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第4章 平面内的两条直线 单元综合知识梳理卷
一、单选题
1．将一个含有角的直角三角板按如图所示的方式放置，其中一个角的顶点落在直线a上，含角的顶点落在直线b上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，下列条件中：①；②；③；④．其中能判断的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
3．如图，已知△ABC的周长为20cm，现将△ABC沿AB方向平移2cm至位置，连接，则四边形的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
4．如图，由AD∥BC可以得到的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝90°
C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠ABC+∠BCD＝180°
5．如图，点A、D在射线AE上，直线AB∥CD，∠CDE=140°，那么∠A的度数为（ ）
A．140° B．60° C．50° D．40°
6．如图，，，则的度数为( )
A． B． C． D．
7．平面上画三条直线，交点的个数最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列语句：①同一平面上，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）
A．①、②是正确的命题 B．②、③是正确命题
C．①、③是正确命题 D．以上结论皆错
9． 如图， 平分 的反向延长线交 的平分线于点 ， 则 与 的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，直线l1与l2相交于点O，点P是平面内任意一点，点P到直线l1的距离为2，且到直线l2的距离为3，则符合条件的点P的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
二、填空题
11．某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽，其侧面如图，则购买地毯至少需要 元．
AI
12．如果∠ 与∠ 的两条边分别平行,其中∠ = °；∠ = °，则∠ 的度数为
13．如图，已知正方形，点在上且点在点的左侧，在的同侧以，，为一边，另一边分别为在正方形内部作三个矩形，其面积分别为，，．若，，则阴影部分图形的周长为 ．
14．如图，直线 ，直线 分别交 于 两点， 平分 ，若 ，则 .
15．在同一平面上，和直线l距离为8cm的直线有 条．
16．如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=50°，则∠2= ．
三、综合题
17．如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍．
（1）若，，求的度数和的长．
（2）若的面积是20，求四边形的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，α），B（b，α），且α、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合） 的值是否发生变化，并说明理由．
19．已知，如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△ABC先向上平移3格，再向左平移2格．
（1）画出平移后的图形△A′B′C′；
（2）直接写出△A′B′C′的面积 ．
20．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．请按要求问答下列问题：
（1）分别写出点A、B、C的坐标；
（2）将△ABC先向上平移5个单位，接着向左平移6个单位得△A1B1C1，请在平角直角坐标系中画出△A1B1C1；
（3）分别写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
21．如图，已知，CE、BE的交点为点E，现作如下操作：
第一次操作：分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为；
第二次操作：分别作和的平分线，交点为；
第三次操作：分别作和的平分线，交点为；……
第n次操作：分别作和的平分线，交点为；
（1）如图①·试说明：∠BEC＝∠ABE＋∠DCE；
（2）如图②，试说明：；
（3）猜想：若，那的度数为多少？（直接写出结论）
22．探索发现：
（1）如图1，，小明同学通过过点E作AB的平行线，利用平行线的性质，得出了∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系，请你猜测∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系；
（2） 变式迁移： 如图2，，试探究∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系；
（3）如图3，，DE平分∠CDF，，若，，求∠BFD的度数．
23．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和三角板画图或计算：
（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）△A′B′C′的面积为 ．
24．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）．
（1）求这个四边形的面积．
（2）如果把原来的四边形ABCD向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新的四边形A1B2C3D4，请直接写出平移后的四边形各点的坐标和新四边形的面积．
25．如图， ， .点 是射线 上一动点（与点 不重合）， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点 .
（1）求 的度数.
（2）求 的度数.
（3）当点 运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若变化，请写出变化规律；若不变化，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.
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第4章 平面内的两条直线 单元综合知识梳理卷
一、单选题
1．将一个含有角的直角三角板按如图所示的方式放置，其中一个角的顶点落在直线a上，含角的顶点落在直线b上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．如图，下列条件中：①；②；③；④．其中能判断的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠4，
∴；
②∵∠2=∠3，
∴；
③∵，
∴；
④∵，
∴；
∴能得到的条件是②④.
