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第19章 矩形、菱形与正方形 单元同步培优卷
一、单选题
1． 已知四边形 的对角线 交于点 ．若 ， 则该四边形（ ）
A．可能不是平行四边形 B．一定是矩形
C．一定是菱形 D．一定是正方形
2．如图，在菱形ABCD中，，，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．96 B．100 C．120 D．192
3．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角互补
4．如图，矩形中，E为边的中点，沿对折矩形，使点C落在处，折痕为，延长交于点F，连接并延长交于点G，连接．给出以下结论：①四边形为平行四边形；②；③；④为的中点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点B落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
6．如图，四边形的对角线，交于点O，且，，下列说法错误的是（ ）
A．若，则是菱形
B．若，则是矩形
C．若且，则是正方形
D．若，则是正方形
7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝90°
8．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
9．如图，在矩形 中， 是 的中点，将 折叠后得到 ，点 在矩形内部，延长 交 于点 ，若 ， ，则折痕 的长为（ ）
A． B． C．3 D．
10．如图所示，在矩形纸片 中， ，点 分别是矩形的边 上的动点，将该纸片沿直线 折叠．使点 落在矩形边 上，对应点记为点 ，点 落在 处，连接 与 交于点 ．则下列结论成立的是（ ）
① ；②当点 与点 重合时 ；③ 的面积 的取值范围是 ；④当 时， ．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
二、填空题
11．如图，在正方形ABCD中， 的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM= ， AB= ，MN=
12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 ．
13．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步．
14．如图，菱形 的顶点A在x轴的正半轴上， ，顶点B，D的纵坐标相同.已知点B的横坐标为14，若过点D的双曲线 恰好经过 的中点E，则 .
15．如图矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB= ．
16．（2011山东烟台，17，4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
三、综合题
17．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
18．如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝70°.
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数.
19．在 中， ，点 为直线 上一动点（点 不与 重合），以 为边在 右侧作正方形 ，连接
（1）探究猜想如图1，当点 在线段 上时，
① 与 的位置关系为 ；
② 之间的数量关系为 ；
（2）深入思考：如图2，当点 在线段 的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出符合题意结论再给予证明．
（3）拓展延伸如图3，当点 在线段 的延长线上时，正方形 对角线交于点 ．若已知 ，请求出 的长．
20．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意， ， ， ；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送 ．
21．如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B、C、E三点在同一条直线上，连接BF，交CD与点G.
（1）求证：CG=CE
（2）若正方形边长为4.求菱形BDFE的面积
22．如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，点 ， 分别在 和 的延长线上，且 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）当 平分 时，四边形 是什么特殊的四边形？请说明理由．
23．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（3，0），B（0， 4）．
（1）求点C的坐标；
（2）求经过点C，D两点的一次函数的解析式．
24．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在原点。
（1）如图①，点C的坐标为（ ， ），且实数 ， 满足 ，求C点的坐标及线段OC的长度；
（2）如图②，点F在BC上，AB交x轴于点E，EF，OC的延长线交于点G，EG=OG，求∠EOF的度数；
（3）如图③，将（1）中正方形OABC绕点O顺时针旋转，使OA落在y轴上，E为AB上任意一点，OE的垂直平分线交x轴于点G，交OE于点P，连接EG交BC于点F，求△BEF的周长。
25．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B.
（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；
（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2.
