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第9章 分式 单元素养提升卷
一、单选题
1．若分式在实数范围内有意义，则实数应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，大正方形的边长均为，图（1）中白色小正方形的边长为，图（2）中白色长方形的宽为，设，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．化简 的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C． D．
4．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果为（ ）
A． B．- C．-1 D．2
6．已知，，，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子…的结果为（ ）
A．t B． C． D．
7．已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（ ）
的取值 4 6
分式的值 无意义 0
A． B．6 C．4 D．2
8． （ ）
A．0 B．0或-2 C．-2 D．0或2
9．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设元购买椽的数量为x株，则正确的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
10．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
二、填空题
11．若分式有意义，则应该满足的条件是 ．
12．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为 ．
13．当 时,分式 的值为零.
14．计算：3xy2÷ =
15．使分式与的值相等的x的值为 ．
16．若关于x的分式方程无解，则实数 ．
三、综合题
17．坚定文化自信，为乡村振兴塑形铸魂．为发展旅游经济，某乡村企业制作一批“美丽乡村”主题文化衫进行销售．第一批文化衫的制作成本是3000元，面市后文化衫供不应求，又用6600元制作了第二批同款文化衫，制作的数量是第一批数量的2倍，但由于原材料涨价，第二批文化衫每件的成本增加了3元．
（1）该企业制作的第一批文化衫每件的成本是多少元？
（2）两批文化衫标价相同，在季末清仓时，最后30件按6折全部售出．问每件文化衫标价为多少元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于？
注：盈利率＝（销售金额－成本）÷成本
18．已知分式1﹣ ÷（1+ ）.
（1）请对分式进行化简；
（2）如图，若m为正整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第 段上.（填写序号即可）
19．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的 ，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
20．遵义市某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用600元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多4捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于1960元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？
21．樱桃刚一上市，某水果店的老板就用6000元购进了一批樱桃，上市后销售的非常好，老板又用14000元购进了第二批樱桃，所购箱数是第一批的2倍，但进价比第一批每箱多了5元．
（1）该超市两批共购进樱桃多少箱？
（2）由于储存不当，第二批购进的樱桃中有腐坏，不能售卖．该老板将两批樱桃按同一价格全部销售完毕后获利不低于8000元，则每箱樱桃的售价至少是多少元？
22．解分式方程：
（1） =
（2） ﹣ =1．
23．现有A，B两种商品，已知买一件A商品比买一件B商品少20元，用210元全部购买A商品的数量与用350元全部购买B商品的数量相同．
（1）A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果要购买A，B两种商品共10件，总费用不超过400元，且不低于370元，那么一共有几种购买方案？
24．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运kg产品，可列方程为 ．小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为小时，可列方程为 ．
（2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
25．某学校校门口有一个长为9m的长条形（长方形）电子显示屏，学校的有关活动都会在“电子显示屏”播出，由于各次活动的名称不同，字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的老师对有关数据作出了如下规定：若字数在8个以下，边空：字宽：字距=2：4：1；若字数在8个以上（含8个），边空：字宽：字距=2：3：1，如图所录：
（1）某次活动的字数为9个，求字距是多少？
（2）如果某次活动的字宽为36cm，问字数是多少个？
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第9章 分式 单元素养提升卷
一、单选题
1．若分式在实数范围内有意义，则实数应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．如图，大正方形的边长均为，图（1）中白色小正方形的边长为，图（2）中白色长方形的宽为，设，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．化简 的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝a﹣b．
故答案为：B．
【分析】跟据同分母分式相加减的运算法则计算．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
4．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：撕坏的一角中“■”为：，
故答案为：A.
【分析】利用分式的混合运算的计算方法及步骤列出算式求解即可.
5．计算的结果为（ ）
A． B．- C．-1 D．2
【答案】C
【解析】【解答】原式==﹣=﹣1，故选：C
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
6．已知，，，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子…的结果为（ ）
A．t B． C． D．
【答案】A
7．已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（ ）
的取值 4 6
分式的值 无意义 0
A． B．6 C．4 D．2
【答案】D
8． （ ）
A．0 B．0或-2 C．-2 D．0或2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵,
∴,
∴,
∴，
解得a=±b，
当a=b时， =12019-12020=0；
当a=-b时，=（-1）2019-（-1）2020=-1-1=-2.
故答案为：B。
【分析】将分式方程去分母后，再利用完全平方公式的恒等变形得出，故a=±b，然后分两种情况代入代数式，按有理数的混合运算算出答案即可。
9．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设元购买椽的数量为x株，则正确的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，
由题意得：，
故答案为：C．
【分析】设元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，根据题意列出分式方程即可。
10．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
【答案】A
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 ，丙是 ，
因为 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
二、填空题
11．若分式有意义，则应该满足的条件是 ．
【答案】
12．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】设规定时间为x天，根据“若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍”即可列出分式方程，进而即可求解。
13．当 时,分式 的值为零.
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：，解得x=1.
故答案为：x=1.
【分析】当分式的分子等于0且分母不为0的时候，分式的值为0列出混合组，求解即可.
