直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 ，简述为： .
证明直角三角形全等的方法还有：(1)一条直角边、一个锐角分别对应相等的两直角三角形全等(ASA或AAS)；(2)两直角边分别相等的两个直角三角形全等(SAS)；(3)斜边和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等(AAS).
互逆命题、互逆定理
1.在两个命题中，如果一个命题的 和 ，分别是另一个命题的 和 ，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 .
任何一个命题都有逆命题，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题也可能是真命题.原命题的条件是它逆命题的结论，原命题的结论是它逆命题的条件.
2.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为 ，其中一个定理称为另一个定理的 .
所有的命题都有逆命题，不过，有的定理并不一定有逆定理.如“对顶角相等”就没有逆定理.
直角三角形全等的判定
典例1
典例1图
如图，∠A＝∠B＝90°，点E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.求证：△DEC为直角三角形.
变式1 [2023春·礼泉县期中]使两个直角三角形全等的条件可以是( )
A.一个锐角对应相等
B.两个锐角对应相等
C.斜边及一条直角边对应相等
D.一条边对应相等
变式2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC.
变式2图
变式3 如图，在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF.点O是BC边中点，试说明AB＝AC.
变式3图
互逆命题、互逆定理
典例2 命题“等边三角形的三个角都相等”.这个命题的逆命题是 ；这个逆命题是
(填“真”或“假”)命题.
变式 命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 ，该命题是 (填“真”或“假”)命题.
1.[2024春·浑南区期中]如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是( )
A.AAS B.SAS
C.ASA D.HL
第1题图
2.如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD ②∠ABC＝∠ABD ③∠BAC＝∠BAD ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是( )
第2题图
A.1 B.2
C.3 D.4
3.如图，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D，若要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB，还需添加的一个条件是 (只填一个)，并证明.
第3题图
4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：Rt△BDE≌Rt△CDF.
第4题图直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角 .
2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 .即在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则AC2＋BC2＝ .
直角三角形的判定
1.有两个角互余的三角形是 .
2.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于
第三边的平方，那么这个三角形是 .
勾股定理的逆定理的作用：(1)它是判断某个三角形是否为直角三角形的重要方法之一；(2)它是把数转化为形的重要依据，是通过计算判断三角形形状的方法之一.
直角三角形的性质与判定
典例 设△ABC的三边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
B.b2＝a2－c2
C.∠A＋∠B＝90°
D.a∶b∶c＝5∶12∶13
变式1 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( )
A.3，5，7 B.5，7，12
C.7，14，15 D.9，12，15
变式2 如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
(1)△ABC的周长；
(2)请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由；
(3)△ABC的面积；
(4)点C到AB边的距离.
变式2图
1.在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是( )
A.45° B.30°
C.90° D.60°
2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )
A.∠C＝∠A＋∠B
B.a∶b∶c＝3∶4∶5
C.∠C＝∠A－∠B
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
3.[2024秋·历城区期末]如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，EF∥BC，若∠1＝50°，则∠C的度数为 .
第3题图
4.如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，且CD＝AB，求证：∠ACB＝90°.
第4题图直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为：HL.
证明直角三角形全等的方法还有：(1)一条直角边、一个锐角分别对应相等的两直角三角形全等(ASA或AAS)；(2)两直角边分别相等的两个直角三角形全等(SAS)；(3)斜边和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等(AAS).
互逆命题、互逆定理
1.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
任何一个命题都有逆命题，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题也可能是真命题.原命题的条件是它逆命题的结论，原命题的结论是它逆命题的条件.
2.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
所有的命题都有逆命题，不过，有的定理并不一定有逆定理.如“对顶角相等”就没有逆定理.
直角三角形全等的判定
典例1
典例1图
如图，∠A＝∠B＝90°，点E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.求证：△DEC为直角三角形.
由∠1＝∠2，可得DE＝CE，可证Rt△ADE≌Rt△BEC，进而可得∠AED＝∠BCE，再根据∠BCE＋∠BEC＝90°，可得∠AED＋∠BEC＝90°，再根据平角定义可得∠DEC＝90°，进而解决问题.
证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE.
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△EBC是直角三角形.
∵AD＝BE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
∴∠AED＝∠BCE.
∵∠BEC＋∠BCE＝90°，
∴∠BEC＋∠AED＝90°.
