列分式方程解应用题的一般步骤
1.审题，明确问题中已知量与未知量之间的相互关系；
2.找相等关系；
3.设未知数；
4.列方程；
5.解方程；
6.检验作答.
检验含两个方面，一是检验根是否为原分式方程的根；二是检验是否符合题意.
行程问题
典例1 [2022·乐山改编]
第十四届四川省运动会于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练.现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修.维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度.
解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，
依题意，得－＝，
解得x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的根，且符合题意，
答：摩托车的速度为40千米/时.
变式 [2023·威海二模]已知A，B两地相距72千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的1.2倍，如果甲比乙先行小时，那么两人相遇时所行路程恰好相等.甲、乙两人骑自行车的速度各是多少？
解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度是1.2x千米/小时.
由题意，得－＝，
解得x＝15.
经检验，x＝15是分式方程的解且符合题意.
∴1.2x＝18.
答：甲的速度为15千米/小时，乙的速度是18千米/小时.
工程问题
典例2 [2022·鞍山]某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4 000件比乙车间加工4 200件多用3天.设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为－＝3.
∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，
∴乙车间每天加工1.5x件产品，
又∵甲车间加工4 000件比乙车间加工4 200件多用3天，
∴－＝3.
变式 [2023秋·海口期末]某服装加工厂计划加工4 000套运动服，在加工完1 600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高20%，结果共用了18天完成全部任务.求原计划每天加工多少套运动服.
解：设原计划每天加工x套运动服.
根据题意，得＋＝18.
解得x＝200.
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意.
答：原计划每天加工200套运动服.
营销问题
典例3 [2022·淄博]为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具.开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%.设
第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是( D )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
设
第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x＋10)元，根据单价＝总价÷数量，结合总费用降低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x的分式方程.
解析：设
第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x＋10)元，
依题意，得 ＝.
变式 [2023春·衡阳期末]衡阳东洲岛旁“雁街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售，已知1 000元采购A种饰品的件数是450元采购B种饰品件数的2倍，A种饰品的进价比B种饰品的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种饰品的件数不低于390件，不超过A种饰品件数的4倍.
(1)求A，B两种饰品每件的进价分别为多少元？
(2)若一次性采购A种饰品超过150件时，A种饰品超过的部分按进价打6折，求让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润.
解：(1)设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为(a－1)元，
由题意，得＝×2，
解得a＝10，
经检验，a＝10是原方程的解，且符合题意，
a－1＝9，
答：A种饰品每件的进价为10元，B种饰品每件的进价为9元；
(2)设购进A种饰品x件，
由题意，得
解得120≤x≤210，
∴购进A种饰品件数x的取值范围为120≤x≤210，且x为整数；
设采购A种饰品x件时的总利润为w元，
①当120≤x≤150时，w＝15×600－10x－9(600－x)＝－x＋3 600，
∵－1<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝120时，w有最大值是－120＋3 600＝3 480；
②当150∵3>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝210时，w有最大值是3×210＋3 000＝3 630，
∵3 630>3 480，
∴w的最大值是3 630，此时600－x＝600－210＝390，
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3 630元.
1.(列方程解应用题)为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍.其中购买A种图书花费了3 000元，购买B种图书花费了1 600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本，求A和B两种图书的单价分别为多少元？
解：设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，
依题意，得－＝20，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝30.
答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元.
2.某校为美化校园，计划对面积为400平方米的花坛区域进行绿化，安排甲工程队或乙工程队完成.已知甲队平均每天完成绿化的面积是乙队的2倍，并且甲队比乙队能少用4天完成任务，求甲、乙两工程队平均每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？
解：设乙工程队平均每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队平均每天能完成绿化的面积是2x平方米，
依题意，得－＝4，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝100.
答：甲工程队平均每天能完成绿化的面积是100平方米，乙工程队平均每天能完成绿化的面积是50平方米.