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定定理解题即可．
3．如图，已知△ABC的周长为20cm，现将△ABC沿AB方向平移2cm至位置，连接，则四边形的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，得A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为，
∴BC=，=，
则四边形的周长=CA+AB+++=△ABC的周长+2=20+4=24cm，
故答案为：C．
【分析】利用平移的性质可得BC=，=，再利用四边形的周长公式及等量代换求解即可。
4．如图，由AD∥BC可以得到的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝90°
C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠ABC+∠BCD＝180°
【答案】C
【解析】【解答】A. 当∠1=∠2时，AB∥CD，故A不符合题意；
B. 当∠3=∠4时，无法判断AD∥BC或AB∥CD，故B不符合题意；
C. 当∠DAB+∠ABC=180 时，AD∥BC(同旁内角相等，两直线平行)，故C符合题意；
D. 当∠ABC+∠BCD=180 时，AB∥CD(同旁内角相等，两直线平行)，故C不符合题意。
故答案为：C.
【分析】两直线平行，可得同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； ∠1和∠2 不是AD、BC被第三条直线所截构成的内错角，故A选项错误； ∠3与∠4是AD、BC被第三条直线所截构成的内错角，所以 ∠3=∠4 ，故B选项错误； ∠DAB与∠ABC是AD、BC被第三条直线所截构成的同旁内角，所以 ∠DAB+∠ABC＝180° ，故C选项正确； ∠ABC和∠BCD 不是AD、BC被第三条直线所截构成的同旁内角，故D选项错误.
5．如图，点A、D在射线AE上，直线AB∥CD，∠CDE=140°，那么∠A的度数为（ ）
A．140° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【解析】【解答】解：延长CD，
∵∠CDE=140°，
∴∠EDF=40°．
∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDF=40°．
故选D．
【分析】延长CD，先根据补角的定义得出∠EFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
6．如图，，，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
7．平面上画三条直线，交点的个数最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①当这三条直线平行时如图（1）则无交点，
②当三条直线过同一点时，如图（2）则知道只有一个交点；
③当这三条直线中有两条平行时如图（3），则有2个交点；
④当三条直线不经过同一点时，如图（4）则可知道有三个交点．
故选：C．
【分析】在平面上画出三条直线，①当这三条直线平行时无交点，②当这三条直线经过同一个点时，则可以知道有一个交点；③当这三条直线中有两条平行时有2个交点，④当这三条直线不经过同一点时，则可以知道有三个交点．即可以得出答案．
8．下列语句：①同一平面上，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）
A．①、②是正确的命题 B．②、③是正确命题
C．①、③是正确命题 D．以上结论皆错
【答案】A
【解析】【解答】①同一平面上，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，正确；②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直，正确；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以错误．故①、②是正确的命题，故选：A．
【分析】根据平行公理、垂直的定义和平行线的定义进行判断即可．
9． 如图， 平分 的反向延长线交 的平分线于点 ， 则 与 的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 平分 平分 ，
过 作 ， 过 作 ， 则
即 ．
即 ．
故答案为：D
【分析】根据角平分线的定义可得，根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得进而推出，根据，即可求得.
10．如图，直线l1与l2相交于点O，点P是平面内任意一点，点P到直线l1的距离为2，且到直线l2的距离为3，则符合条件的点P的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵到直线 l1的距离为2 的点在与直线 l1平行且与直线 l1的距离为2的两条平行线a、b上，
到直线 l2的距离为3的点在与直线 l2平行且与直线 l2的距离为3的两条平行线c、d上，
∴符合条件的点有P1、P2、P3、P4，共4个点.
故答案为：C.
【分析】由于到直线 l1的距离为2 的点在与直线 l1平行且与直线 l1的距离为2的两条平行线a、b上，
到直线 l2的距离为3的点在与直线 l2平行且与直线 l2的距离为3的两条平行线c、d上，它们有4个交点，即为所求.