①求线段AD的长；
②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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第19章 矩形、菱形与正方形 单元同步培优卷
一、单选题
1． 已知四边形 的对角线 交于点 ．若 ， 则该四边形（ ）
A．可能不是平行四边形 B．一定是矩形
C．一定是菱形 D．一定是正方形
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=OA+OC，BD=OB+OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形。
故答案为：B。
【分析】根据平行四边形的判定和矩形的判定求解即可。
2．如图，在菱形ABCD中，，，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．96 B．100 C．120 D．192
【答案】A
3．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角互补
【答案】C
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；
B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；
C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；
D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．
故选C．
【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．
4．如图，矩形中，E为边的中点，沿对折矩形，使点C落在处，折痕为，延长交于点F，连接并延长交于点G，连接．给出以下结论：①四边形为平行四边形；②；③；④为的中点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解∵E为BC的中点，则BE=EC=EC'
∴ ∠C' BC+∠C' CB+∠BC' C=180°，∠BC' E+∠EC' C+∠BC' C=180°
2∠BC' C=180°
∴∠BC' C=90°，则DE∥ BG
∵DG∥ BE
∴四边形BEDG为平行四边形，即①正确
∵∠DCB=∠DC' E=90°
∴∠EC' C+∠BC' E=∠BC' F+∠BC' E=90°，
∴，即②正确
∵∠GC' D=∠FC' B=∠EC' C=∠ECC'，
∴当GC'=GD时∠GDC'=∠ECC'
∴∠C' DC=∠C' CD，
∴△C' CD为等边三角形，
即∠C' DC=60°，∠ADC'=120°，而∠A=90°，不符合三角形内角和定理，矛盾，故③不正确
若C' 为BG的中点，
∵DE⊥CC'，DG∥ BE
∴DE'∥BC
∴C' 在GB边的垂直平分线上
∴BC=CG，
而BC=CG不一定成立，则④不正确
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和得出∠BC' C=90°，即可判断①．根据翻折的性质，加上正方形所有内角都是直角，再由同角的余角相等，即可判断②；假设GC'=GD，则△C' CD为等边三角形，∠ADC' 是钝角，得出矛盾，即可判断③，假设C' 为BG的中点得出BC=CG，根据题意，不一定成立，即可判断④．
5．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点B落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠B=∠D=90°，AD=BC，
∵ 矩形沿AC折叠，点B落在点B'处，
∴ ∠B'=∠B=90°，BC=B'C，
∵ ∠AFD=∠CFB'，
∴ △ADF≌△CB'F（AAS），
∴ AF=CF，
设AF=CF=x，则B'F=8-x，
在Rt△B'CF中，42+（8-x）2=x2，
解得，x=5，
∴ △AFC的面积=CF·BC=10.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质可得∠B=∠D=90°，AD=BC，由翻折的性质可得∠B'=∠B=90°，BC=B'C，依据AAS判定△ADF≌△CB'F，再根据勾股定理求得CF，最后根据三角形的面积公式计算即可.
6．如图，四边形的对角线，交于点O，且，，下列说法错误的是（ ）
A．若，则是菱形
B．若，则是矩形
C．若且，则是正方形
D．若，则是正方形
【答案】D
【解析】【解答】解：因为在 四边形 中，，所以四边形为平行四边形，对于A选项： 若 ， 则平行四边形是菱形 ，故A选项正确；对于B选项： 若，则平行四边形是矩形 ，则B选项正确； 若且，则平行四边形是正方形 ，故C选项正确；对于D选项：若，则平行四边形为矩形，故D选项错误.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查平行四边形及特殊四边形的判定，先根据题意可以判定四边形为平行四边形，然后再根据特殊四边的判定逐项判定即可.
7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝90°
【答案】D
【解析】【解答】解：A、由AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得出平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B、由AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得出平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C、由∠1＝∠2，根据对角线平分一组对角的平行四边形是菱形可得出平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D、由∠ABC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得出平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；有一个角为直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.
8．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
9．如图，在矩形 中， 是 的中点，将 折叠后得到 ，点 在矩形内部，延长 交 于点 ，若 ， ，则折痕 的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接EH，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵将△ABE折叠后得到△AFE，
∴∠AFE＝∠B＝90°，BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵矩形ABCD，
∴∠C＝90°，
∴Rt△EFH≌Rt△ECH（HL），
∴CH＝FH，
∵AD＝4，CH＝ ，
设AB＝x，则有AH＝x+ ，DH＝x﹣ ，
在Rt△ADH中， ＝42+ ，
∴x＝3，
在Rt△ABE中，BE＝2，AB＝3，
∴AE＝ ，
故答案为：A.
