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第19章 四边形 单元综合提升卷
一、单选题
1．一个三角形三边长之比为，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为（ ）
A．44厘米 B．40厘米 C．36厘米 D．24厘米
2．若菱形两条对角线的长分别为4和6，则此菱形面积为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
3．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形纸片ABCD的边长为15，E、F分别是CD、AD边上的点，连接AE，把正方形纸片沿BF折叠，使点A落在AE上的一点G，若CE＝7，则GE的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
5．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在 ABCD的对角线AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，则∠BAC的度数是（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
6．平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．若的长为，那么平行四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．在锐角三角形中，是边上的高，分别以、为一边，向外作正方形和，连接、和，与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③；④是的中线，其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．如图，四边形为菱形若，，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
9．如图，长方形ABCD是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD的边长DC为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
10．如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点C的坐标 ．
12．菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积是 ．
13．如图，△ABC中，AB=AC，AD为BC上的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F，交CA的延长线于点G. 已知EF=2，EG=3. 则AD的长为 ．
14．如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点，为的中点，连接，若，则的长度为 ．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD是AB边上的中线，则CD的长为 ．
16．如图，在中，，，点是外的一个点，连接，，且，，四边形的面积是，则的长为 ．
三、综合题
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．
求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
18．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．
探究：
（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；
（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；
（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；
如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；
（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）
（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．
19．已知：如图，在 ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE=CF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）BE∥DF．
20．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10， 求直角梯形ABCD的面积．
21．如图，等边 ABC 的边长是 2 ， D、E 分别为 AB 、 AC 的中点，连接CD ，过 E 点作 EF // DC 交 BC 的延长线于点 F
（1）求证：四边形 CDEF 是平行四边形；
（2）求四边形 CDEF 的周长
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D是AB边上一点.过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE.
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由.
23．在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题：
已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．
（1）填空：∠AGD+∠EGH= °；
（2）若点G在点B的右边．
①求证：△DAG≌△GHE；
②试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
（3）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数；若点G是直线AB上的一个动点，其余条件不变，请直接写出点A与点F之间距离的最小值．
24．如图，点 是正方形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个正方形 ，线段 与 、 分别相交于点 、 ．
（1）求证： ；
（2）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）若 ， ，求 的长．
25．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 以2 的速度向点终点 运动，同时点 从点 出发沿 以1 的速度向点终点 运动，它们到达终点后停止运动.
（1）几秒后，点 、 的距离是点 、 的距离的2倍；
（2）几秒后， 的面积是24 .
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第19章 四边形 单元综合提升卷
一、单选题
1．一个三角形三边长之比为，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为（ ）
A．44厘米 B．40厘米 C．36厘米 D．24厘米
【答案】D
2．若菱形两条对角线的长分别为4和6，则此菱形面积为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【解析】【解答】菱形的面积公式：菱形面积 ，其中a，b分别为菱形的两条对角线的长.
根据上述公式和题意，得
该菱形的面积 .
故答案为：B.
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可算出答案。
3．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
4．如图，正方形纸片ABCD的边长为15，E、F分别是CD、AD边上的点，连接AE，把正方形纸片沿BF折叠，使点A落在AE上的一点G，若CE＝7，则GE的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
5．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在 ABCD的对角线AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，则∠BAC的度数是（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【答案】C
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DCA=∠BAC，∠D+∠DCB=180°，
∵AE=BE=BC，
∴∠BAC=∠ABE，∠BEC=∠BCA，
∴∠BEC=∠BCA=2∠BAC，
∴∠DCB=3∠BAC，
∵∠D＝105°，
∴105°+3∠BAC=180°，
∴∠BAC=25°，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得出∠DCA=∠BAC，∠D+∠DCB=180°，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得出∠BEC=∠BCA=2∠BAC，得出∠DCB=3∠BAC，从而得出105°+3∠BAC=180°， 即可得出∠BAC的度数.
6．平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．若的长为，那么平行四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7．在锐角三角形中，是边上的高，分别以、为一边，向外作正方形和，连接、和，与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③；④是的中线，其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
8．如图，四边形为菱形若，，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】D
9．如图，长方形ABCD是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD的边长DC为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】B
10．如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
【答案】A
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点C的坐标 ．
【答案】或或
12．菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4，
∴菱形的面积= ×3×4=6．
故答案为6．
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可。
13．如图，△ABC中，AB=AC，AD为BC上的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F，交CA的延长线于点G. 已知EF=2，EG=3. 则AD的长为 ．
【答案】3.5
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥FG于点H，
∵AB=AC，AD是高，
∴∠DAC=∠DAB，
∵EF⊥BC，
∴∠ADC=∠GFC=90°，
∴AD∥GF，
∴∠G=∠DAC，∠AEG=∠BAD，
∴∠G=∠GEA，
∴AG=AE，
∵AH⊥EG，
∴EH=EG=1.5；
∵∠AHF=∠ADF=∠HFD=90°，
∴四边形ADFH是矩形，
∴AD=HF=HE+EF=1.5+2=3.5.
