完全平方式
1.定义：形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式.
2.特征：两式都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍.
完全平方公式
1.公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
2.文字叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.特征：公式的左边是一个二次三项式，右边是一个二项式的平方，当左边的两数的平方和加上这两数积的2倍时，右边就是这两数和的平方的形式(和对应加)；当左边是两数的平方和减去这两数积的2倍时，右边就是这两数差的平方的形式(差对应减)，两公式结构相同，仅一个符号不同.
(1)完全平方公式中的字母a，b既可以是单项式，也可以是多项式.(2)利用完全平方公式因式分解时，应先把多项式写成具有公式特征后，再套用公式予以分解.
运用完全平方公式进行因式分解
判断一个多项式是不是完全平方式，要紧扣完全平方式的特点：(1)是一个三项式；(2)三项中有两项是两数的平方，另一项是这两个数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数).如果一个多项式是完全平方式，就可以利用完全平方公式因式分解.用完全平方公式因式分解时，除注意检查多项式是否符合上面所说的特点外，还应特别注意符号的特点.
用完全平方公式进行因式分解
典例1 [2023·无锡]分解因式：4＋4m＋m2＝(2＋m)2.
直接利用完全平方公式即可求解.
变式 因式分解：
(1)－x3＋2x2y－xy2；
(2)(a2＋1)2－4a2；
(3)(x－y)2－6(x－y)＋9；
(4)(x2－1)2－6(x2－1)＋9.
解：(1)原式＝－x(x2－2xy＋y2)
＝－x(x－y)2；
(2)原式＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)
＝(a＋1)2(a－1)2；
(3)原式＝(x－y－3)2；
(4)原式＝(x2－1－3)2
＝(x2－4)2
＝(x＋2)2(x－2)2.
完全平方公式因式分解的应用
典例2 已知a＝2 021x＋2 021，b＝2 021x＋2 022，c＝2 021x＋2 023，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( D )
A.0 B.1
C.2 D.3
首先求出a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，然后把多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac化成[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]，再代入计算即可.
解析：由题意，得a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，
∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac
＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)
＝[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]
＝×(1＋4＋1)
＝3.
变式 如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：
变式图
(1)a2b＋ab2；
(2)a2＋b2＋ab.
解：(1)∵a＋b＝7，ab＝10，
∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝70；
(2)a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝72－10＝39.
1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( A )
A.x2－4x＋4
B.x2＋x＋1
C.4x2＋4x－1
D.x2＋2x－1
2.下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是( A )
A.1－2xy＋x2y2
B.x2－x＋1
C.a2－a＋
D.a2＋2ab－b2
3.分解因式：a2－6a＋9＝(a－3)2.
4.因式分解：4a2－12ab＋9b2＝(2a－3b)2.
5.如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n.(以上长度单位：cm)
第5题图
(1)用含m，n的代数式表示所有裁剪线(图中虚线部分)的长度之和；
(2)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为________；
(3)若每块小矩形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求(m＋n)2的值.
解：(1)图中一条竖直裁剪线长为(2m＋n)，
一条水平裁剪线长为(m＋2n)，
∴所有裁剪线(虚线部分)长度之和为
2(m＋2n)＋2(2m＋n)＝6m＋6n＝6(m＋n)；
(2)大长方形的面积由长乘宽可得(m＋2n)(2m＋n)，
由九个小图形之和可得2m2＋5mn＋2n2，
∴2m2＋5mn＋2n2
可以因式分解为(m＋2n)(2m＋n)，
故答案为：(m＋2n)(2m＋n)；
(3)由题意，得2m2＋2n2＝58，mn＝10，
∴m2＋n2＝29，
∵(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，
∴(m＋n)2＝29＋20＝49.平方差公式
1.公式： .
2.特征：左边是平方差形式，并且两项的位置不能颠倒；公式中a和b可以是单项式，也可以是多项式，还可以是具体的数字；右边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.
灵活运用平方差公式进行因式分解
同时满足以下三个条件的多项式，可运用平方差公式进行因式分解：①二项式或可看作二项式的多项式；②两项的符号相反；③每项都能写成某数或某式的平方的形式.
用平方差公式因式分解
典例1 因式分解：x4－1＝ .
变式 [2023春·苏州期中]因式分解：9x2(a－b)＋16y2(b－a).
平方差公式因式分解的应用
=
典例2 [2023春·衡水期中]【发现】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如12＝42－22，20＝62－42，28＝82－62，因此12，20，28这三个数都是奇巧数.
【验证】(1)52，72都是奇巧数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2n，2n＋2(其中n为正整数)，由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？
【探究】任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证.
变式 如图，在一块边长为a cm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为b cm的正方形，
变式图
利用因式分解计算当a＝14.4，b＝2.8时，剩余部分的面积.
