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第10章 分式 单元综合能力突破卷
一、单选题
1．某厂计划生产180张桌子，如果每天比原计划多生产15张，则可提前2天完成任务．若设原计划每天生产x张桌子，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．使分式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若分式中的xy的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ）
A．是原来的3倍 B．不变 C．是原来的 D．不能确定
4．若关于 的分式方程 有增根，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知分式：的某一项被污染，但化简的结果等于，被污染的项应为（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．随着快递业务的增长，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件.若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件的件数.设原来平均每人每周投递快件x件，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知m＞n＞0，m2﹣5mn+n2=0，求的值（ ）
A．4 B．± C． D．-
9．如果数m使关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且关于x的分式方程 有整数解，那么符合条件的所有整数m的和是（ ）
A．8 B．9 C．﹣8 D．﹣9
10．已知多项式，多项式．
①当时，代数式的值为4048；
②当时，若，则x的取值范围是或；
③当时，若p、q为自然数，且整式所有项的系数和不超过10，则的值有9种可能．
以上说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．分式、和的最简公分母是 ．
12．分式方程 + =3的解是x= ．
13．方程 =2的解是x= ．
14．计算： = ．
15．某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育器材，已知A类器材比B类器材的单价低10元，用150元购买A类器材与用300元购买B类器材的数量相同，则B类器材的单价为 元．
16．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
三、综合题
17．情境：
问题：该次列车提速后的速度是多少
18．2016年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元
（1）求第一批花每束的进价是多少？
19．已知．
（1）化简P；
（2）若，求P的值．
20．樱桃是春季热销的水果之一，某水果商家4月份第一次用6000元购进樱桃若干千克，销售完后，他第二次又用6000元购进该樱桃，但第二次的单价比第一次的提高了，第二次所购进樱桃的数量比第一次少了50千克，求该商家第一次、第二次购进樱桃的单价分别为每千克多少元．
21．某电商响应市政府号召，在线销售甲、乙两种农产品，已知1件甲产品的售价是1件乙产品售价3倍，用300元购买甲产品的数量比用200元购买乙产品数量少20件．
（1）求甲、乙两种农产品每件的售价分别是多少元
（2）如果某客户购买甲、乙两种农产品共40件，总费用不超过365元，请你帮忙计算，此客户最多购买甲产品多少件
22． 2021年元旦将至，某超市用3000元购进“红富士苹果”销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种苹果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进苹果的数量是第一次的2倍还多300千克.
（1）该超市购进苹果的第一次进价是每千克多少元？
（2）如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分苹果售出后，余下的600千克苹果打折销售，全部苹果销售完后总利润不低于5820元，则余下的苹果至少打几折出售？
23．“五月枇杷黄似橘，谁思荔枝同此时”，5月是枇杷成熟的季节，万州区熊家镇的枇杷成熟了，该镇种植了“麻子”枇杷和“贵妃”枇杷，“麻子”枇杷果肉橙黄色，汁多味浓；“贵妃”枇杷更是枇杷中的贵族，果肉黄白，浓甜回甘．某水果店老板到该镇采购两种类型的枇杷进行售卖．
（1）若第一次用4200元购进两种枇杷共300千克，已知“麻子”枇杷每千克进价为8元，“贵妃”枇杷每千克进价为18元，求两种类型的枇杷各采购多少千克？
（2）由于两种枇杷都深受万州人民喜爱，很快购进的枇杷销售一空，于是该水果店老板决定第二次购进两种枇杷，但随着枇杷的大量上市，“麻子”枇杷和“贵妃”枇杷的进价大幅下降，结果“贵妃”枇杷每千克进价是“麻子”枇杷的2.5倍，“麻子”枇杷的采购额为1200元，“贵妃”枇杷的采购额为1500元，“麻子”枇杷比“贵妃”枇杷多采购100千克，求“贵妃”枇杷每千克进价是多少元？
24．某客商准备采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元（0＜a＜80），若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，求的a值.
25．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？
（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？
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第10章 分式 单元综合能力突破卷
一、单选题
1．某厂计划生产180张桌子，如果每天比原计划多生产15张，则可提前2天完成任务．若设原计划每天生产x张桌子，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
2．使分式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．若分式中的xy的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ）
A．是原来的3倍 B．不变 C．是原来的 D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：若分式中的xy的值都变为原来的3倍，则此分式的值不变，
故选：B．
【分析】根据分式的基本性质，可得答案．
4．若关于 的分式方程 有增根，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】去分母得：m=x-1-2x+6，
由分式方程有增根，得到x-3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=2，
故答案为：A．
【分析】根据题意，解分式方程，根据分式方程有增根，即可得到m的值。
5．已知分式：的某一项被污染，但化简的结果等于，被污染的项应为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设被污染的部分为p，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】设被污染的部分为p，利用分式的运算法则化简即可求出p。
6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
7．随着快递业务的增长，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件.若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件的件数.设原来平均每人每周投递快件x件，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：
故答案为：D.
【分析】原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，再结合已知 公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件 可列方程解决即可.