故答案为：3.5
【分析】过点A作AH⊥FG于点H，利用等腰三角形的性质可证得∠DAC=∠DAB，再证明AD∥GF，利用平行线的性质可推出∠G=∠DAC，∠AEG=∠BAD，由此可得到∠G=∠GEA，利用等角对等边可证得AG=AE，利用等腰三角形的性质可求出EH的长；然后证明四边形ADFH是矩形，利用矩形的对边相等，可求出AD的长.
14．如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点，为的中点，连接，若，则的长度为 ．
【答案】
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD是AB边上的中线，则CD的长为 ．
【答案】2.5
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=，
又∵CD是AB边上的中线，
∴CD=AB=×5=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】先求出斜边AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得CD的长.
16．如图，在中，，，点是外的一个点，连接，，且，，四边形的面积是，则的长为 ．
【答案】
三、综合题
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．
求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）解：由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论；（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．
18．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．
探究：
（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；
（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；
（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；
如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；
（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）
（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．
【答案】（1）解：DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC
（2）解：如图4，如图5．
（3）解：方法一：
如图6，
连接BE，
∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，
∴△PMA≌△EMB．
∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，
∴PA∥BE．
∵平行四边形PADC，
∴PA∥DC，PA=DC．
∴BE∥DC，BE=DC，
∴四边形DEBC是平行四边形．
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴DE⊥AC．
方法二：
如图7，连接BE，PB，AE，
∵PM=ME，AM=MB，
∴四边形PAEB是平行四边形．
∴PA∥BE，PA=BE，
余下部分同方法一：
方法三：
如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，
∵平行四边形PADC，
∴AN=NC，PN=ND．
∵AM=BM，AN=NC，
∴MN∥BC，MN= BC．
又∵PN=ND，PM=ME，
∴MN∥DE，MN= DE．
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
∴DE⊥AC．
（4）解：如图9，DE∥BC，DE=BC．
【解析】【分析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．
19．已知：如图，在 ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE=CF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）BE∥DF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAC+∠BAE=∠DCA+∠DCF=180°，
∴∠BAE=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF
（2）证明：∵△ABE≌△CDF，∴∠E=∠F，
∴BE∥DF
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等得出AB∥CD，AB=CD，根据二直线平行，内错角相等得出∠BAC=∠DCA，根据等角的补角相等得出∠BAE=∠DCF，从而利用SAS判断出△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形对应角相等得出∠E=∠F，再根据内错角相等二直线平行得出BE∥DF。
20．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10， 求直角梯形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，BE=DF，
在△CBE和△CDF中，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴CE=CF；
（2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，
在△CBE和△CDF中，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD；
（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD，
∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AF＝12，
由（2）可得DE＝DF＋BE，
∴DE＝4＋DF，
在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2，
∴（12 4）2＋（12 DF）2＝（4＋DF）2，
∴DF＝6，
∴AD＝6，
∴S四边形ABCD＝ (AD＋BC)×AB＝×(6＋12)×12＝108．
答：直角梯形ABCD的面积为108.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质并结合已知，用边角边可证△CBE≌△CDF，然后由全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，用边角边可证△ECG≌△FCG，由全等三角形的对应边相等可得GE=GF，然后根据线段的和差GE=DF+GD=BE+GD可求解；
（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，根据（2）可得：DE=BE+DF，在直角△ADE中用勾股定理可得关于DF的方程，解方程即可求解.
21．如图，等边 ABC 的边长是 2 ， D、E 分别为 AB 、 AC 的中点，连接CD ，过 E 点作 EF // DC 交 BC 的延长线于点 F
（1）求证：四边形 CDEF 是平行四边形；
（2）求四边形 CDEF 的周长
【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB，AC中点，
∴DE∥BC，DE= BC=1
∵EF // DC
∴四边形CDEF是平行四边形，
（2）解：∵四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，DE=CF
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴DC=EF=
∴四边形CDEF的周长是2+2 .
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，可得
DE∥BC，DE= BC=1，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形CDEF是平行四边形.
