三角形的内角平分线的性质定理
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到 .
说明：在△ABC中，角平分线AD，BE相交于点P，过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PG⊥AB，就得出结论：PM＝PN＝PG.
用尺规作角的平分线
1.作法：如图.
(1)以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于D，E；
(2)分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点C；
(3)作射线OC，OC即为所求.
2.作法解释：
如图，连接DC，EC可得，
OD＝OE，DC＝EC，
又∵OC＝OC，
∴△DOC≌△EOC(SSS).
∴∠DOC＝∠EOC.
三角形的内角平分线
典例1图
典例1 [2023·张家口模拟]如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为点H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，下列四个结论中正确的有( )
①AD平分∠EDF ②AE＝AF ③AD上的点到B，C两点的距离相等 ④到直线AE，直线AF距离相等的点，到直线DE，直线DF的距离也相等
变式图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
角平分线作图的应用
典例2 以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为( )
典例2图
A.3 B.2
C.3 D.4
变式 [2023春·惠济区期末]甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是( )
变式图
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
1.[2024·通辽模拟]如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
第1题图
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
2.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
第2题图
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
3.到一个三角形三条边所在直线等距离的点有 个.
4.[2023秋·明水县期末]如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 .
第4题图
5.[2023秋·临洮县期中]如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为 .
第5题图三角形的内角平分线的性质定理
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
说明：在△ABC中，角平分线AD，BE相交于点P，过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PG⊥AB，就得出结论：PM＝PN＝PG.
用尺规作角的平分线
1.作法：如图.
(1)以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于D，E；
(2)分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点C；
(3)作射线OC，OC即为所求.
2.作法解释：
如图，连接DC，EC可得，
OD＝OE，DC＝EC，
又∵OC＝OC，
∴△DOC≌△EOC(SSS).
∴∠DOC＝∠EOC.
三角形的内角平分线
典例1图
典例1 [2023·张家口模拟]如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为点H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为( A )
A.2 B.3
C.4 D.5
连接IA，IB，IC，过点I作IM⊥AB于点M，IN⊥BC于点N，根据角平分线的性质得出IH＝IM＝IN，根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据图形得出S△ABC＝S△AIB＋S△BIC＋S△AIC，再代入求出IH即可.
解析：连接IA，IB，IC，
典例1图
过点I作IM⊥AB于点M，IN⊥BC于点N，
∵点I为△ABC各内角平分线的交点，IM⊥AB，IN⊥BC，IH⊥AC，
∴IH＝IM＝IN，
∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴S△ABC＝AB·BC＝×8×6＝24，
∵S△ABC＝S△AIB＋S△BIC＋S△AIC，
∴24＝AB·IM＋BC·IN＋AC·IH，
∵AB＝8，BC＝6，AC＝10，IH＝IM＝IN，
∴24＝×8·IH＋×6·IH＋×10·IH，
∴IH＝2.
变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，下列四个结论中正确的有( D )
①AD平分∠EDF ②AE＝AF ③AD上的点到B，C两点的距离相等 ④到直线AE，直线AF距离相等的点，到直线DE，直线DF的距离也相等
变式图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
角平分线作图的应用
典例2 以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为( B )
典例2图
A.3 B.2
C.3 D.4
根据作图方法可得AD是∠BAC的角平分线，利用角平分线的性质可得DB＝DE＝2，利用直角三角形30°角的性质可得AD的长，再根据勾股定理计算出AB的长即可.
解析：根据作图方法可得AD是∠BAC的角平分线，∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴DB＝DE＝2，
∵∠ADB＝60°，∴∠BAD＝30°，
∴AD＝4，∴AB＝＝2 .
变式 [2023春·惠济区期末]甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是( C )
变式图
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
1.[2024·通辽模拟]如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( C )
第1题图
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
2.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( A )
第2题图
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
3.到一个三角形三条边所在直线等距离的点有4个.
4.[2023秋·明水县期末]如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是31.5.
