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第8章 三角形 单元专项测试卷
一、单选题
1．如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠DEA等于（ ）
A．22° B．158° C．68° D．112°
2．如图，CM是的中线，，则BM的长为（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
3．如图，把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（ ）
A．正三角形和正方形 B．正方形和正六边形
C．正三角形和正六边形 D．正五边形和正十边形
5．下列多边形中，内角和为720°的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列叙述中，正确的是（ ）
A．三角形的外角等于两个内角的和
B．三角形每一个内角都只有一个外角
C．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和
D．三角形的外角大于内角
7．如图，是的中线，P是直线上的一个动点．若的面积是10，，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
8．如图，AB∥CD，E是BC延长线上一点，若∠B=50°，∠D=20°，则∠E的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
9．如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360 C．270° D．540°
二、填空题
11．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC= ∠BAC．
其中正确的结论有 个．
12．用长度为8cm，9cm，10cm的三条线段 构成三角形．（填“能”或“不能”）
13．如图，AB∥CD，CP交AB于点O，AO=PO，若∠A=35°，则∠C= °．
14．如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=100°，则∠BOC的度数为 ．
15．如图，在中，平分，于点E，，，则 °．
16．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 ．
三、综合题
17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.
（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度数.
（2）若DE＝4，试添加一个条件，并求出BC的长度.
18．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如图1，连DE，求∠BDE的度数；
（2）如图2，过E作EF⊥AB于F，求证：∠FED=∠CED；
（3）在（2）的条件下，若BF=2，求CE的长．
19．一副三角板ABC与DEF中，，，，.
（1）将这副三角板的点A与E重合，拼成如图1所示的图案，则 °； °； °；
（2）将这副三角板的点C与点F重合，拼成如图2的图案，CN平分∠ACE，CM平分∠DCB，若，求∠MCN的度数；
（3）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针旋转到图3的图案，若CN平分∠ACE，CM平分∠DCB，若，求∠MCN的度数.
20．已知△ABC中，∠A=30°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= °．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BOn﹣1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=60°，求n的值．
21．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D．得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
22．∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.
（1）若∠A=58 ，求：∠E的度数.
（2）猜想∠A与∠E的关系，并说明理由.
23．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O.
（1）若 ， ， ，求 的度数；
（2）试猜想 与 之间的关系，并证明你猜想的正确性.
24．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
25．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．
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第8章 三角形 单元专项测试卷
一、单选题
1．如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠DEA等于（ ）
A．22° B．158° C．68° D．112°
【答案】D
2．如图，CM是的中线，，则BM的长为（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
【答案】C
【解析】【解答】解：∵CM是△ABC的中线，AB=10cm，
∴AM=BM=AB==5cm.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中线的概念：三角形一边的中点与所对顶点的连线叫做三角形的中线，据此可解此题.
3．如图，把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（ ）
A．正三角形和正方形 B．正方形和正六边形
C．正三角形和正六边形 D．正五边形和正十边形
【答案】B
【解析】【解答】A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，3×60°+2×90°=360°，故能铺满，不合题意；B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意；C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能铺满，不合题意；D、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，2×108°+1×144°=360°，故能铺满，不合题意．故选：B．
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
5．下列多边形中，内角和为720°的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：三角形的内角和为：
四边形的内角和为：
五边形的内角和为：
六边形的内角和为：
故答案为：D．
【分析】利用多边形的内角和求解即可。
6．下列叙述中，正确的是（ ）
A．三角形的外角等于两个内角的和
B．三角形每一个内角都只有一个外角
C．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和
D．三角形的外角大于内角
【答案】C
【解析】【解答】解：A、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项错误；
B、三角形每一个内角都有两个外角，故本选项错误；
C、符合三角形外角的性质，故本选项正确；
D、三角形的外角大于和它不相邻的一个内角，故本选项错误．
故选C．
【分析】根据三角形外角的性质对各选项进行逐一分析即可．
7．如图，是的中线，P是直线上的一个动点．若的面积是10，，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
8．如图，AB∥CD，E是BC延长线上一点，若∠B=50°，∠D=20°，则∠E的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠B=50°，
又∵∠BCD是△CDE的外角，
∴∠E=∠BCD﹣∠D=50°﹣20°=30°．
故选：B．
【分析】根据平行线的性质，得出∠BCD=∠B=50°，再根据∠BCD是△CDE的外角，即可得出∠E．
9．如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】D
【解析】【解答】∵四边形ADA′E的内角和为(4-2)·180°=360°，
而由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，
∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE=360°-∠A-∠A′=360°-2×70°=220°，
∴∠1+∠2=180°×2-(∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE)=140°.
