项.
确定公因式
典例1 [2023春·清远期中]多项式6a2bc－8ab2c＋4abc的公因式是( B )
A.8abc B.2abc
C.6a2b2c2 D.4a2b2c2
根据多项式的公因式定义：“多项式各项都含有的公共的因式是公因式”即可得出答案.
变式 [2023春·常德期中]下列各组中，没有公因式的一组是( B )
A.ax－bx与by－ay
B.ab－ac与ab－bc
C.6xy－8x2y与－4x＋3
D.(a－b)3与(b－a)2y
提公因式法分解因式
典例2 [2023春·北塔区期中]把a3－4a2分解因式，正确的是( B )
A.a(a2－4a) B.a2(a－4)
C.a(a＋2)(a－2) D.a2(a＋4)
直接提取公因式a2，进而分解因式即可.
解析：a3－4a2＝a2(a－4).
变式 [2023·长春期末]已知：a－b＝3，ab＝4，求3a2b－3ab2的值.
解：∵a－b＝3，ab＝4，
∴3a2b－3ab2＝3ab(a－b)＝3×4×3＝36.
1.[2024春·城固县期末]把多项式12ab＋3ab3分解因式，应提的公因式是( C )
A.12ab B.4ab
C.3ab D.3ab3
2.把多项式2a2－4a分解因式，应提取的公因式是( D )
A.a B.2
C.a2 D.2a
3.分解因式：x2y＋xy＝xy(x＋1).
4.[2024·市中区三模]分解因式4xy－6x2＝2x(2y－3x).
5.分解因式：－4xy2－2xy＝－2xy(2y＋1).
6.因式分解：
(1)x2－25x；
(2)5x2yz＋10xy2z－5xyz.
解：(1)x2－25x＝x(x－25)；
(2)5x2yz＋10xy2z－5xyz
＝5xyz·x＋5xyz·2y－5xyz·1
＝5xyz(x＋2y－1)
7.[2023·达州期中]已知ab＝4，a－b＝－5，求a2b－ab2的值.
解：∵ab＝4，a－b＝－5，
∴a2b－ab2
＝ab(a－b)
＝4×(－5)
＝－20.公因式的概念
公因式：我们把多项式各项都含有的 因式，叫做这个多项式各项的公因式.
公因式可以是式子，也可以是数.
确定公因式的方法
确定公因式时，要对数字系数与字母分别进行考虑：(1)对于系数，如果是整数系数，那么就取各项系数的 作为公因式的系数.(2)对于字母，需考虑两条：一是取各项 ，二是对于各相同字母的指数取其 .
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.
提公因式法
1.概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.
2.提公因式法因式分解的步骤
(1)找出公因式，可按照确定公因式的方法先确定系数，再确定字母及其指数.
(2)提公因式并确定另一个因式，要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式.
确定公因式
典例1 [2023春·清远期中]多项式6a2bc－8ab2c＋4abc的公因式是( )
A.8abc B.2abc
C.6a2b2c2 D.4a2b2c2
变式 [2023春·常德期中]下列各组中，没有公因式的一组是( )
A.ax－bx与by－ay
B.ab－ac与ab－bc
C.6xy－8x2y与－4x＋3
D.(a－b)3与(b－a)2y
提公因式法分解因式
典例2 [2023春·北塔区期中]把a3－4a2分解因式，正确的是( )
A.a(a2－4a) B.a2(a－4)
C.a(a＋2)(a－2) D.a2(a＋4)
变式 [2023·长春期末]已知：a－b＝3，ab＝4，求3a2b－3ab2的值.
1.[2024春·城固县期末]把多项式12ab＋3ab3分解因式，应提的公因式是( )
A.12ab B.4ab
C.3ab D.3ab3
2.把多项式2a2－4a分解因式，应提取的公因式是( )
A.a B.2
C.a2 D.2a
3.分解因式：x2y＋xy＝ .
4.[2024·市中区三模]分解因式4xy－6x2＝ .
5.分解因式：－4xy2－2xy＝ .
6.因式分解：
(1)x2－25x；
(2)5x2yz＋10xy2z－5xyz.
7.[2023·达州期中]已知ab＝4，a－b＝－5，求a2b－ab2的值.提多项式因式分解
1.多项式a(x－3)＋2b(x－3)的公因式为 ，提取公因式后分解的结果为 .
2.多项式a(x－y)＋b(y－x)中，从表面看没有公因式，但恒等变形为a(x－y)－b(x－y)后，出现了公因式 ，于是可分解为 .
公因式是多项式时的因式分解
典例 [2023春·佛冈县期中]把2(x－3)＋x(3－x)提取公因式(x－3)后，另一个因式是( )
A.x－2 B.x＋2
C.2－x D.－2－x
变式 因式分解：6x(x－y)2＋3(y－x)3.
1.因式分解：(a－3)2＋(3－a).
2.[2024·上海期中]因式分解：2(x－2y)2(x＋2y)＋3(2y－x)(x＋2y)2.
3.因式分解：xy(x＋y)2－6x(x＋y)2.
4.因式分解：6p(p＋q)－4q(p＋q).
5.因式分解：x2(x－y)＋2x(y－x).
6.先化简，再求值：2a(a＋b)－(a＋b)2，其中a＋b＝5，a－b＝3.
第2课时提多项式因式分解
列清单划重点
知识点
明烤点识分法
当堂侧+夯基础提多项式因式分解
1.多项式a(x－3)＋2b(x－3)的公因式为(x－3)，提取公因式后分解的结果为(a＋2b)(x－3).
2.多项式a(x－y)＋b(y－x)中，从表面看没有公因式，但恒等变形为a(x－y)－b(x－y)后，出现了公因式(x－y)，于是可分解为(a－b)(x－y).
公因式是多项式时的因式分解
典例 [2023春·佛冈县期中]把2(x－3)＋x(3－x)提取公因式(x－3)后，另一个因式是( C )
A.x－2 B.x＋2
C.2－x D.－2－x
根据提公因式法，可得答案.
解析：2(x－3)＋x(3－x)＝2(x－3)－x(x－3)＝(x－3)(2－x).
变式 因式分解：6x(x－y)2＋3(y－x)3.
解：6x(x－y)2＋3(y－x)3
＝6x(x－y)2－3(x－y)3
＝3(x－y)2[2x－(x－y)]
＝3(x－y)2(x＋y).
1.因式分解：(a－3)2＋(3－a).
解：原式＝(a－3)(a－4).
2.[2024·上海期中]因式分解：2(x－2y)2(x＋2y)＋3(2y－x)(x＋2y)2.
解：原式＝2(2y－x)2(x＋2y)＋3(2y－x)(x＋2y)2
＝(2y－x)(x＋2y)[2(2y－x)＋3(x＋2y)]
＝(2y－x)(x＋2y)(4y－2x＋3x＋6y)
＝(2y－x)(x＋2y)(10y＋x).
3.因式分解：xy(x＋y)2－6x(x＋y)2.
解：原式＝x(x＋y)2(y－6).
4.因式分解：6p(p＋q)－4q(p＋q).
解：6p(p＋q)－4q(p＋q)
＝2(p＋q)(3p－2q).
5.因式分解：x2(x－y)＋2x(y－x).
解：原式＝x(x－2)(x－y).
6.先化简，再求值：2a(a＋b)－(a＋b)2，其中a＋b＝5，a－b＝3.
解：原式＝(a＋b)(2a－a－b)
＝(a＋b)(a－b).
∵a＋b＝5，a－b＝3，
∴原式＝15.
