中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 因式分解 单元综合突破卷
一、单选题
1．若，则代数式A的值为（ ）
A．a B．n C． D．
2．若能分解为，则k的值是（ ）
A． B．2 C． D．8
3．下列因式分解错误的是（ ）
A．2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1）
B．x2+2x+1=（x+1）2
C．x2y﹣xy2=xy（x﹣y）
D．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
4．已知 ， ， ，则代数式 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是（ ）
A．962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200
B．962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200
C．962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200
D．962×95+962×5＝91390+4810＝96200
7．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）①x2﹣2x﹣1；② ﹣x+1；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2 ；⑥m2﹣m+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．对于①x-3xy=x(1-3y) ，②(x+3)(x-1)=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．①是因式分解，②是乘法运算
C．都是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
9．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B．m2+m﹣4=（m+3）（m﹣2）+2
C．x2+2x=x（x+2） D．
10．化简的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
11．分解因式x3y﹣6x2y+9xy＝ .
12．对于非零的两个实数a，b，规定aUb=a3-ab，那么将aU16进行分解因式的结果为 .
13． 因式分解 .
14．因式分解：18-2x2= 。
15．分解因式：（x﹣1）2﹣4= .
16．分解因式：4x2﹣12xy+9y2= ．
三、综合题
17．如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形．已知半圆形草坪的半径为，长方形草坪的长为．
（1）利用因式分解表示草坪的面积；
（2）当，时，求草坪的面积．（取3.14）
18．观察下列式子的因式分解做法：
①x2-1=(x-1)(x+1)；
②x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x（x2﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x+1）+1]
=（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x（x3﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
…
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想xn﹣1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．
45+44+43+42+4+1
= ×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）
= ×（46﹣1）
= ．
19．综合题
（1）因式分解：4x2﹣16
（2）解方程组 ．
20．解下列各题：
（1）分解因式： ；
（2）利用因式分解简便计算： ．
21．阅读并完成下列问题：
（1）分解下列因式，将结果写在横线上：
= ；= ； .
（2）观察以上三个多项式的系数，有
， ， ，
于是小明猜想：若多项式（a>0）是完全平方式，则实数系数a，b，c存在某种关系：请用数学式子表示a，b，c之间关系：.
（3）解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值.
22．分解因式：
（1）a2b2﹣2ab+1
（2）9（a+b）2﹣25（a﹣b）2．
（3）a2﹣2a+1﹣b2
（4）x2+y2+m2﹣2xy+2my﹣2mx．
23．如图，在一块长为2x米，宽为x米的长方形广场中心，留一块长为2y米，宽为y米的活动场地，其余的地方做花坛．
（1）求花坛的面积；
（2）当，，且修建花坛每平方米需花费50元时，则修建整个花坛需要多少元？
24．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用 进行因式分解；
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
25．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a +5ab+2b 可以因式分解为 .
（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 因式分解 单元综合突破卷
一、单选题
1．若，则代数式A的值为（ ）
A．a B．n C． D．
【答案】A
2．若能分解为，则k的值是（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】B
3．下列因式分解错误的是（ ）
A．2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1）
B．x2+2x+1=（x+1）2
C．x2y﹣xy2=xy（x﹣y）
D．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
【答案】A
【解析】【解答】A、原式=（x﹣2）（2x﹣1），符合题意；
B、原式=（x+1）2，不符合题意；
C、原式=xy（x﹣y），不符合题意；
D、原式=（x+y）（x﹣y），不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据因式分解的定义，将一个多项式化为几个整式的积的恒等变形就是因式分解，然后利用整式的乘法将变形的右边利用整式的乘法法则得出结果，和左边进行比较即可得出答案。
4．已知 ， ， ，则代数式 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴
故答案为：D.
【分析】通过已知条件可求得a-b，b-c，a-c的值，将代数式适当变形，将a-b，b-c，a-c的值代入即可求解.
5．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、左边不是多项式，不符合因式分解定义，故本选项不符合题意；
C、是恒等变形，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。根据因式分解的定义计算求解即可。
6．观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是（ ）
A．962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200
B．962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200
C．962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200
D．962×95+962×5＝91390+4810＝96200
【答案】A
【解析】【解答】解：计算962×95+962×5的值，最简单的方法先提取公因式962，
即962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200，
故答案为：A.