二、填空题
11．某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽，其侧面如图，则购买地毯至少需要 元．
AI
【答案】450
12．如果∠ 与∠ 的两条边分别平行,其中∠ = °；∠ = °，则∠ 的度数为
【答案】50°或70°
【解析】【解答】解：由题意得：∠A+∠B=180°或∠A=∠B，
即（x+30）+(3x-10)=180或x+30=3x-10，
解得x=40°或x=20°，
∴∠A=（40+30）°=70°或∠A=（20+30）°=50°，
故∠A的度数为50°或70°.
【分析】如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；如果两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补；能够熟练应用来解题是关键.
13．如图，已知正方形，点在上且点在点的左侧，在的同侧以，，为一边，另一边分别为在正方形内部作三个矩形，其面积分别为，，．若，，则阴影部分图形的周长为 ．
【答案】82
【解析】【解答】解：如图，过中间矩形的上宽作，
由题意可得，，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分图形的周长．
故答案为：82．
【分析】过中间矩形的上宽作，根据图形及矩形的面积计算公式得到，，进而利用割补法得到，又由可得，由得，即可得，再结合矩形面积计算公式可得，即得到，即可结合图形、利用平移思想及正方形周长计算方法求出阴影部分图形的周长.
14．如图，直线 ，直线 分别交 于 两点， 平分 ，若 ，则 .
【答案】64°
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠AEG.
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF=2∠AEG，
∴∠AEF=2∠1=64°.
∴∠2=∠AEF=64°.
故答案为：64°.
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得到∠1=∠AEG，再利用角平分线的性质推出∠AEF=2∠1，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”就可求出∠2的度数.
15．在同一平面上，和直线l距离为8cm的直线有 条．
【答案】2
【解析】【解答】解：在同一平面上，和直线l距离为8cm的直线在直线L的两侧各有一条．
故答案为：2．
【分析】根据平行线间的距离即可得出结论．
16．如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=50°，则∠2= ．
【答案】130°
【解析】【解答】如图，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=50°，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣50°=130°．
故答案为：130°．
【分析】平行线间有折线，要延长折线构造出内错角进行转化.
三、综合题
17．如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍．
（1）若，，求的度数和的长．
（2）若的面积是20，求四边形的面积．
【答案】（1）125°，7.5
（2）60
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，α），B（b，α），且α、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合） 的值是否发生变化，并说明理由．
【答案】（1）解：∵（a﹣2）2+|b﹣4|=0，
∴a=2，b=4，
∴A（0，2），B（4，2）．
∵将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，
∴C（﹣1，0），D（3，0）．
∴S四边形ABDC=AB×OA=4×2=8
（2）解：在y轴上存在一点M，使S△MCD=S四边形ABCD．设M坐标为（0，m）．
∵S△MCD=S四边形ABDC，
∴ ×4|m|=8，
∴2|m|=8，
解得m=±4．
∴M（0，4）或（0，﹣4）
（3）解：当点P在BD上移动时， =1不变，理由如下：
过点P作PE∥AB交OA于E．
∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，
∴PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠DOP=∠OPE，
∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，
∴ =1．
【解析】【分析】（1）先由非负数性质求出a=2，b=4，再根据平移规律，得出点C，D的坐标，然后根据四边形ABDC的面积=AB×OA即可求解；（2）存在．设M坐标为（0，m），根据S△PAB=S四边形ABDC，列出方程求出m的值，即可确定M点坐标；（3）过P点作PE∥AB交OC与E点，根据平行线的性质得∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，故比值为1．
19．已知，如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△ABC先向上平移3格，再向左平移2格．
（1）画出平移后的图形△A′B′C′；
（2）直接写出△A′B′C′的面积 ．
【答案】（1）解：如图所示：△A′B′C′即为所求
（2）8
【解析】【解答】（2）△A′B′C′的面积为： ×4×4=8．
故答案为：8．
【分析】（1）直接利用平移的性质进而得出对应点位置求出答案即可；（2）利用钝角三角形面积求法得出答案．
20．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．请按要求问答下列问题：
（1）分别写出点A、B、C的坐标；
（2）将△ABC先向上平移5个单位，接着向左平移6个单位得△A1B1C1，请在平角直角坐标系中画出△A1B1C1；
（3）分别写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
【答案】（1）解：由图可知，A（4，﹣1）、B（2，﹣4）、C（5，﹣4）
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（3）解：由图可知，A1（﹣1，3），B1（﹣4，1），C1（﹣1，1）．
