江苏省苏州市苏州大学附中2024-2025学年高二（下）月考数学试卷（3月份）(含详解)

江苏省苏州大学附中2024-2025学年高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，的值为( )
A. B. C. D.
2.某学生在书店发现本好书，决定至少买其中的本，则购买方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.下列求导的运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4.若直线与曲线相切，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数则下列结论中正确的是( )
A. 函数既有最小值也有最大值 B. 函数无最大值也无最小值
C. 函数有一个零点 D. 函数有两个零点
6.如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域有公共边所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列数中，与不相等的是( )
A. B. C. D.
10.下列命题正确的有( )
A. 已知函数，若，则
B. 已知函数在上可导，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
11.设函数，，则下列结论正确的是( )
A. 当时，在点处的切线方程为
B. 当时，有三个零点
C. 若有两个极值点，则
D. 若 在 上有解，则正实数 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲乙两名学生从门选修课程中各自选修门，则这两人选择的选修课程中恰有门相同的选法共有______种用数字作答
13.函数的导函数 ______．
14.若函数有唯一一个极值点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列函数的导函数．
Ⅰ；
Ⅱ；
Ⅲ；
Ⅳ．
16.本小题分
用，，，，，这六个数字的部分或全部组成无重复数字的自然数．
在组成的四位数中，求偶数个数；
在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
在组成的四位数中，若将这些数按从小到大的顺序排成一列，试求第个数字．
17.本小题分
已知函数的图象在原点处的切线的斜率为．
求的值；
若，求曲线的过点的切线方程．
18.本小题分
已知，．
当时，求极值；
讨论单调性；
当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
若函数为奇函数，求的值；
若在上恒成立，求的取值范围；
设，讨论方程的根的个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为，
则．
故选：．
2.【答案】
【解析】学生在书店发现本好书，决定至少买其中的本，
买本有种方法，买本有种方法；买本有种方法；
共有钟不同的方法，
故选：．
3.【答案】
【解析】，A正确，
，B错误，
，C错误，
，D错误，
故选：．
4.【答案】
【解析】的导函数为，
设直线与曲线相切于点，
，解得，
，
当，时，取得最小值．
故选：．
5.【答案】
【解析】，，，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
故函数有最大值，无最小值，AB错误，
设，则恒成立，函数单调递增，
且，故函数有一个零点，C正确，D错误．
故选：．
6.【答案】
【解析】第一步：选两种颜色涂、区域，
有种不同涂色方法；
第二步：涂、、区域，
当区域与区域涂相同颜色时，
有种不同涂色方法；
当区域与区域涂不相同颜色时，
有种不同涂色方法，
综上可得：不同的涂色方法共有种．
故选：．
7.【答案】
【解析】，，
，
函数在区间上有极值，
在区间上有变号根，
即在区间上有变号根．
令，则，
令，得或舍去，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，取得极小值，又，，
，则
又当时，，
单调递增，无极值，
实数的取值范围是．
故选：．
8.【答案】
【解析】若在上恒成立，
即为，即，
即有在上恒成立，
设，，即有，
则，在上递增，
可得，即在上恒成立，
设，可得，
当时，，递减；当时，，递增，
可得在处取得最小值，
则，解得，即的最大值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】由题意，．
对于，；
对于，
；
对于，；
对于，．
故选：．
10.【答案】
【解析】选项，由，得，则，解得，故A错；
选项，由导数的定义可知，
则，故B正确；
选项，根据导数的运算法则可得，，故C错；
选项，由得，则，解得，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】，，
选项A，当时，，，，
又，所以在点处的切线方程为，故A正确；
选项B，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；在，上单调递减；
的极小值为，的极大值为，
要使有三个零点，则，即，解得，故B错误．
选项C，，则，
若有两个极值点，则在有两个不同的正根，
则，解得，故C正确；
选项D，令，则，
所以，即，
可整理为，
即，
令，因为，
所以单调递增，
所以，即，
令，所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，
所以，所以的取值范围为，所以D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】先选择这门相同的选修课程，有种选法，
再从剩下的门选修课程中选择门，并排列，有种选法，
所以共有种选法．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】
故答案为：
14.【答案】
【解析】，
因为函数有唯一一个极值点，且，所以恒成立，
当时，符合题意：
画出，图象，由，符合题意，
则，，过原点的切线斜率为，切点坐标设为，
可得，，，可得，，，
，
实数的取值范围是．
故答案为：．
15.【解析】Ⅰ；
则；
Ⅱ；
则；
Ⅲ；
则
；
Ⅳ，
则．
16.【解析】根据题意，分种情况讨论：
四位偶数的个位为，在其他个数字中，任选个，放在前个数位，有个四位偶数，
四位偶数的个位不是，其个位有种情况，千位有种情况，在其他个数字中，任选个，放在中间个数位，有个四位偶数，
则有个符合题意的四位偶数；
根据题意，先在个数中任意选出个，将最小的数安排在十位，其余个数字安排在百位和个位，
则有个“凹数”，
根据题意，在组成的四位数中，在首位的有个四位数，
在首位，在百位有个四位数，
在首位，在百位有个四位数，
共有个数字，则第个数字为．
17.【解析】由，
得，
由题意得，解得或；
，，
则，
设切点坐标为，则切线的斜率，
切线方程为，
把点代入，可得，
得，解得或，
切线方程为或．
18.【解析】当时，，定义域为，
由，
当，解得，当，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值．
，
当时，有恒成立，在单调递增，
当时，由，解得，在上单调递增；
由，解得，在上单调递减；
综上，时，在单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减．
当时，，
根据题意，不等式等价于，，
对于，，，
所以在上单调递增，所以，则有，
设，，则，
在定义域内为减函数，又，所以，即的取值范围是．
19.【解析】为奇函数，且定义域为，
，
，
，
．
恒成立，
恒成立，
恒成立，
又，，
在上恒成立，
又，，即的取值范围是．
，
设，
令，则，当且仅当取到等号，
，
设且，
令，得，
令
又在上单调递减，
，
当或时，与无交点，无零点，无零点，方程无根；
当时，，或舍，
只有一个解，
只有一个零点，方程有一个根；
当时，在上有零点，
先证在上单调递增，
任取，且，
，
，
，
，在上单调递增，
又为偶函数，
在上单调递减，
有两个互为相反数的根，
此时有个零点，方程有两个根．
综上，或时，方程无根；
当时，方程有一个根；
当时，方程有两个根．
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