1.[2023秋·玉环市期末]下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是( )
A.x2＋4 B.x2－1
C.x＋9 D.x2－6x
2.[2024·邱县一模]对于任何整数a(a≠0)，多项式(3a＋5)2－4都能( )
A.被9整除 B.被a整除
C.被a＋1整除 D.被a－1整除
3.分解因式：x2－16y2＝ .完全平方式
1.定义：形如 或 的式子称为完全平方式.
2.特征：两式都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍.
完全平方公式
1.公式： ， .
2.文字叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.特征：公式的左边是一个二次三项式，右边是一个二项式的平方，当左边的两数的平方和加上这两数积的2倍时，右边就是这两数和的平方的形式(和对应加)；当左边是两数的平方和减去这两数积的2倍时，右边就是这两数差的平方的形式(差对应减)，两公式结构相同，仅一个符号不同.
(1)完全平方公式中的字母a，b既可以是单项式，也可以是多项式.(2)利用完全平方公式因式分解时，应先把多项式写成具有公式特征后，再套用公式予以分解.
运用完全平方公式进行因式分解
判断一个多项式是不是完全平方式，要紧扣完全平方式的特点：(1)是一个三项式；(2)三项中有两项是两数的平方，另一项是这两个数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数).如果一个多项式是完全平方式，就可以利用完全平方公式因式分解.用完全平方公式因式分解时，除注意检查多项式是否符合上面所说的特点外，还应特别注意符号的特点.
用完全平方公式进行因式分解
典例1 [2023·无锡]分解因式：4＋4m＋m2＝ .
变式 因式分解：
(1)－x3＋2x2y－xy2；
(2)(a2＋1)2－4a2；
(3)(x－y)2－6(x－y)＋9；
(4)(x2－1)2－6(x2－1)＋9.
完全平方公式因式分解的应用
典例2 已知a＝2 021x＋2 021，b＝2 021x＋2 022，c＝2 021x＋2 023，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
变式 如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：
变式图
(1)a2b＋ab2；
(2)a2＋b2＋ab.
1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2－4x＋4
B.x2＋x＋1
C.4x2＋4x－1
D.x2＋2x－1
2.下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是( )
A.1－2xy＋x2y2
B.x2－x＋1
C.a2－a＋
D.a2＋2ab－b2
3.分解因式：a2－6a＋9＝ .
4.因式分解：4a2－12ab＋9b2＝ .
5.如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n.(以上长度单位：cm)
第5题图
(1)用含m，n的代数式表示所有裁剪线(图中虚线部分)的长度之和；
(2)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为 ；
(3)若每块小矩形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求(m＋n)2的值.平方差公式
1.公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b).
2.特征：左边是平方差形式，并且两项的位置不能颠倒；公式中a和b可以是单项式，也可以是多项式，还可以是具体的数字；右边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.
灵活运用平方差公式进行因式分解
同时满足以下三个条件的多项式，可运用平方差公式进行因式分解：①二项式或可看作二项式的多项式；②两项的符号相反；③每项都能写成某数或某式的平方的形式.
用平方差公式因式分解
典例1 因式分解：x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1).
利用平方差公式分解.
解析：原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1).
变式 [2023春·苏州期中]因式分解：9x2(a－b)＋16y2(b－a).
解：9x2(a－b)＋16y2(b－a)＝(a－b)(9x2－16y2)＝(a－b)(3x－4y)(3x＋4y).
平方差公式因式分解的应用
典例2 [2023春·衡水期中]【发现】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如12＝42－22，20＝62－42，28＝82－62，因此12，20，28这三个数都是奇巧数.
【验证】(1)52，72都是奇巧数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2n，2n＋2(其中n为正整数)，由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？
【探究】任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证.
【验证】(1)根据52＝142－122，以及68＝182－162，76＝202－182，进行判断即可；
(2)列式并利用平方差公式计算，得到两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数；
【探究】先得到任意两个连续“奇巧数”之差，再根据结果作出判断即可.
解：【验证】(1)∵52＝142－122，68＝182－162，76＝202－182，∴52是奇巧数，72不是奇巧数；
(2)∵(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝4(2n＋1)，
∴这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数；
【探究】证明：
∵－
＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)－(2n＋4＋2n＋2)(2n＋4－2n－2)＝4(2n＋1)－4(2n＋3)＝8n＋4－8n－12＝－8，
∴任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数.
变式 如图，在一块边长为a cm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为b cm的正方形，
变式图
利用因式分解计算当a＝14.4，b＝2.8时，剩余部分的面积.
解：S＝a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(14.4＋2×2.8)×(14.4－2×2.8)＝20×8.8＝176 (cm2).
答：剩余部分的面积为176 cm2.
1.[2023秋·玉环市期末]下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是( B )
A.x2＋4 B.x2－1
C.x＋9 D.x2－6x
2.[2024·邱县一模]对于任何整数a(a≠0)，多项式(3a＋5)2－4都能( C )
A.被9整除 B.被a整除
C.被a＋1整除 D.被a－1整除
3.分解因式：x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y).
解析：x2－16y2＝x2－(4y)2＝(x＋4y)(x－4y).