故答案为：D
【分析】根据折叠的性质可知△ADE≌△，因为三角形内角和为，所以可知∠AED+∠ADE=，
所以可知∠1+∠2=.
10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360 C．270° D．540°
【答案】B
【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G.
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D.
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.
二、填空题
11．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC= ∠BAC．
其中正确的结论有 个．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°﹣∠ABD，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°﹣ ∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤正确；
即正确的有4个，
故答案为：4．
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
12．用长度为8cm，9cm，10cm的三条线段 构成三角形．（填“能”或“不能”）
【答案】能
【解析】【解答】解：∵8+9＞10，
∴长度为8cm，9cm，10cm的三条线段能构成三角形．
故答案是：能．
【分析】根据三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，即两较短的边的和小于最长的边，即可作出判断．
13．如图，AB∥CD，CP交AB于点O，AO=PO，若∠A=35°，则∠C= °．
【答案】70
【解析】【解答】解：∵AO=PO，∠A=35°，
∴∠P=∠A=35°．
∵∠POB是△AOP的外角，
∴∠POB=∠P+∠A=70°．
∵AB∥CD，
∴∠C=∠POB=70°．
故答案为：70.
【分析】根据外角的性质以及两直线平行，同位角相等，可得出∠C的度数。
14．如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=100°，则∠BOC的度数为 ．
【答案】140°
【解析】【解答】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB），
∵∠A=100°，
∴∠OBC+∠OCB= （180°﹣100°）=40°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣40°
=140°．
故答案为：140°
【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数．
15．如图，在中，平分，于点E，，，则 °．
【答案】70
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：70．
【分析】先求出，再根据角平分线的定义可得，最后利用三角形的内角和求出即可。
16．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 ．
【答案】120°
【解析】【解答】解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×120°=120°．
故答案为：120°．
【分析】由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°，由角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再次利用三角形内角和可得∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB），据此即可得解.
三、综合题
17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.
（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度数.
（2）若DE＝4，试添加一个条件，并求出BC的长度.
【答案】（1）解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠BCD=∠ACD，
∵∠A＝90°，∠B＝40°，
∴∠ACB=50°，
∴∠BCD=∠ACD=25°，
∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠CDE=25°；
（2）解：添加的条件为 ，
∵DE＝4，
∴ .
【解析】【分析】（1）由题意易得∠BCD=∠ACD，∠ACB=50°，则有∠BCD=∠CDE，进而问题可求解；（2）根据题意可添加 这个条件，然后问题可求解.
18．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如图1，连DE，求∠BDE的度数；
（2）如图2，过E作EF⊥AB于F，求证：∠FED=∠CED；
（3）在（2）的条件下，若BF=2，求CE的长．
【答案】（1）解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵AC=BC，BD=AC，
∴BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC= =67.5°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣67.5°=22.5°，
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED，
∴∠BDE=∠ACD=22.5°
（2）解：由（1）有∠BDE=22.5°，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°﹣∠BDE=67.5°，
由（1）有，△ADC≌△BED，
∴DC=DE，
∴∠DEC=∠BCD=67.5°，
∴∠DEF=∠DEC，
即：∠FED=∠CED
（3）解：如图2，
由（1）知CD=DE，
∴∠DCE=∠DEC=67.5°，
∴∠CDE=45°，
过D作DM⊥CE于M，
∴CM=ME= CE，∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°，
∵EM⊥DM，EF⊥DB，
∴EF=ME，
∵∠BFE=90°，∠B=45°，
∴∠BEF=∠B=45°，
∴EF=BF，
∴CE=2ME=2EF=2BF=4．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和SAS可证△BDE≌△ACD，再根据等腰直角三角形的性质即可得到∠BDE的度数；（2）先由EF⊥AB和∠BDE=22.5°，求出∠BED，再由（1）结论推导出∠BCD=∠DEC=67.5°即可．（3）由（1）知CD=DE，根据等腰三角形的性质和角的和差关系可得∠CDE=45°，过D作DM⊥CE于M，根据角平分线的性质以及等量关系即可得到CE的长
19．一副三角板ABC与DEF中，，，，.
