用尺规作线段的垂直平分线
作法：如图，分别以A，B两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，连接M，N，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.
三角形三边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等.
与线段垂直平分线(中垂线)有关的引辅助线的三种方法：(1)有中垂线时，常把中垂线上的点与线段两端点连接，简记为“点中垂，连两端”；(2)有中点时，构造中垂线，简记为“遇中点，构中垂”；(3)有垂直时，构造中垂线，简记为“有垂直，构中垂”.
线段垂直平分线作图的应用
典例1 在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P，Q种植了大量猕猴桃.为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在( B )
典例1图
A.A处 B.B处
C.C处 D.D处
根据线段垂直平分线的性质解决即可.
解析：线段PQ的垂直平分线与公路m的交点所在位置就是基站的位置.
变式 如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等.
变式图
解：①连接MN；
②作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于C点，则C点即为所求.
变式图
三角形三边的垂直平分线
典例2 [2023·贵阳模拟]如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在( D )
典例2图
A.△ABC三条角平分线的交点
B.△ABC三条边的中线的交点
C.△ABC三条高的交点
D.△ABC三条边的垂直平分线的交点
根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，即可解答.
解析：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，猫应蹲在到A，B，C三个洞口都相等的地方，则应蹲在△ABC三条边的垂直平分线的交点处.变式 如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是( D )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.直角三角形
典例3 如图，已知在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于8.
典例3图
解析：∵在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝BD＋DE＋CE＝BC＝8.
变式 如图，在△ABC中，AB，BC边的中垂线DE，FG，分别交AC边于点E，G，连接BE，BG.若△BEG的周长为16，GE＝1，则AC的长为14.
变式图
1.在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的( C )
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边中垂线的交点
D.三边上高的交点
2.[2024春·平阴县期末]如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点.若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP是( C )
第2题图
A.24° B.30°
C.32° D.36°
3.[2024秋·达州期中]如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E.若AE＝2，△ABD的周长为11，则△ABC的周长为15.
第3题图线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
(1)如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上一点，则PA＝PB.
(2)线段垂直平分线的性质定理常用来证明线段或角相等.
线段垂直平分线性质定理的逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
(1)如图，∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
(2)证明一条直线是某条线段的垂直平分线，需证明这条直线上的两个点到线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理
典例1 [2023·桂平市三模]如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°.AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为( A )
典例1图
A.2 B.1
C.4 D.3
根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
解析：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝AE＋EF＋AF＝EB＋EF＋FC＝BC，
∵BC＝2，
∴△AEF的周长为2.
变式 [2023春·普宁市期末]如图所示，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度数为( C )
变式图
A.90° B.60°
C.86° D.43°
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
典例2 如图，将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为BD，现有以下结论：①DE⊥AB
②BC＝BE
③BD平分∠ABC
④△BCE是等边三角形
⑤BD垂直平分EC
其中正确的有( D )
典例2图
A.①②③ B.②③
C.①②③④ D.①②③⑤
由折叠的性质可得∠BED＝∠BCD＝90°，BC＝BE，∠CBD＝∠EBD，DE＝DC，进而可得DE⊥AB，BD平分∠ABC，由线段垂直平分线的判定可得BD垂直平分EC，由∠ABC不一定等于60°可得△BEC不一定是等边三角形，即可求解.
解析：∵将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，
∴△BCD≌△BED，
∴∠BED＝∠BCD＝90°，BC＝BE，
∠CBD＝∠EBD，DE＝DC，
∴DE⊥AB，BD平分∠ABC，故①②③正确.
∵DE＝DC，BE＝BC，
∴BD垂直平分EC，故⑤正确.
∵∠ABC不一定等于60°，
∴△BEC不一定是等边三角形，故④错误.
变式 [2023秋·邵阳期末]在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足AB＋BD＝DE.求证：点C在线段AE的垂直平分线上.
变式图
证明：∵AD垂直平分BC，
∴BD＝DC，
AB＝AC，
又∵AB＋BD＝DE，
∴AC＋DC＝DE.
又∵DE＝DC＋CE，
∴AC＝CE，
∴点C在线段AE的垂直平分线上.
1.[2024春·市中区期末]如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF＝5，CD＝4，则△ABC的周长为( C )
第1题图
A.24 B.20
C.18 D.16
2.[2023秋·安康期末]如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为( B )
第2题图
A.25° B.45°
C.50° D.70°线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点 .
(1)如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上一点，则PA＝ .
(2)线段垂直平分线的性质定理常用来证明线段或角 .
线段垂直平分线性质定理的逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点， .
(1)如图，∵PA＝PB，
∴ .
(2)证明一条直线是某条线段的垂直平分线，需证明这条直线上的两个点到线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理
典例1 [2023·桂平市三模]如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°.AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为( )
典例1图
A.2 B.1
C.4 D.3
变式 [2023春·普宁市期末]如图所示，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度数为( )
变式图
A.90° B.60°
C.86° D.43°
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
典例2 如图，将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为BD，现有以下结论：①DE⊥AB
②BC＝BE
③BD平分∠ABC
④△BCE是等边三角形
⑤BD垂直平分EC
其中正确的有( )
典例2图
A.①②③ B.②③
C.①②③④ D.①②③⑤
变式 [2023秋·邵阳期末]在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足AB＋BD＝DE.求证：点C在线段AE的垂直平分线上.
变式图
1.[2024春·市中区期末]如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF＝5，CD＝4，则△ABC的周长为( )
第1题图
A.24 B.20
C.18 D.16
2.[2023秋·安康期末]如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为( )
第2题图
A.25° B.45°
C.50° D.70°用尺规作线段的垂直平分线
作法：如图，分别以A，B两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，连接M，N，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.
三角形三边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且 .
与线段垂直平分线(中垂线)有关的引辅助线的三种方法：(1)有中垂线时，常把中垂线上的点与线段两端点连接，简记为“点中垂，连两端”；(2)有中点时，构造中垂线，简记为“遇中点，构中垂”；(3)有垂直时，构造中垂线，简记为“有垂直，构中垂”.
线段垂直平分线作图的应用
典例1 在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P，Q种植了大量猕猴桃.为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在( )
典例1图
A.A处 B.B处
C.C处 D.D处
变式 如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等.
变式图
三角形三边的垂直平分线
典例2 [2023·贵阳模拟]如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在( )
典例2图
A.△ABC三条角平分线的交点
B.△ABC三条边的中线的交点
C.△ABC三条高的交点
D.△ABC三条边的垂直平分线的交点
变式 如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.直角三角形
典例3 如图，已知在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于 .
典例3图
变式 如图，在△ABC中，AB，BC边的中垂线DE，FG，分别交AC边于点E，G，连接BE，BG.若△BEG的周长为16，GE＝1，则AC的长为 .
变式图
1.在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的( )
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边中垂线的交点
D.三边上高的交点
2.[2024春·平阴县期末]如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点.若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP是( )
第2题图
A.24° B.30°
C.32° D.36°
3.[2024秋·达州期中]如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E.若AE＝2，△ABD的周长为11，则△ABC的周长为 .
第3题图