8．已知m＞n＞0，m2﹣5mn+n2=0，求的值（ ）
A．4 B．± C． D．-
【答案】C
【解析】【解答】解：∵m2﹣5mn+n2=0，
∴m2+n2﹣2mn=3mn，即（m﹣n）2=3mn；m2+n2+2mn=7mn，即（m+n）2=7mn，
∵m＞n＞0，
∴m﹣n=，m+n=，
则原式== = ．
故选C
【分析】已知等式变形，利用完全平方公式求出m+n与m﹣n的值，原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
9．如果数m使关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且关于x的分式方程 有整数解，那么符合条件的所有整数m的和是（ ）
A．8 B．9 C．﹣8 D．﹣9
【答案】C
【解析】【解答】解： ﹣ ＝3，
去分母得：x+m＝3（x﹣1），
解得：x＝ ，
由 ≠1，解得m≠﹣1，
解不等式组 得： ≤x＜4，
由不等式组有且只有四个整数解，得到﹣1＜ ≤0，
解得：﹣6＜m≤0，
由x= 为整数，且m≠﹣1，
解得：m＝﹣5或﹣3，
则符合条件的所有整数m的和是﹣5﹣3＝﹣8.
故答案为：C.
【分析】先求出分式方程的解x= ，由x-1≠0，可得m≠-1.解不等式组可得 ≤x＜4，由不等式组有且只有四个整数解可得﹣1＜ ≤0，即得﹣6＜m≤0，由x= 为整数，求出m的值即可.
10．已知多项式，多项式．
①当时，代数式的值为4048；
②当时，若，则x的取值范围是或；
③当时，若p、q为自然数，且整式所有项的系数和不超过10，则的值有9种可能．
以上说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
二、填空题
11．分式、和的最简公分母是 ．
【答案】
12．分式方程 + =3的解是x= ．
【答案】4
【解析】【解答】解：去分母得：2x+1=3x﹣3，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
故答案为：x=4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
13．方程 =2的解是x= ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：去分母得：x=2（x+1），
去括号得：x=2x+2，
移项得：x﹣2x=2，
合并同类项得：﹣x=2，
把x的系数化为1得：x=﹣2，
检验：把x=﹣2代入最简公分母x+1≠0，
∴原分式方程的解为：x=﹣2．
【分析】根据解方程的步骤首先方程两边同时乘以x+1，去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，进行计算即可，注意不要忘记检验．
14．计算： = ．
【答案】1
【解析】【解答】解： = ．故答案为1．
【分析】因为分式的分母相同，所以只要将分母不变，分子相加即可．
15．某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育器材，已知A类器材比B类器材的单价低10元，用150元购买A类器材与用300元购买B类器材的数量相同，则B类器材的单价为 元．
【答案】20
【解析】【解答】解：设B类器材的单价为x元，则A类器材的单价是x﹣10元，由题意得
解得：x=20
经检验x=20是原方程的解，
答：B类器材的单价为20元．
故答案为：20．
【分析】设B类器材的单价为x元，则A类器材的单价是x﹣10元，根据150元购买A类器材与用300元购买B类器材的数量相同列出方程解答即可．
16．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，
设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，
∵摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，
∴，
解得x＝30m，
∴7月份摆摊增加的营业额为×30m＝12m，堂食、外买增加的营业额之和为30m﹣12m＝18m，
设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，
∵堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，
∴，
解得y＝13m，
∴7月份外卖增加的营业额为18m﹣y＝5m，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是＝；
故答案为：．
【分析】根据由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，列出分式方程解得7月份摆摊增加的营业额为12m，堂食、外买增加的营业额之和为18m，设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，根据堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，列出分式方程求出7月份外卖增加的营业额，进而得到7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比，从而求解.