【解析】【分析】（1）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；（2）根据图形平移的性质画出△A1B1C1即可；（3）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可．
21．如图，已知，CE、BE的交点为点E，现作如下操作：
第一次操作：分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为；
第二次操作：分别作和的平分线，交点为；
第三次操作：分别作和的平分线，交点为；……
第n次操作：分别作和的平分线，交点为；
（1）如图①·试说明：∠BEC＝∠ABE＋∠DCE；
（2）如图②，试说明：；
（3）猜想：若，那的度数为多少？（直接写出结论）
【答案】（1）解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）解：∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC，
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
（3）解：∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC，
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；
…
以此类推，∠En=∠BEC，
∴当∠BEC=α度时，∠BEnC等于．
【解析】【分析】（1）先求出 AB∥EF∥CD， 再求出 ∠B=∠1，∠C=∠2， 最后证明即可；
（2）根据角平分线的定义，结合图形求解即可；
（3）根据角平分线的定义先求出 ∠En=∠BEC， 再求解即可。
22．探索发现：
（1）如图1，，小明同学通过过点E作AB的平行线，利用平行线的性质，得出了∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系，请你猜测∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系；
（2） 变式迁移： 如图2，，试探究∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系；
（3）如图3，，DE平分∠CDF，，若，，求∠BFD的度数．
【答案】（1）猜测，如图，过点作，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，
；
（3）解：，，，
，
平分，
，
，，
，
由（2）得：．
【解析】【分析】（1）构造平行线，根据两直线平行内错角相等即可。
（2）构造平行线，根据两直线平行内错角相等及角度加减求解即可。
（3）根据角平分线性质及（2）中结论运用求解。
23．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和三角板画图或计算：
（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）△A′B′C′的面积为 ．
【答案】（1）解：如图所示，△A′B′C′即为所求
（2）解：如图，线段CD即为AB边上的中线
（3）解：如图，线段AE即为BC边上的高
（4）8
【解析】【解答】解：（4）S△A′B′C′=4×6﹣ ×2×4﹣ ×4×6=24﹣4﹣12=8．
故答案为：8．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）找出线段AB的中点D，连接CD即可；（3）过点A向线段BC所在的直线作垂线，垂足为点E；（4）利用矩形的面积减去两个顶点上三角形的面积即可．
24．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）．
（1）求这个四边形的面积．
（2）如果把原来的四边形ABCD向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新的四边形A1B2C3D4，请直接写出平移后的四边形各点的坐标和新四边形的面积．
【答案】（1）解：如图，作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，
∵A（﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），D（0，0），
∴S四边形ABCD=S△AED+S梯形AEFB+S△BCF，
= 2 8+ （6+8） 9+ 3 6
=80．
（2）解：把原来的四边形ABCD向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新的四边形A1B2C3D4，图象如图所示：A1（﹣4，5）、B2（﹣13，3）、C3（﹣16，﹣3）、D4（﹣2，﹣3），
∵四边形A1B2C3D4是由四边形ABCD平移所得，
∴新四边形面积等于原来四边形面积=80．
【解析】【分析】（1）根据S四边形ABCD=S△AED+S梯形AEFB+S△BCF计算即可．（2）把四边形ABCD的各个顶点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度即可，写出平移后各个顶点的坐标即可，新四边形面积和原来四边形面积相等，由此即可解决问题．
25．如图， ， .点 是射线 上一动点（与点 不重合）， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点 .
（1）求 的度数.
（2）求 的度数.
（3）当点 运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若变化，请写出变化规律；若不变化，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ .
（3）不变， ，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A+∠ABN=180°，即可求出∠ABN的度数；
（2）根据角平分线的定义得出∠CBP=∠ABP，∠PBD=∠PBN，再利用∠CBD=∠CBP+∠PBD=∠ABN，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质得出∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，根据角平分线的定义得出∠PBN=2∠DBN，进而得出∠APB=2∠DBN.
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