【分析】连接EH，证明Rt△EFH≌Rt△ECH（HL），可得CH＝FH，设AB＝x，则有AH＝x+ ，DH＝x﹣ ，在Rt△ADH中，由勾股定理可得 ＝42+ ，解出x值即得AB，在Rt△ABE中，再次利用勾股定理求出AE即可.
10．如图所示，在矩形纸片 中， ，点 分别是矩形的边 上的动点，将该纸片沿直线 折叠．使点 落在矩形边 上，对应点记为点 ，点 落在 处，连接 与 交于点 ．则下列结论成立的是（ ）
① ；②当点 与点 重合时 ；③ 的面积 的取值范围是 ；④当 时， ．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】【解答】解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形，
∴EF⊥BG且BN=GN，
若BN=AB，则BG=2AB=6，
又∵点E是AD边上的动点，
∴3故①不符合题意；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3，
在Rt△ABE中
即
解得：AE= ，
∴BF=DE=6- = ．
∴HF= - = ．
在Rt△EFH中
= ；
故②符合题意；
③当点E与点A重合时，如图所示， 的面积 有最小值= = ，
当点G与点D重合时 的面积 有最大值= = ．
故 < < ．
故③不符合题意．
④因为 ，则EG=BF=6- = ．根据勾股定理可得ME= ，
∴ ．
故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质，直角三角形的性质，判断得到答案即可。
二、填空题
11．如图，在正方形ABCD中， 的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM= ， AB= ，MN=
【答案】12；
【解析】【解答】解：如图，连接MG、NG，
在 和 中，
，
∴ ，
同理 ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
同理 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ .
故答案为：12， .
【分析】连接MG、NG，由题意用HL定理可证Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGE，由全等三角形的性质可得BE=EG，FD=FG，∠BAM=∠GAM，结合线段的构成得EF=EG+GF可求得EF的值；设AB=x，则CE=x-4，CF=x-6， 在Rt△CEF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值（即为AB的值）；于是BD=AB=x；用边角边可证△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，由全等三角形的性质可得BM=GM，∠ABM=∠AGM，ND=NG，∠ADN=∠AGN，结合已知易证△MGN是直角三角形，设MN=y，在直角三角形MGN中，用勾股定理可得关于y的方程，解方程即可求解.
12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO=CO，
∵AC= =4 ，∴AO= AC=2 ，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴ ，∴ ，
∴AE=5．
故答案为5．
【分析】首先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AOE（AAS），即可得OA=OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
13．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步．
【答案】12
【解析】【解答】设长为x步，宽为(60-x) 步，
x(60-x)=864 ，
解得，x1=36，x2=24(舍去)，
∴当x=36 时，60-x=24 ，
∴长比宽多：36-24=12 (步)，
故答案为：12．
【分析】根据题意，设长为x步，宽为(60-x) 步，根据矩形的面积即可得到关于x的解析式，得到答案即可。
14．如图，菱形 的顶点A在x轴的正半轴上， ，顶点B，D的纵坐标相同.已知点B的横坐标为14，若过点D的双曲线 恰好经过 的中点E，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：过点B、D分别作BG⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为G、F，连接BD并延长交y轴于点H，
∴∠DFA=∠BGA=90°
∵顶点B，D的纵坐标相同，
∴BH∥OA，
∴OGBH是矩形，
∴BG＝DF=OH，
∵ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠C＝60°，
在Rt△ADF和Rt△ABG中
∴Rt△ADF≌Rt△ABG（HL），
∴∠DAF＝∠BAG＝（180° 60°）÷2＝60°，
∴∠FDA＝30°，
∴FA＝AG＝AD，
设FA＝a，OF＝b，则AD＝2a，DF＝a，
∴D（b，a），B（b＋2a，a）
∵E是AB的中点，
∴E（b＋a，a）
∵点D、E都在反比例函数的图象上，
∴
∵点B的横坐标为14，
b+2a=14
∴
解之：a=4，
∴b=6；
∴D
∴
故答案为：.