3.[2024春·邢台期中]一辆汽车开往距离出发地100 km的目的地，出发后
第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40 min到达目的地.
(1)求前 1 小时这辆汽车行驶的速度；
(2)汽车出发时油箱有7.5升油，到达目的地时还剩4.3升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多0.3升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？
解：(1)设前 1小时这辆汽车行驶的速度为x km/h，则1小时后这辆汽车行驶的速度为1.5x km/h，
由题意，得－＝，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解，且符合题意，
∴前 1小时这辆汽车行驶的速度为 km/h；
(2)设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油(y＋0.3)升，
由题意，得
y＋ (y＋0.3)＝7.5－4.3，
解得y＝1.2，
∴y＋0.3＝1.5，
∴回来时若以原速度行驶总耗油
1.2×＝3.6升，
若以提速后的速度行驶总耗油
1.5×＝3升，
∵3.6＞3，
∴以提速后的速度行驶更省油.分式方程的定义
分母中 的方程叫做分式方程.
分式方程与整式方程的根本区别是看分母中有无未知数.
解分式方程
1.基本思想： .
2.主要方法： .
3.步骤
(1)去分母(在方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程)；
(2)解这个整式方程，得出未知数的值；
(3)检验所得到的值是不是原分式方程的根，并写出分式方程的根.
检验是解分式方程中十分重要的一个过程，切不可省略.
增根及其产生的原因
1.增根：分式方程去分母后的整式方程的根，若使原分式方程中的分母为零，则称它为原方程的增根.
2.产生原因：在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式.
分式方程的定义
典例1 在方程＝，1＋＝0，＋＝1，＝1中，分式方程有 个.
变式 下列关于x的方程中，不是分式方程的是( )
A.＋x＝1 B.＋＝
C.＝ D.＝1
分式方程的解法
典例2 解分式方程 ＝1－ 的过程如下：
解：方程两边都乘x(x－2)，得
x(x－1)＝x(x－2)－1，①
去括号，得x2－x＝x2－2x－1，②
解这个方程，得x＝1，③
检验：将x＝1代入x(x－2)，x(x－2)≠0，所以x＝1是原方程的根.④
以上解答过程中，开始出错的一步是( )
A.① B.②
C.③ D.④
变式 [2023·益阳]分式方程＝的解是 .
分式方程的增根
典例3 若分式方程 ＝2－ 有增根，则m＝( )
A.8 B.6
C.5 D.4
变式 [2023春·抚州期末]已知关于x的方程－m－4＝有增根，则m的值为 .
1.x＝2是分式方程＝的解，则a＝( )
A.2 B.－2
C.4 D.－4
2.[2024春·淮阴区期末]关于x的分式方程－＝1无解，则m的值为 .
3.解方程：＝.
4.解分式方程：＝1－.
5.解分式方程：＝2－.分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程与整式方程的根本区别是看分母中有无未知数.
解分式方程
1.基本思想：把分式方程转化为整式方程.
2.主要方法：去分母.
3.步骤
(1)去分母(在方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程)；
(2)解这个整式方程，得出未知数的值；
(3)检验所得到的值是不是原分式方程的根，并写出分式方程的根.
检验是解分式方程中十分重要的一个过程，切不可省略.
增根及其产生的原因
1.增根：分式方程去分母后的整式方程的根，若使原分式方程中的分母为零，则称它为原方程的增根.
2.产生原因：在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式.
分式方程的定义
典例1 在方程＝，1＋＝0，＋＝1，＝1中，分式方程有3个.
根据分式方程的定义判断.
解析：分式方程有＝，1＋＝0，＝1一共3个.