【分析】通过观察式子，两个加数项中分别存在一个962，所以采取的简便方法为提取公因式法，将962提出公因式，进行接下来的计算即可。
7．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）①x2﹣2x﹣1；② ﹣x+1；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2 ；⑥m2﹣m+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】①x2 2x 1，无法运用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
② ﹣x+1＝（ x 1）2，故此选项符合题意；
③ a2 b2，无法运用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
④ a2＋b2＝（b a）（b＋a），故此选项符合题意；
⑤x2 4xy＋4y2＝（x 2y）2，故此选项符合题意；
⑥m2﹣m+1，无法运用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2，平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），再逐一进行判断，可得到能用公式法分解因式的式子。
8．对于①x-3xy=x(1-3y) ，②(x+3)(x-1)=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．①是因式分解，②是乘法运算
C．都是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得，①为因式分解，②为乘法运算
故答案为：B.
【分析】根据整式乘法的定义以及因式分解的定义，判断得到答案即可。
9．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B．m2+m﹣4=（m+3）（m﹣2）+2
C．x2+2x=x（x+2） D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）=x2﹣1不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误；
B、右边不全是整式积的形式，还有加法，故本选项错误；
C、x2+2x=x（x+2）符合因式分解的定义，故本选项正确；
D、右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误．
故选C．
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
10．化简的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
二、填空题
11．分解因式x3y﹣6x2y+9xy＝ .
【答案】xy（x-3）2
【解析】【解答】解：原式=xy（x2-6x+9）=xy（x-3）2，
故答案为：xy（x-3）2
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
12．对于非零的两个实数a，b，规定aUb=a3-ab，那么将aU16进行分解因式的结果为 .
【答案】a(a-4)(a+4)
【解析】【解答】解： aU16
=a3-16a
=a（a2-16）
=a(a-4)(a+4)，
故答案为：a(a-4)(a+4).
【分析】先根据新定义的运算法则将原式转化为多项式a3-16a，然后提取公因式a，再利用平方差公式继续分解，即可得出结果.
13． 因式分解 .
【答案】（m-2）4
【解析】【解答】解：原式=（m2-4m+4）2=（m-2）4.
故答案为：（m-2）4.
【分析】将（m2-4m）看着整体，利用完全平方公式将原式分解为（m2-4m+4）2，再利用完全平方公式分解因式即可.
14．因式分解：18-2x2= 。
【答案】2（3+x）（3-x）
【解析】【解答】解： 18-2x2=2（9-x2）= 2（3+x）（3-x）
故答案为：2（3+x）（3-x）
【分析】观察此多项式有公因数，因此先提取公因数，再利用平方差公式分解因式。
15．分解因式：（x﹣1）2﹣4= .
【答案】（x+1）（x﹣3）
【解析】【解答】解：（x﹣1）2﹣4，
=（x﹣1）2﹣22，
=（x﹣1﹣2）（x﹣1+2），
=（x﹣3）（x+1），
故答案为：（x﹣3）（x+1）．
【分析】直接利用平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行分解即可．
16．分解因式：4x2﹣12xy+9y2= ．
【答案】（2x﹣3y）2
【解析】【解答】解：原式=（2x﹣3y）2．
故答案是：（2x﹣3y）2．
【分析】利用完全平方公式即可直接分解．
三、综合题
17．如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形．已知半圆形草坪的半径为，长方形草坪的长为．
（1）利用因式分解表示草坪的面积；
（2）当，时，求草坪的面积．（取3.14）
【答案】（1）
（2）
18．观察下列式子的因式分解做法：
①x2-1=(x-1)(x+1)；
②x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x（x2﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x+1）+1]
=（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x（x3﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
…
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想xn﹣1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．
45+44+43+42+4+1
= ×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）
= ×（46﹣1）
= ．
【答案】（1）解：x5﹣1
=x5﹣x+x﹣1
=x（x4﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x3+x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x3+x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
（2）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）
（3）解：
【解析】【解答】解：(2)xn﹣1
=xn﹣x+x﹣1
=x（xn-1﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（xn-2+xn-3+…+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（xn-2+xn-3+…+x+1）+1]
=（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）；
【分析】（1）类比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可；（2）由分解的规律直接得出答案即可；（3）把式子乘4﹣1，再把计算结果乘 即可．
19．综合题
（1）因式分解：4x2﹣16
（2）解方程组 ．
【答案】（1）解：原式=4（x2﹣4）=4（x+2）（x﹣2）
（2）解： ，
由②得：y=4x﹣13③，
把③代入①得：3x+2（4x﹣13）=7，
解得：x=3，
解得：y=4×3﹣13=﹣1，
∴原方程组的解为
【解析】【分析】（1）第1题先提公因式再运用平方差公式；（2）采用代入消元法简单些..