三、综合题
17．情境：
问题：该次列车提速后的速度是多少
【答案】300千米/小时
18．2016年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元
（1）求第一批花每束的进价是多少？
【答案】（1）解：设第一批花每束的进价是x元/束，依题意得： ×1.5= ，
解得x=20．
经检验x=20是原方程的解，且符合题意．
答：第一批花每束的进价是20元/束
【解析】【分析】设第一批花每束的进价是x元/束，则第一批进的数量是： ，第二批进的数量是： ，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×1.5可得方程．本题考查了分式方程的应用． 关键是根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×1.5列方程．
19．已知．
（1）化简P；
（2）若，求P的值．
【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴P
【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算化简可得；
（2）将代入计算即可。
20．樱桃是春季热销的水果之一，某水果商家4月份第一次用6000元购进樱桃若干千克，销售完后，他第二次又用6000元购进该樱桃，但第二次的单价比第一次的提高了，第二次所购进樱桃的数量比第一次少了50千克，求该商家第一次、第二次购进樱桃的单价分别为每千克多少元．
【答案】解：设该商家第一次购进樱桃的单价为x元/千克，则第二次购进樱桃的单价为元/千克，由题意可得：
，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
且均符合题意．
答：该商家第一次、第二次购进樱桃的单价分别为每千克20元、24元．
【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该商家第一次购进樱桃的单价为x元/千克，则第二次购进樱桃的单价为元/千克，根据第二次所购进樱桃的数量比第一次少了50千克的等量关系，列出关于x的分式方程，求解即可．
21．某电商响应市政府号召，在线销售甲、乙两种农产品，已知1件甲产品的售价是1件乙产品售价3倍，用300元购买甲产品的数量比用200元购买乙产品数量少20件．
（1）求甲、乙两种农产品每件的售价分别是多少元
（2）如果某客户购买甲、乙两种农产品共40件，总费用不超过365元，请你帮忙计算，此客户最多购买甲产品多少件
【答案】（1）解：设每件乙产品的售价是x元，则每件甲产品的售价是3x元，
依题意得： ，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴3x=3×5=15（元）．
答：每件甲产品的售价是15元，每件乙产品的售价是5元．
（2）解：设购买甲产品m件，则购买乙产品（40-m）件，
依题意得：15m+5（40-m）≤365，
解得：m≤ ，
又∵m为整数，
∴m可以取的最大值为16．
答：此客户最多购买甲产品16件．
【解析】【分析】（1）设每件乙产品的售价是x元，则每件甲产品的售价是3x元，根据“用300元购买甲产品的数量比用200元购买乙产品数量少20件”列出分式方程求解即可；
（2）设购买甲产品m件，则购买乙产品（40-m）件，根据“(2)、如果某客户购买甲、乙两种农产品共40件，”列出不等式求解即可。
22． 2021年元旦将至，某超市用3000元购进“红富士苹果”销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种苹果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进苹果的数量是第一次的2倍还多300千克.
（1）该超市购进苹果的第一次进价是每千克多少元？
（2）如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分苹果售出后，余下的600千克苹果打折销售，全部苹果销售完后总利润不低于5820元，则余下的苹果至少打几折出售？
【答案】（1）解：设该超市购进苹果的第一次进价是每千克x元，
由题意可知： ，
解得x＝5，
经检验：x＝5是方程的解，
答：第一次进价是每千克5元.
（2）解：设余下的苹果至少打a折出售，
由题意可知： ≥5820
解得a=8，
答：余下的苹果至少打8折出售
【解析】【分析】（1）设该超市购进苹果的第一次进价是每千克x元，可得第二次进价为每千克（1+20%）x元， 根据：第二次购进苹果的数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程解之即可；
（2）设余下的苹果至少打a折出售，根据：打折后全部苹果销售完后总利润不低于5820元，列出不等式解之即可.
23．“五月枇杷黄似橘，谁思荔枝同此时”，5月是枇杷成熟的季节，万州区熊家镇的枇杷成熟了，该镇种植了“麻子”枇杷和“贵妃”枇杷，“麻子”枇杷果肉橙黄色，汁多味浓；“贵妃”枇杷更是枇杷中的贵族，果肉黄白，浓甜回甘．某水果店老板到该镇采购两种类型的枇杷进行售卖．
（1）若第一次用4200元购进两种枇杷共300千克，已知“麻子”枇杷每千克进价为8元，“贵妃”枇杷每千克进价为18元，求两种类型的枇杷各采购多少千克？
（2）由于两种枇杷都深受万州人民喜爱，很快购进的枇杷销售一空，于是该水果店老板决定第二次购进两种枇杷，但随着枇杷的大量上市，“麻子”枇杷和“贵妃”枇杷的进价大幅下降，结果“贵妃”枇杷每千克进价是“麻子”枇杷的2.5倍，“麻子”枇杷的采购额为1200元，“贵妃”枇杷的采购额为1500元，“麻子”枇杷比“贵妃”枇杷多采购100千克，求“贵妃”枇杷每千克进价是多少元？
【答案】（1）“麻子”枇杷采购了120千克， “贵妃”枇杷采购了180千克，
（2）“贵妃”枇杷每千克15元．
24．某客商准备采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元（0＜a＜80），若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，求的a值.
【答案】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为 元，
由题意： ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元；
（2）解：因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品 件，
由题意： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：设利润为 元.则 ，
①当 时，即 时，w随m的增大而增大，所以 时，最大利润为 元；
②当 时，最大利润为17500元；
③当 时，即 时，w随m的增大而减小，所以 时，最大利润为 元，
∴ 或 ，
解得 （不合题意，舍去）或15.
答：若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，则a值为15.
【解析】【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为 元.根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；
（2）根据总利润＝两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；
（3）设利润为 元.则 ，分三种情形讨论即可解决问题，把 代入解答即可.
25．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？
（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？
【答案】（1）解：设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，
依题意，得： ﹣ ＝10，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且正确，
∴2x＝600．
答：甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米．
（2）解：设甲队先单独工作y天，则甲乙两工程队还需合作 ＝（ y）天，
依题意，得：7000（y+ y）+5000（ y）≤79000，
解得：y≥1，
∴ y≤ ＝6．
答：两工程队最多可以合作施工6天．
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；（2）设甲队先单独工作y天，则甲乙两工程队还需合作 ＝（ y）天，根据总费用＝每天的费用×工作时间结合支付工程队总费用不超过79000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出结论．
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