【分析】过点B、D分别作BG⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为G、F，连接BD并延长交y轴于点H，可证得∠DFA=∠BGA=90°，利用顶点B，D的纵坐标相同，可得到BH∥OA，由此可证得四边形OGBH是矩形，利用矩形的性质可证得BG＝DF=OH，利用菱形的性质可得到AD＝AB，∠DAB＝∠C＝60°，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ABG，利用全等三角形的性质可证得∠DAF＝∠BAG＝60°，同时可求出∠FDA=30°，利用30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可证得FA＝AG＝AD，设FA＝a，OF＝b，则AD＝2a，DF＝a，可表示出点D，B的坐标，同时可表示出点E的坐标；然后根据点D、E都在反比例函数的图象上，可得到a，b之间的数量关系；根据点B的横坐标，可得到b+2a=14，联立方程组，解方程组求出a，b的值；将点D的坐标代入函数解析式，可求出k的值.
15．如图矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB= ．
【答案】
16．（2011山东烟台，17，4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
【答案】2
三、综合题
17．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF（ ASA ），
∴AE=DF
（2）解：若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵若AD平分∠BAC∴∠EAD=∠DAF，又∵∠ADE=∠DAF，
∴∠EAD=∠ADE
∴AE=DE．
∴平行四边形AEDF为菱形
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠ADE=∠DAF，∠DAE=∠FDA，又AD=DA，根据ASA判断出△ADE≌△DAF，根据全等三角形对应边相等得出AE=DF
（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形，根据角的平分线，及等量代换得出∠EAD=∠ADE，根据等角对等边得出AE=DE．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论。
18．如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝70°.
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数.
【答案】（1）解：如图所示，直线EF即为所求；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=70°，DC//AB，∠A=∠C.
∴∠ABC=140°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=40°，
∵EF垂直平分线线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=40°，
∴∠DBF=∠ABD－∠FBE=30°
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）由菱形的性质可得∠ABD=∠DBC=∠ABC=70°，DC//AB，∠A=∠C，由平行线的性质可得∠ABC+∠C=180°，据此可得∠ABC、∠C的度数，由垂直平分线的性质可得AF=FB，然后根据等腰三角形的性质以及角的和差关系求解即可.
19．在 中， ，点 为直线 上一动点（点 不与 重合），以 为边在 右侧作正方形 ，连接
（1）探究猜想如图1，当点 在线段 上时，
① 与 的位置关系为 ；
② 之间的数量关系为 ；
（2）深入思考：如图2，当点 在线段 的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出符合题意结论再给予证明．
（3）拓展延伸如图3，当点 在线段 的延长线上时，正方形 对角线交于点 ．若已知 ，请求出 的长．
【答案】（1）垂直；BC=CF+CD
（2）解：CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．
（3）解：∵∠BAC=90°，AB=AC= ，
∴BC=4，
∴CD= BC=1，
∴BD=5，
由（2）同理可证得△DAB≌△FAC，
∴BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴OD=OF，
∵∠DCF=90°，
∴DF= ，
∴OC= ．
【解析】【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABC=∠ACF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACB+∠ACF═45°+45°=90°，
即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；
【分析】（1）①根据正方形的性质得出∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC（SAS），根据全等三角形的性质即可得出结果；②由值分析ADEF的性质推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得出CF=BD，根据余角的性质得出答案；
（2）根据正方形的性质得出∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC（SAS），根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的角的性质即可得出结论；
（3）利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得出结论。
20．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意， ， ， ；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送 ．
【答案】（1）；3；1
（2）解：，
，
设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即秋千的长度是；
（3）4
【解析】【解答】解：（1）由题意得FB=1.5m，CB=3m，ED=0.5m，四边形BCEF为矩形，
∴CE=1.5m，
∴DC=1.5-0.5=1m，
故答案为：1.5，3，1
（3）当 时， ，
，
，
由（2）可知， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即需要将秋千 往前推送 ，
故答案为：4．
【分析】（1）根据题意结合矩形的判定与性质即可求解；
（2）先根据垂直得到，设秋千的长度为，则，，再运用勾股定理即可求解；
（3）当 时， ，由（2）可知， ，进而得到AC，再运用勾股定理即可求解。
21．如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B、C、E三点在同一条直线上，连接BF，交CD与点G.