20．解下列各题：
（1）分解因式： ；
（2）利用因式分解简便计算： ．
【答案】（1）解；
（2）解；
【解析】【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用完全平方公式计算求解即可。
21．阅读并完成下列问题：
（1）分解下列因式，将结果写在横线上：
= ；= ； .
（2）观察以上三个多项式的系数，有
， ， ，
于是小明猜想：若多项式（a>0）是完全平方式，则实数系数a，b，c存在某种关系：请用数学式子表示a，b，c之间关系：.
（3）解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值.
【答案】（1）(x+3)2；(4x+1)2；(3x-2)2
（2）b2=4ac
（3）解：由（2）知，，
4m2-24m+36=40-24m，
m2=1，
解得，
【解析】【解答】解：（1）x2+6x+9=(x+3)2；16x2+8x+1=(4x+1)2；9x2-12x+4=(3x-2)2.
故答案为：(x+3)2；(4x+1)2；(3x-2)2.
【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解即可；
（2）观察可得a、b、c之间的关系；
（3）由（2）知：[-2(m-3)]1=4(10-6m)，求解即可.
22．分解因式：
（1）a2b2﹣2ab+1
（2）9（a+b）2﹣25（a﹣b）2．
（3）a2﹣2a+1﹣b2
（4）x2+y2+m2﹣2xy+2my﹣2mx．
【答案】（1）解：a2b2﹣2ab+1=（ab﹣1）2
（2）解：原式=[3（a+b）+5（a﹣b）][3（a+b）﹣5（a﹣b）]
=4（4a﹣b）（﹣a+4b）
（3）解：a2﹣2a+1﹣b2
=（a﹣1）2﹣b2
=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）
（4）解：x2+y2+m2﹣2xy+2my﹣2mx
=（x﹣y）2﹣2m（x﹣y）+m2
=（x﹣y﹣m）2
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（3）将前三项利用完全平方公式分解因式进而结合平方差公式分解因式得出答案；（4）利用分组分解法以及结合完全平方公式分解因式得出答案．
23．如图，在一块长为2x米，宽为x米的长方形广场中心，留一块长为2y米，宽为y米的活动场地，其余的地方做花坛．
（1）求花坛的面积；
（2）当，，且修建花坛每平方米需花费50元时，则修建整个花坛需要多少元？
【答案】（1）解：根据题意可知长方形广场的面积为平方米活动场地的面积为平方米，
故花坛的面积为平方米；
（2）解：当，时，，
（平方米），
答：修建整个花坛需要80000元．
【解析】【分析】（1）花坛的面积=大长方形的面积-空白长方形的面积，据此计算即可；
（2）根据总费用= 每平方米的费用×花坛总面积计算即得.
24．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用 进行因式分解；
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）完全平方公式
（2）否；
（3）解：设，
则原式
【解析】【分析】(1)从第三步的结果可得出结论；
(2)观察最后结果中的x2-4x+4是否还能因式分解，得出结论；
(3)设x2 2x=y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解。
25．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a +5ab+2b 可以因式分解为 .
（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积.
【答案】（1）（a+2b）（2a+b）
（2）解：由已知得：
化简得
②平方的：
化简得：
将①代入③得到：ab=24
∴空白部分的面积为 5ab=120（）
【解析】【解答】（1） 2a +5ab+2b = （a+2b）（2a+b）
解：由已知得：
化简得
∴
∴ab=24
∴空白部分的面积为 5ab=120（平分厘米）
【分析】（1）利用等面积法即可得到答案。图中大长方形的面积可以用面积公式S=长×宽=（a+2b）（2a+b），也可以看成是 2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形组成，即S= 2a +5ab+2b ，所以 2a +5ab+2b = （a+2b）（2a+b）；
（2）图中阴影部分的面积为 、大长方形纸板的周长为、根据题意联立方程解得ab，即可得到空白部分的面积6ab.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