（2）利用平行四边形的对边相等，可得
DC=EF，DE=CF ，根据等边三角形的性质可得
AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2， 利用勾股定理可求出DC=
，从而求出
四边形CDEF的周长 .
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D是AB边上一点.过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE.
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由.
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形.
【解析】【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD＝BD，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
23．在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题：
已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．
（1）填空：∠AGD+∠EGH= °；
（2）若点G在点B的右边．
①求证：△DAG≌△GHE；
②试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
（3）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数；若点G是直线AB上的一个动点，其余条件不变，请直接写出点A与点F之间距离的最小值．
【答案】（1）90
（2）解：①∵EH⊥AB，
∴∠GHE=90°，
∴∠GEH+∠EGH=90°，
又∠AGD+∠EGH=90°，
∴∠GEH=∠AGD，
∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，
∴∠DAG=90°，DG=GE，
∴∠DAG=∠GHE，
在△DAG和△GHE中， ，
∴△DAG≌△GHE（AAS）；
②EH﹣BG的值是定值，
理由如下：
由①证得：△DAG≌△GHE，
∴AG=EH，
又AG=AB+BG，AB=4，
∴EH=AB+BG，EH﹣BG=AB=4
（3）解：下面分两种情况讨论：
（I）当点G在点B的左侧时，如图1，同（2）①可证得：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴GB+BH=AG+GB，
∴BH=AG=EH，又∠GHE=90°
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°；
（II）如图2，当点G在点B的右侧时，
由（2）①证得：△DAG≌△GHE．
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴AB+BG=BG+GH，
∴AG=BH，又EH=AG
∴EH=HB，又∠GHE=90°
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°；
（ III）当点G与点B重合时，如图3，同理可证：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG=AB，
∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°
综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°，
∴点A与点F之间距离的最小值为4．
【解析】【解答】解：（1）∵四边形DGEF是正方形，
∴∠DGE=90°，
∴∠AGD+∠EGH=180°﹣∠DGE=90°，
故答案为：90；
【分析】（1）根据正方形的性质得到∠DGE=90°，由平角的定义即可得到结论；（2）①根据垂直的定义得到∠GHE=90°，根据余角的性质得到∠GEH=∠AGD，根据正方形的性质得到∠DAG=90°，DG=GE，求得∠DAG=∠GHE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到AG=EH，根据线段的和差即可得到结论；（3）下面分两种情况讨论：（ I）当点G在点B的左侧时，如图1，根据全等三角形的性质得到GH=DA=AB，EH=AG，于是得到GB+BH=AG+GB，推出△BHE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°；（ II） 如图2，当点G在点B的右侧时，根据全等三角形的想知道的GH=DA=AB，EH=AG，于是得到AB+BG=BG+GH，推出△BHE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°；（ III）当点G与点B重合时，如图3，根据全等三角形的性质得到GH=DA=AB，EH=AG=AB，推出△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，于是得到∠EBH=45°即可得到结论．
24．如图，点 是正方形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个正方形 ，线段 与 、 分别相交于点 、 ．
（1）求证： ；
（2）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明： 四边形 、四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ，理由如下：
，
在 中，
（3）解：连接
在 中，
，
又 ．
． ，
且 ．
四边形 是正方形，
，
，
在 中，
．
【解析】【分析】（1）利用正方形四边相等，四角为直角，找到对应边AB与AD、AE与AG，两线点的夹角相等判定全等；
（2）利用第一问的全等条件得到∠AEB与∠AGF相等，进而得到BE与DG的夹角是直角，垂直关系；
（3）利用正方形的性质求得对角线长为12，得到OA的长，证明AODE是正方形，借助△KDE≌△KGA求解。
25．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 以2 的速度向点终点 运动，同时点 从点 出发沿 以1 的速度向点终点 运动，它们到达终点后停止运动.
（1）几秒后，点 、 的距离是点 、 的距离的2倍；
（2）几秒后， 的面积是24 .
【答案】（1）解：设 秒后点 、 的距离是点 、 距离的2倍，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ 时 ，
∴ ；
答：3秒后，点 、 的距离是点 、 的距离的2倍.
（2）解：设 秒后 的面积是24 ，
则 ，
整理得： ，
解得： ；
∴4秒后， 的面积是24 .
【解析】【分析】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2=4 PQ2，然后再代入相应数据可得方程82+（2t）2=4[（10-2t）2+t2]，再解即可；
（2）设x秒后△DPQ的面积是24cm2，利用矩形面积-△DPQ的面积=周围三个三角形面积和列方程即可．
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