（1）求证：CG=CE
（2）若正方形边长为4.求菱形BDFE的面积
【答案】（1）解：连接DE，
∵正方形ABCD
∴BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°
∵菱形BDFE
∴DE⊥BF，
∵∠ODG+∠OGD=90 ，∠CBG+∠CGB=90 ，∠CGB=∠OGD
∴∠CDE=∠CBG，
在△BCG和△DCE中
∴△BCG≌△DCE(ASA)，
∴CG=CE
（2）解：∵正方形ABCD
∴BC=DC，∠BCD=90°
∴BD=BE==4
∴菱形BDFE的面积为：BEDC=4×4=16
答：菱形BDFE的面积为16.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可证得BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°，再根据菱形的性质，可证得∠CDE=∠CBG，然后根据ASA证明△BCG和△DCE，利用全等三角形的性质，即可证得结论。
（2）利用勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积即可求解。
22．如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，点 ， 分别在 和 的延长线上，且 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）当 平分 时，四边形 是什么特殊的四边形？请说明理由．
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
即 ，
四边形 是平行四边形，
（2）解： 平分 ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
即 ，
由（1）可知四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形．
【解析】【分析】（1）证明四边形AFCE是平行四边形即可得到结论；
（2）证明四边形ABCD是菱形，则BD⊥AC，即FE⊥AC，进而证明四边形AFCE是菱形。
23．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（3，0），B（0， 4）．
（1）求点C的坐标；
（2）求经过点C，D两点的一次函数的解析式．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵A（3，0），B（0，4），
∴AB= =5，
∴BC=5，
∴OC=1，
∴点C的坐标为（0，﹣1）；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=5，AD∥CB，
∴点D的坐标为（3，﹣5），
设经过点C，D两点的一次函数的解析式为y=kx+b，
把（0，﹣1），（3，﹣5）代入得： ，
解得： ，
∴经过点C，D两点的一次函数的解析式为y=﹣ x﹣1．
【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标求出线段AB的长度，由于菱形的四条边相等，C点位于y轴上，即可得到C点坐标；
（2）根据菱形四条边相等且对边平行，求出D的坐标，在用待定系数法即可得到答案。
24．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在原点。
（1）如图①，点C的坐标为（ ， ），且实数 ， 满足 ，求C点的坐标及线段OC的长度；
（2）如图②，点F在BC上，AB交x轴于点E，EF，OC的延长线交于点G，EG=OG，求∠EOF的度数；
（3）如图③，将（1）中正方形OABC绕点O顺时针旋转，使OA落在y轴上，E为AB上任意一点，OE的垂直平分线交x轴于点G，交OE于点P，连接EG交BC于点F，求△BEF的周长。
【答案】（1）解：∵b-3≥0，3-b≥0，∴b=3，a=-1
∴C（-1，3）
过C作CD垂直y轴于点D，
则OD=3，DC=1
∴OC=
（2）解：过点O作OH⊥EF于H，
∵四边形OABC是正方形
∴OA=OC，∠A=∠7=∠AOC=90°，AB∥CO
∴∠2=∠COE又EG=OG，
∴∠1=∠COE
