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第5章 轴对称与旋转 单元复习巩固卷
一、单选题
1．在下列方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有（ ）
A．3种 B．5种 C．4种 D．6种
2．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的对角线相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，则∠α的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．如图所示的四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边行
C．正五边形 D．圆
6．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（ ）
A．34° B．36° C．38° D．40°
7．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A． B． C． D．
9．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
①F，R，P，J，L，G，（ ）
②H，I，O，（ ）
③N，S，（ ）
④B，C，K，E，（ ）
⑤V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X
C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
10．如图，在3×3的网格中，与ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
二、填空题
11．如图，以长方形的一边为轴，将其旋转一周得到的立体图形的表面积为 ．（结果保留π）
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC绕着点C逆时针旋转后得到的△A′B′C的斜边A′B′经过点A，那么∠ACA'的度数是 度．
13．如图，将 绕点 按逆时针方向旋转45°后得到 ，若 ，则 度．
14．将一个直角三角尺AOB绕直角顶点O旋转到如图所示的位置，若∠AOD＝110°，则旋转角的角度是 °，∠BOC＝ °．
15．如图，在2×2方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出方格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个．
16．如图，点M，P，Q，N在同一直线上，现将绕点P以每秒的速度顺时针旋转，同时绕点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转一周后与同时停止转动，设旋转时间为t秒，当时，t的值为 ．
三、综合题
17．如图
（1）如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A1，画出一个格点△A1B1C1，使它与△ABC全等且A与A1是对应点.
（2）如图②，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，-3)，B(-2，-1)，C(-1，-2)；
①画出△ABC关于y轴对称的图形；
②点B关于x轴对称的点的坐标为
18．在数学活动课上，小明将一副三角尺的直角顶点O重合在一起，并对形成的角进行了系列化探究．
（1）如图1，三角尺的斜边，在同一直线上，则 ．
（2）如图2，将三角尺绕点O逆时针旋转，与交于点E，若，则 ．
（3）在图2的基础上，将三角尺继续绕点O逆时针旋转，使点B落在边上，与交于点E．利用图3补全图形，写出与间的等量关系，并证明你的结论．
19．在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．
（1）旋转中心是 ，旋转角的大小是 ．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
20．如图，在等腰 中，AC＝AB，∠CAB＝90°，E是BC上一点，将E点绕A点逆时针旋转90°到AD，连接DE、CD.
（1）求证： ；
（2）当BC＝6，CE＝2时，求DE的长.
21．如图，已知A（2，3）、B（1，1）、C（4，1）是平面直角坐标系中的三点．
（1）①请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
②画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2；
（2）若△ABC中有一点P坐标为（x，y），请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．
22．认真观察图（1）﹣（4）中的四个图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1： ；特征2： ．
（2）请你在图5中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
23．已知：如图，已知△ABC，
（1）分别画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点坐标；
A1（ ， ）B1（ ， ）C1（ ， ）
（2）△ABC的面积= ．
24．探索新知：
如图1，射线 在 的内部，图中共有3个角： 和 ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”
（1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 ；（用含 的代数式表示）；
（3）如图2，若 ，且射线 绕点P从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，当 与 成 时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线 同时绕点P以每秒 的速度逆时针旋转，并与 同时停止，请求出当射线 是 的“巧分线”时的值．
25．与它的补角的差正好等于 的一半.
图1 图2 图3
（1）求 的度数；
（2）如图1，过点O 作射线OC，使 ，OD 是 的平分线，求 的度数；
（3）如图2，射线OM 与OB 重合，射线 ON 在 外部，且 现将 绕O 顺时针旋转 若在此过程中，OP 平分 OQ 平分 试问 的值是定值吗 若是，请求出来；若不是，请说明理由.