第4题图
5.[2023秋·临洮县期中]如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为8.
第5题图角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离 .
如图，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴ .
角平分线的性质定理的逆定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点 .
如图，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，PE＝PF，
∴ .
说明：具备P为∠AOB内部一点，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，且PE＝PF这样的条件，就能得出结论： .
应用角平分线性质定理的逆定理的前提条件要保证点在角的内部，该定理是证明两个角相等的常用方法.
角平分线的性质定理
典例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是△ABC的角平分线，AB＝5，CP＝2，则△APB的面积为( )
典例1图
A.5 B.10
C.20 D.12
变式 [2023·惠安县模拟]如图，△ABC中∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE⊥AB于点E，且DE＝5，则点D到AC边的距离是( )
A.10 B.6
C.5 D.4
角平分线的性质定理的逆定理
典例2图
典例2 [2023·泰州模拟]如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB，OA重合，另一边相交于点P，则OP平分∠BOA的依据是( )
A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角的两边距离相等
C.角平分线的性质
D.角平分线是轴对称图形
变式 [2023秋·周口期末]如图所示，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D，若BE＝CF，求证：AD平分∠BAC.
1.[2023春·会同县期末]如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4 cm，则点D到AB的距离DE是( )
A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm
第1题图
2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
第2题图
A.8 B.7.5
C.15 D.无法确定
3.如图，点P到AE，AD，BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上 ②点P在∠CBE的平分线上 ③点P在∠BCD的平分线上 ④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点，其中正确的是( )
第3题图
A.①②③ B.①②③④
C.②③ D.④
4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，求AC的长.
第4题图角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
如图，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴PE＝PF.
角平分线的性质定理的逆定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
如图，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，PE＝PF，
∴OP平分∠AOB(或∠AOP＝∠BOP).
说明：具备P为∠AOB内部一点，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，且PE＝PF这样的条件，就能得出结论：OP为∠AOB的平分线.
应用角平分线性质定理的逆定理的前提条件要保证点在角的内部，该定理是证明两个角相等的常用方法.
角平分线的性质定理
典例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是△ABC的角平分线，AB＝5，CP＝2，则△APB的面积为( A )
典例1图
A.5 B.10
C.20 D.12
过点P作PE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得到PE＝PC，即可求出点P到边AB的距离，然后利用三角形的面积公式求解即可.
解析：如图，过点P作PE⊥AB于点E，
典例1图
∵∠C＝90°，
∴PC⊥AC.
∵AP是△ABC的角平分线，CP＝2，
∴PE＝PC＝2.
∵AB＝5，
∴S△APB＝AB·PE＝×5×2＝5.
变式图
变式 [2023·惠安县模拟]如图，△ABC中∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE⊥AB于点E，且DE＝5，则点D到AC边的距离是( C )
A.10 B.6
C.5 D.4
角平分线的性质定理的逆定理
典例2图
典例2 [2023·泰州模拟]如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB，OA重合，另一边相交于点P，则OP平分∠BOA的依据是( A )
A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角的两边距离相等
C.角平分线的性质
D.角平分线是轴对称图形
过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB.
解析：如图所示，PE⊥AO，过两把直尺的交点P作PF⊥BO，
典例2图
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).
变式 [2023秋·周口期末]如图所示，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D，若BE＝CF，求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
变式图
在△BDE与△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DF＝DE，
∴AD平分∠BAC.
1.[2023春·会同县期末]如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4 cm，则点D到AB的距离DE是( B )
A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm
第1题图
2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( B )
第2题图
A.8 B.7.5
C.15 D.无法确定
3.如图，点P到AE，AD，BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上 ②点P在∠CBE的平分线上 ③点P在∠BCD的平分线上 ④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点，其中正确的是( B )
第3题图
A.①②③ B.①②③④
C.②③ D.④
4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，求AC的长.
第4题图
解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DF＝DE＝2.
又∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，AB＝5，
∴9＝×5×2＋×AC×2，
∴AC＝4.