变式 下列关于x的方程中，不是分式方程的是( B )
A.＋x＝1 B.＋＝
C.＝ D.＝1
分式方程的解法
典例2 解分式方程 ＝1－ 的过程如下：
解：方程两边都乘x(x－2)，得
x(x－1)＝x(x－2)－1，①
去括号，得x2－x＝x2－2x－1，②
解这个方程，得x＝1，③
检验：将x＝1代入x(x－2)，x(x－2)≠0，所以x＝1是原方程的根.④
以上解答过程中，开始出错的一步是( A )
A.① B.②
C.③ D.④
＝1－，方程两边都乘x(x－2)，得x(x－1)＝x(x－2)－(x－2)，所以解答过程中，开始出错的一步是①.
变式 [2023·益阳]分式方程＝的解是x＝－2.
分式方程的增根
典例3 若分式方程 ＝2－ 有增根，则m＝( A )
A.8 B.6
C.5 D.4
将 ＝2－ 化为整式方程，得x＋3＝2(x－5)＋m，解得x＝13－m，∵分式方程有增根，∴x－5＝0，∴x＝5，把x＝5代入x＝13－m中，得5＝13－m，解得m＝8.
变式 [2023春·抚州期末]已知关于x的方程－m－4＝有增根，则m的值为1.
1.x＝2是分式方程＝的解，则a＝( B )
A.2 B.－2
C.4 D.－4
2.[2024春·淮阴区期末]关于x的分式方程－＝1无解，则m的值为－3.
3.解方程：＝.
解：去分母，得
2(x－2)＝3(x＋3)，
整理得2x－4＝3x＋9，
则2x－3x＝4＋9，
－x＝13，
解得x＝－13，
检验：当x＝－13时，(x＋3)(x－2)≠0，
故x＝－13是原方程的解.
4.解分式方程：＝1－.
解：＝1－，
方程两边同时乘以(x－4)，得3－x＝x－4＋1，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，x－4≠0，
∴x＝3是原分式方程的解.
5.解分式方程：＝2－.
解：去分母得y－2＝2y－6＋1，
移项合并得y＝3，
经检验y＝3是增根，分式方程无解.列分式方程解应用题的一般步骤
1. ，明确问题中已知量与未知量之间的相互关系；
2. ；
3. ；
4. ；
5. ；
6. .
检验含两个方面，一是检验根是否为原分式方程的根；二是检验是否符合题意.
行程问题
典例1 [2022·乐山改编]
第十四届四川省运动会于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练.现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修.维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度.
变式 [2023·威海二模]已知A，B两地相距72千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的1.2倍，如果甲比乙先行小时，那么两人相遇时所行路程恰好相等.甲、乙两人骑自行车的速度各是多少？
工程问题
典例2 [2022·鞍山]某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4 000件比乙车间加工4 200件多用3天.设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为 .
变式 [2023秋·海口期末]某服装加工厂计划加工4 000套运动服，在加工完1 600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高20%，结果共用了18天完成全部任务.求原计划每天加工多少套运动服.
营销问题
典例3 [2022·淄博]为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具.开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%.设
第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
变式 [2023春·衡阳期末]衡阳东洲岛旁“雁街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售，已知1 000元采购A种饰品的件数是450元采购B种饰品件数的2倍，A种饰品的进价比B种饰品的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种饰品的件数不低于390件，不超过A种饰品件数的4倍.
(1)求A，B两种饰品每件的进价分别为多少元？
(2)若一次性采购A种饰品超过150件时，A种饰品超过的部分按进价打6折，求让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润.
1.(列方程解应用题)为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍.其中购买A种图书花费了3 000元，购买B种图书花费了1 600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本，求A和B两种图书的单价分别为多少元？
2.某校为美化校园，计划对面积为400平方米的花坛区域进行绿化，安排甲工程队或乙工程队完成.已知甲队平均每天完成绿化的面积是乙队的2倍，并且甲队比乙队能少用4天完成任务，求甲、乙两工程队平均每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？
3.[2024春·邢台期中]一辆汽车开往距离出发地100 km的目的地，出发后
第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40 min到达目的地.
(1)求前 1 小时这辆汽车行驶的速度；
(2)汽车出发时油箱有7.5升油，到达目的地时还剩4.3升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多0.3升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？