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第5章 轴对称与旋转 单元复习巩固卷
一、单选题
1．在下列方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有（ ）
A．3种 B．5种 C．4种 D．6种
【答案】C
2．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的对角线相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
3．如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，则∠α的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AEF，
∴∠C=∠F=50°，∠BAE=80°，
又∠B=100°，∴∠BAC=30°，
∴∠α=∠BAE﹣∠BAC=50°．
故选B．
【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角、对应线段作答．
4．如图所示的四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、能通过其中一个正六边形平移得到，故此选项错误；
B、不能通过其中一个长方形平移得到，故此选项符合题意；
C、能通过其中一个平行四边形平移得到，故此选项错误；
D、能通过其中一个正方形平移得到，故此选项错误．
故选：B．
【分析】根据平移的性质，对四个选项逐步分析．
5．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边行
C．正五边形 D．圆
【答案】D
【解析】【解答】解：等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形；
正五边形是轴对称图形不是中心对称图形；
圆是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
6．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（ ）
A．34° B．36° C．38° D．40°
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，，，又，
．
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可得，，再利用角的运算求出即可。
7．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，
∴作图正确是C选项图形．
故选C．
【分析】根据旋转的性质，△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，点A与点D、B与E关于点O成中心对称解答．
8．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形.
∴BF=BG=FG，.
∴AG+BG+CG=FE+GF+CG.
根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，
∴BF=2，EF=2 ，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴EC=4 .
∵∠CBE=120°，
∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，
∴EF=BF=FG，
∴EF= CE= ，
故答案为：D.
【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长.
9．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
①F，R，P，J，L，G，（ ）
②H，I，O，（ ）
③N，S，（ ）
④B，C，K，E，（ ）
⑤V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X
C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
【答案】D
【解析】【解答】①不是对称图形，5个字母中不是对称图形的只有：Q，Z；
②有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；
③是中心对称图形，则规律相同的是：Z，X；
④是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；
⑤是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．
故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．
故选D．
【分析】分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断．
10．如图，在3×3的网格中，与ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解析】【解答】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有：
故答案为：D
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，若直线两旁的部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形；利用方格纸的特点，轴对称图形的概念，首先确定出对称轴，即可一一的做出满足条件的三角形。
二、填空题
11．如图，以长方形的一边为轴，将其旋转一周得到的立体图形的表面积为 ．（结果保留π）
【答案】或
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC绕着点C逆时针旋转后得到的△A′B′C的斜边A′B′经过点A，那么∠ACA'的度数是 度．
【答案】60
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴△A′B′C中，∠B′=∠B=30°，∠B′=60°，
∴A′B′=2A′C．
∵AC=A′B′，
则A是A′B′的中点．
∴AA′=A′C=AC，即△A′CA是等边三角形．
∴∠ACA′=60°．
故答案是：60°．
【分析】根据旋转的性质，以及直角三角形的性质，即可证得△A′CA是等边三角形，从而求解．
13．如图，将 绕点 按逆时针方向旋转45°后得到 ，若 ，则 度．
【答案】60
【解析】【解答】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，
∴∠BOD=45°，∠COD=∠AOB，
又∵∠AOB=15°，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=45°+15°=60°，
故答案为60°．
【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，且∠COD=∠AOB，再用∠BOD加∠COD即可．
14．将一个直角三角尺AOB绕直角顶点O旋转到如图所示的位置，若∠AOD＝110°，则旋转角的角度是 °，∠BOC＝ °．
【答案】20；70
【解析】【解答】由题意可知：
∵对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角，
都是旋转角.
故答案为：20；70
【分析】根据旋转的性质，旋转前后，两个图形的对应边相等，对应角度相等，所以OB和OD为对应边，即旋转角为∠BOD；根据旋转的角度为20°，所以∠AOC=∠BOD=20°，所以∠BOC的角度即可求出来。
15．如图，在2×2方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出方格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个．
【答案】5
【解析】【解答】解：如图：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有△ABD、△BCD、△FBE、△HCE，△AFG，
共5个．
故答案为：5．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形进行画图即可．
16．如图，点M，P，Q，N在同一直线上，现将绕点P以每秒的速度顺时针旋转，同时绕点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转一周后与同时停止转动，设旋转时间为t秒，当时，t的值为 ．
【答案】36或72或108
三、综合题
17．如图
（1）如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A1，画出一个格点△A1B1C1，使它与△ABC全等且A与A1是对应点.