∴∠1=∠2
又OH⊥EF
∴∠9=∠8=∠A=90°
∴在△OEA和△OEH中
∴△OEA≌△OEH（AAS）
∴∠3=∠4，OH=OA
又OA=OC，
∴OH=OC
又∠9=∠7=90°，
∴在Rt△OHF和Rt△OCF中
∴Rt△OHF≌Rt△OCF（HL）
∴∠5=∠6
又∠3+∠4+∠5+∠6=∠AOC=90°
∴2∠4+2∠5=90°
即∠4+∠5=45°
即∠EOF=45°
（3）解：过点O作OH⊥EF于H，连OF，∵四边形OABC是正方形∴OA=OC，∠10=∠7=∠AOC=90°，AB∥CO∴∠2=∠COE又PG垂直平分OE，∴EG=OG，∴∠1=∠COE∴∠1=∠2又OH⊥EF
∴∠9=∠8=∠10=90°
∴在△OEA和△OEH中
∴△OEA≌△OEH（AAS
∴AE=EH，OH=OA
又OA=OC，
∴OH=OC
又∠9=∠7=90°，
∴在Rt△OHF和Rt△OCF中
∴Rt△OHF≌Rt△OCF（HL）
∴HF=FC
∴△BEF的周长=BE+EH+HF+BF=BE+AE+CF+BF=AB+BC=2
【解析】【分析】（1）过C作CD垂直y轴于点D，根据二次根式的性质，建立不等式组，求出a、b的值，得出点C的坐标，再利用勾股定理求出OC的长即可。
（2）根据正方形的性质可得出OA=OC，∠A=∠7=∠AOC=90°，AB∥CO，根据平行线的性质及等腰三角形的性质，证得∠1=∠2 ，利用全等三角形的判定证明△OEA≌△OEH，得出∠3=∠4，OH=OA，再证明OH=OC，就可证明Rt△OHF≌Rt△OCF，得出∠5=∠6，从而可证得∠4+∠5=45°，即可证得结论。
（3）根据正方形的性质及垂直平分线的性质，证明∠1=∠2，∠8=∠10，再根据全等三角形的判定定理，证明△OEA≌△OEH，得出AE=EH，OH=OA，再证明OH=OC，∠9=∠7，然后证明Rt△OHF≌Rt△OCF，得出HF=FC，因此将△BEF的周长转化为AB与BC之和，计算即可。
25．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B.
（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；
（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2.
①求线段AD的长；
②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）8；4；4
（2）解：如图，
①由（1）知，BC＝4，AB＝8，
由折叠知，CD＝AD，
在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝8﹣AD，
根据勾股定理得，CD2＝BC2+BD2，
即：AD2＝16+（8﹣AD）2，
∴AD＝5，
②由①知，D（4，5），
设P（0，y），
∵A（4，0），
∴AP2＝16+y2，DP2＝16+（y﹣5）2，
∵△APD为等腰三角形，
∴Ⅰ、AP＝AD，
∴16+y2＝25，
∴y＝±3，
∴P（0，3）或（0，﹣3）
Ⅱ、AP＝DP，
∴16+y2＝16+（y﹣5）2，
∴y＝ ，
∴P（0， ），
Ⅲ、AD＝DP，25＝16+（y﹣5）2，
∴y＝2或8，
∴P（0，2）或（0，8）.
【解析】【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，
∴A（4，0），C（0，8），
∴OA＝4，OC＝8，
∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ，
故答案为：8，4，4
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴交点的坐标特点，求出点A，C的坐标，从而得出OA＝4，OC＝8，然后判断出四边形OABC是矩形，根据矩形的性质得出AB＝8，BC＝4，利用勾股定理即可得出AC；
（2）①利用折叠的性质得出 CD＝AD， 故BD＝8 AD， 在Rt△BCD中用勾股定理即可得出结论；
②分 AP＝AD， AP＝DP， AD＝DP三种情况利用方程的思想即可得出结论.
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