∴∠DEC＝90°，
∴△DEC为直角三角形.
变式1 [2023春·礼泉县期中]使两个直角三角形全等的条件可以是( C )
A.一个锐角对应相等
B.两个锐角对应相等
C.斜边及一条直角边对应相等
D.一条边对应相等
变式2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC.
变式2图
证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴∠CAD＝∠EAD，
即AD平分∠BAC.
变式3 如图，在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF.点O是BC边中点，试说明AB＝AC.
变式3图
证明：∵OE＝OF，点O是BC边中点，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OB＝OC，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL)，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
互逆命题、互逆定理
典例2 命题“等边三角形的三个角都相等”.这个命题的逆命题是三个角都相等的三角形是等边三角形；这个逆命题是
真(填“真”或“假”)命题.
命题“等边三角形的三个角都相等”的条件是等边三角形，结论是三个角都相等，进而交换条件和结论，即可得出答案.
解析：命题“等边三角形的三个角都相等”的逆命题是“三个角都相等的三角形是等边三角形”，这个逆命题是真命题.
变式 命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，该命题是假(填“真”或“假”)命题.
1.[2024春·浑南区期中]如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是( D )
A.AAS B.SAS
C.ASA D.HL
第1题图
2.如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD ②∠ABC＝∠ABD ③∠BAC＝∠BAD ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是( D )
第2题图
A.1 B.2
C.3 D.4
3.如图，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D，若要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB，还需添加的一个条件是________(只填一个)，并证明.
第3题图
证明：AB＝DC，
理由：∵AB⊥AC，
BD⊥CD，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，
故答案为：AB＝DC(答案不唯一).
4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：Rt△BDE≌Rt△CDF.
第4题图
证明：∵DE⊥AB，
DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角互余.
2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则AC2＋BC2＝AB2.
直角三角形的判定
1.有两个角互余的三角形是直角三角形.
2.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于
第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理的作用：(1)它是判断某个三角形是否为直角三角形的重要方法之一；(2)它是把数转化为形的重要依据，是通过计算判断三角形形状的方法之一.
直角三角形的性质与判定
典例 设△ABC的三边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( A )
A.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
B.b2＝a2－c2
C.∠A＋∠B＝90°
D.a∶b∶c＝5∶12∶13
根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断各个选项即可.
解析：∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，∠B＋∠A＋∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故A符合题意；
∵b2＝a2－c2，
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；
∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠A＋∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故C不符合题意；
∵a∶b∶c＝5∶12∶13，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故D不符合题意.
变式1 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( D )
A.3，5，7 B.5，7，12
C.7，14，15 D.9，12，15
变式2 如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
(1)△ABC的周长；
(2)请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由；
(3)△ABC的面积；
(4)点C到AB边的距离.
变式2图
解：(1)根据勾股定理，知BC＝＝，
AC＝＝，
AB＝＝，
故△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝＋＋；
(2)△ABC不是直角三角形.理由：
由(1)可知，BC＝，AC＝，AB＝，
AC＜BC＜AB，
∵AC2＋BC2≠AB2，
∴△ABC不是直角三角形；
(3)如图所示，
S△ABC＝S正方形BDEF－S△BCD－S△ACE－S△ABF
变式2图
＝3×3－×1×3－×1×2－×2×3
＝；
(4)设点C到AB的距离是h.
由(3)知，△ABC的面积是，则
AB·h＝，即×h＝，
解得h＝，
即点C到AB的距离为.
1.在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是( D )
A.45° B.30°
C.90° D.60°
2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( D )
A.∠C＝∠A＋∠B
B.a∶b∶c＝3∶4∶5
C.∠C＝∠A－∠B
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
3.[2024秋·历城区期末]如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，EF∥BC，若∠1＝50°，则∠C的度数为40°.
第3题图
4.如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，且CD＝AB，求证：∠ACB＝90°.
第4题图
证明：∵点D是AB边的中点，
∴AD＝BD＝AB，
又∵CD＝AB，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠B.
∵∠A＋∠B＋(∠ACD＋∠BCD)＝180°，
∴∠ACD＋∠BCD＋(∠ACD＋∠BCD)＝180°，
∴2(∠ACD＋∠BCD)＝180°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
即∠ACB＝90°.