（1）将这副三角板的点A与E重合，拼成如图1所示的图案，则 °； °； °；
（2）将这副三角板的点C与点F重合，拼成如图2的图案，CN平分∠ACE，CM平分∠DCB，若，求∠MCN的度数；
（3）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针旋转到图3的图案，若CN平分∠ACE，CM平分∠DCB，若，求∠MCN的度数.
【答案】（1）135；60；105
（2）解：∵CN平分∠ACE，
∴ .
∵CM平分∠DCB，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
（3）解：∵CN平分∠ACE，
∴ .
∵CM平分∠DCB，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
故答案为：135，60，105.
【分析】（1）根据邻补角的性质可得∠BCD=180°-∠BCA=135°，根据余角的性质可得∠PAB=90°-∠DEF，由外角的性质可得∠APC=∠B+∠PAB，据此计算；
（2）根据角平分线的概念可得∠NCE=(45°+α)，∠MCB=(60°+α)， 然后根据∠MCN=∠NCE+∠MCB-∠BCE进行计算；
（3）根据角平分线的概念可得∠NCE=(45°-β)，∠MCB=(60°-β)， 然后根据∠MCN=∠NCE+∠MCB+∠BCE进行计算.
20．已知△ABC中，∠A=30°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= °．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BOn﹣1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=60°，求n的值．
【答案】（1）105
（2）80
（3）解：∵点On﹣1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB= （∠ABC+∠ACB）= ×150°，
∴∠BOn﹣1C=180°﹣ ×150°
（4）解：由（3）得：180°﹣ ×150°=60°，
解得：n=5．
【解析】【解答】解：∵∠BAC=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
⑴∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=75°，
∴∠BOC=105°；
⑵∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠O2BC+∠O2CB= （∠ABC+∠ACB）=100°，
∴∠BO2C=80°；
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．（2）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O2BC+∠O2CB，即可求出∠BO2C．（3）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠On﹣1BC+∠On﹣1CB，即可求出∠BOn﹣1C．（4）依据（3）的结论即可求出n的值．
21．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D．得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【答案】（1）解：不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D．
延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BED，
又∵∠BPD=∠BED+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；
（2）解：结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．
连接QP并延长，
∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，
∴∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP，
∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D；
（3）解：由（2）的结论得：∠AFG=∠B+∠E．∠AGF=∠C+∠D．
又∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
（或由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E且∠AGB=∠CGD，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
【解析】【分析】本题主要考查了平行线性质，三角形外角性质，四边形的内角和定理等知识点的应用，根据三角形外交性质均可得出答案.
22．∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.
（1）若∠A=58 ，求：∠E的度数.
（2）猜想∠A与∠E的关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得：∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E.
∵∠A=58°，∴∠E=29°
（2）解：∠E = ∠A.理由如下：
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得：∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E，∴∠E = ∠A
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE ，利用三角形的外角性质可得 ∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE， 再根据等量代换及∠A的度数即可求出∠E的度数.（2）由角平分线的定义可得∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE ，利用三角形的外角性质可得 ∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE， 再利用等量代换即可证出∠E = ∠A
23．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O.
（1）若 ， ， ，求 的度数；
（2）试猜想 与 之间的关系，并证明你猜想的正确性.
【答案】（1）解： ， ，
；
，
；
（2） .
理由：
， ，
.
【解析】【分析】（1）由外角的性质可得∠BDO=∠A+∠C=90°，然后在△BOD中，应用内角和定理就可求出∠B的度数；
（2）由外角的性质可得∠BEC=∠A+∠B，∠BOC=∠BEC+∠C，据此解答.
24．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
【答案】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20=18，18×10=180（米），
答：小明一共走了180米；
（2）解：根据题意得：
（18﹣2）×180°=2880°，
答：这个多边形的内角和是2880度．
【解析】【分析】（1）由正多边形的一个外角为20°可得正多边形的边数，进而可得小明所走的路程；（2）由多边形的内角和公式可得多边形的内角和的度数。
25．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．
【答案】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD为等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和谐线
（2）解：由题意作图为：图2，图3
（3）解：∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如图4，
当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如图5，
当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如图6，
当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE= AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF= BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE= ∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
【解析】【分析】（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在 中点时构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．
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