14．计算：3xy2÷ =
【答案】
【解析】【解答】解：原式=3xy2
=
故答案为：
【分析】先将分式的除法转化为乘法运算，再约分化简即可。
15．使分式与的值相等的x的值为 ．
【答案】9
16．若关于x的分式方程无解，则实数 ．
【答案】或
【解析】【解答】解分式方程，即相加得去分母得，解得，当a=-1时，x无实数解且当 x=3即时，分式方程无实数解，故填-1或
【分析】分式方程无解，一定是出现数值使分式无意义。
三、综合题
17．坚定文化自信，为乡村振兴塑形铸魂．为发展旅游经济，某乡村企业制作一批“美丽乡村”主题文化衫进行销售．第一批文化衫的制作成本是3000元，面市后文化衫供不应求，又用6600元制作了第二批同款文化衫，制作的数量是第一批数量的2倍，但由于原材料涨价，第二批文化衫每件的成本增加了3元．
（1）该企业制作的第一批文化衫每件的成本是多少元？
（2）两批文化衫标价相同，在季末清仓时，最后30件按6折全部售出．问每件文化衫标价为多少元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于？
注：盈利率＝（销售金额－成本）÷成本
【答案】（1）第一批文化衫每件的成本是30元
（2）每件文化衫标价为50元
18．已知分式1﹣ ÷（1+ ）.
（1）请对分式进行化简；
（2）如图，若m为正整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第 段上.（填写序号即可）
【答案】（1）解：原式＝1﹣ ÷
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝
（2）②
【解析】【解答】解：（2）∵原式＝ ，m为正整数且m≠±1，
∴该分式的值应落在数轴的②处，
故答案为：②.
【分析】（1）根据分式的混合运算进行解答即可；
（2）由于m为正整数且m≠±1，可得m＜m+1，据此判断即可.
19．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的 ，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【答案】（1）解：设乙骑自行车的速度为 米/分钟，则甲步行速度为 米/分钟，公交车速度为 米/分钟，根据题意得：
，解得 ．
所以乙骑自行车的速度为 米/分钟
（2）解：当甲到达学校时，乙同学离校还有 米
【解析】【分析】（1）甲同学先步行600米所用时间+甲同学乘公交车行(3000-600）米所用时间+2=乙同学骑自行车行3000米所用时间，根据这个相等关系列出方程即可求解；分式方程结果要检验。
（2）根据题意可得，当甲到达学校时，乙同学离校还有 2 × 300 = 600 米。
20．遵义市某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用600元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多4捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于1960元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？
【答案】（1）每捆A种菜苗的价格是25元；
（2）至少可购买A种菜苗35捆．
21．樱桃刚一上市，某水果店的老板就用6000元购进了一批樱桃，上市后销售的非常好，老板又用14000元购进了第二批樱桃，所购箱数是第一批的2倍，但进价比第一批每箱多了5元．
（1）该超市两批共购进樱桃多少箱？
（2）由于储存不当，第二批购进的樱桃中有腐坏，不能售卖．该老板将两批樱桃按同一价格全部销售完毕后获利不低于8000元，则每箱樱桃的售价至少是多少元？
【答案】（1）第一批樱桃购进200箱，第二批樱桃购进400箱
（2）47.5元
22．解分式方程：
（1） =
（2） ﹣ =1．
【答案】（1）解：去分母得：3x﹣3=2x+2，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解
（2）解：去分母得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
解得：x=1，
经检验x=1为增根，分式方程无解
【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
23．现有A，B两种商品，已知买一件A商品比买一件B商品少20元，用210元全部购买A商品的数量与用350元全部购买B商品的数量相同．
（1）A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果要购买A，B两种商品共10件，总费用不超过400元，且不低于370元，那么一共有几种购买方案？
【答案】（1）解∶设A商品每件元，则B商品每件（x+20）元．
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解且符合题意．
则．
所以A商品每件30元，B商品每件50元．
（2）解：设购买A商品a件，则购买B商品（10-a）件．
根据题意，得．
解得．
由于是整数，所以可以取5，6，故一共有2种购买方案．
【解析】【分析】（1）设A商品每件元，则B商品每件（x+20）元．根据“用210元全部购买A商品的数量与用350元全部购买B商品的数量相同”列出方程并解之即可；
（2）设购买A商品a件，则购买B商品（10-a）件． 根据“ 总费用不超过400元，且不低于370元”列出不等式组，并求出其整数解即可.
24．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运kg产品，可列方程为 ．小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为小时，可列方程为 ．
（2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
【答案】（1）；
（2）
经检验，是方程的解，且符合题意，
答：乙型机器人每小时搬运30kg 产品.
【解析】【解答】解：(1)；，
故答案为：；.
【分析】(1)小华同学：已知工作总量和工作效率，根据甲、乙的工作时间的数量关系列方程；小惠同学：已知工作总量和工作时间，根据甲、乙的工作效率的数量关系列方程；
(2)用分式方程解决实际问题时要注意，解分式方程时必须验根.
25．某学校校门口有一个长为9m的长条形（长方形）电子显示屏，学校的有关活动都会在“电子显示屏”播出，由于各次活动的名称不同，字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的老师对有关数据作出了如下规定：若字数在8个以下，边空：字宽：字距=2：4：1；若字数在8个以上（含8个），边空：字宽：字距=2：3：1，如图所录：
（1）某次活动的字数为9个，求字距是多少？
（2）如果某次活动的字宽为36cm，问字数是多少个？
【答案】（1）解：∵字数在8个以上，
∴边空：字宽：字距=2：3：1，
∵总长9m，总共9个字，
∴可知总长度被分成了2个边空，9个字宽，8个字距，
则字距为 ×9= m
（2）解：设字数为a个，
①字数在8个以下，则
×900=36，
解得a=19.4（不合题意舍去）；
②字数在8个以上（含8个），则
×900=36，
解得a=18．
经检验，a=18是原方程的解
答：字数是18个.
【解析】【分析】（1）根据字数在8个以上（含8个），可得边空：字宽：字距=2：3：1，根据总长9m，总共9个字，可得字距是多少；（2）设字数为a个，分两种情况：①字数在8个以下；②字数在8个以上（含8个）；根据等量关系：某次活动的字宽为36cm，得到关于a的方程，解方程即可求解．
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