湖北云学名校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题（含答案）

湖北云学名校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记等差数列的前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
2.下列有关排列数、组合数的计算，正确的是( )
A. B.
C. D.
3.某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”满分分，得分分及其以上为“优秀”比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是( )
A. B. C. D.
4.若的展开式中的系数为，则( )
A. B. C. D.
5.“灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”武当山到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在月日上午之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”将数列，进行“美好成长”，第一次得到数列，，第二次得到数列，，，，，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，，，，记，则下列说法错误的是( )
A. B.
C. D. 数列的通项公式为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.近些年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测年到年间，有的概率平均气温会超过年，达到历史上最高气温纪录某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有名学生，其中名男生名女生，若从中选取名学生参加研讨会，则下列说法正确的是( )
A. 选取的名学生都是男生的不同选法共有种
B. 选取的名学生中恰有名女生的不同选法共有种
C. 选取的名学生中至少有名女生的不同选法共有种
D. 选取的名学生中至多有名男生的不同选法共有种
10.设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 没有最大值
11.已知函数，对于不相等的实数，设，，现有如下四个结论，其中正确的选项是( )
A. 对于任意不相等的实数，都有
B. 当时，函数恰有个零点
C. 对于任意的实数，存在不相等的实数，，使得
D. 对于任意不相等的正实数，，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则其在处的切线方程是 ．
13.化简 ．
14.已知双曲线的左右顶点分别为，，点是双曲线上第一象限内的动点，设，，当时， 当时，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当，时，数列满足，记数列前项和为，则当取得最小值时，求的值
当时，数列满足，，若数列是公差的等差数列，求的值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值
若函数在上的最小值为，求实数的值．
17.本小题分
已知数列满足，数列满足．
求数列的前项和
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于，两点均不与点重合，过作直线的垂线，垂足为．
求椭圆的标准方程
设直线，的斜率分别为，，当时，
求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
若恒成立，求实数的值
当时，方程有两个不同的根，分别为，
求实数的取值范围
求证：．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.当，时，函数，
，由，解得，
故：，，当时，当时，，
故取得最小值时，的值为；
当时，，
因为数列是公差为等差数列，又不为常数，
则必有，此时数列是公差，符合题意，
得．
16.求当时，，定义域为，
，
令，得或，
当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
所以的极大值为
的极小值为
，定义域，
，
当时，，在单调递增，．
当时，，在单调递减，舍；
当时，在单调递增，在单调递减此时：，不合题意．
当时，，在单调递增，舍．
综上：的值为．
17.因为，
所以．
令： ，
则 ，
因此由得：，
所以．，
因此．
由知：，，
因此由，
得：，
化简得：，
所以对任意的恒成立等价于：
对任意的恒成立．
令：，则，
因此：当时，由得，即；
当时，由得：．
因此数列满足：，
所以，因此要对任意的恒成立，则，
所以的取值范围是
18.因为，两点在椭圆上，所以，解得
因此椭圆的标准方程为：．
证明：因为直线、的斜率分别为、，且，所以直线的斜率存在否则，
因此设直线的方程为：，、
由得：，由得 ，
且、．
因为，所以．
因为直线 不过点，所以，因此由得：．
因为，
所以由得：，即，把代入式得：，
此时直线的方程为：，因此直线 恒过定点．
因为，所以点在以为直径的圆上，且圆心为，半径，
因此．
由得的坐标为，
把代入直线的方程得：直线 的斜率，满足条件，
因此的最小值为．
19.，，．
由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续，
故不仅是函数的最小值，同时也是极小值，
，
检验：当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以成立，
故
当时，，，
令，同理，，
所以在上单调递减，在单调递增，
当时，当时，，且，
所以方程有两个不同的根时，；
由题可知：，
即且，
构造函数：，
，
所以在上单调递减，
故，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以：，
因为在单调递增，，，
所以：，
要证，
即证，
即，
只须证明：，
即证，
因为，故只须证明：，
因为成立．
所以原不等式成立．
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