（2）如图②，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，-3)，B(-2，-1)，C(-1，-2)；
①画出△ABC关于y轴对称的图形；
②点B关于x轴对称的点的坐标为
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：①如图所示；
②点B关于x轴对称的点的坐标为B″（2，1）
【解析】【分析】根据轴对称的性质作图即可。
18．在数学活动课上，小明将一副三角尺的直角顶点O重合在一起，并对形成的角进行了系列化探究．
（1）如图1，三角尺的斜边，在同一直线上，则 ．
（2）如图2，将三角尺绕点O逆时针旋转，与交于点E，若，则 ．
（3）在图2的基础上，将三角尺继续绕点O逆时针旋转，使点B落在边上，与交于点E．利用图3补全图形，写出与间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）15
（2）105
（3）解：如图：
，
是和的一个外角
．
由于，，
所以
【解析】【解答】解：（1） ， ，
，
，
故答案为：15，
（2）
故答案为：105
【分析】（1）根据三角板的特征可得 ， ，再利用三角形的外角可得 ；
（2）根据平行线的性质可得 ，再利用三角形的内角和可得 ；
（3）根据三角形的外角的性质可得 ，再将 ，代入计算可得答案。
19．在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．
（1）旋转中心是 ，旋转角的大小是 ．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【答案】（1）A|150°；
（2）解：∵△ABC绕点A逆时针旋转150°后与△ADE重合，
∴∠DAE=∠BAC=150°，AB=AD=4，AC=AE，
∴∠BAE=360°-150°-150°=60°，
∵点C为AD中点，
∴AC=AD=2，
∴AE=2．
【解析】【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠B+∠ACB=30°，
∴∠BAC=150°，
当△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴旋转中心为点A，∠BAD等于旋转角，即旋转角为150°；
【分析】（1）先由图可以确定旋转后的对应点，进一步确定旋转中心，确定旋转角，在△ABC中，利用三角形内角和计算出∠BAC的度数，即可解决；
（2）根据旋转的性质可以得到∠DAE=∠BAC=150°，AB=AD=4，AC=AE，再利用线段中点的性质可得AC=AD=2，即可得到AE=2.
20．如图，在等腰 中，AC＝AB，∠CAB＝90°，E是BC上一点，将E点绕A点逆时针旋转90°到AD，连接DE、CD.
（1）求证： ；
（2）当BC＝6，CE＝2时，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵E点绕A点逆时针旋转90°到AD，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB，
∵AC＝AB，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）∵等腰△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∠DCA＝∠ABE＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵BC＝6，CE＝2，
∴BE＝4＝CD，
∴DE＝ ＝2 .
【解析】【分析】（1）根据E点绕A点逆时针旋转90°到AD，可得AD＝AE，∠DAE＝90°，进而可以证明△ABE≌△ACD；
（2）结合（1）△ABE≌△ACD，和等腰三角形的性质，可得∠DCE＝90°，再根据勾股定理即可求出DE的长.
21．如图，已知A（2，3）、B（1，1）、C（4，1）是平面直角坐标系中的三点．
（1）①请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
②画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2；
（2）若△ABC中有一点P坐标为（x，y），请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．
【答案】（1）①解：如图所示：△A1B1C1，即为所求；②解：如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（2）根据题意可得：P的对应点P2的坐标为：（﹣x，y﹣3）．
【解析】【分析】（1）①根据轴对称图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；
②利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用图象变换规律进而得出对应点坐标变化．
22．认真观察图（1）﹣（4）中的四个图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1： ；特征2： ．
（2）请你在图5中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
【答案】（1）都是轴对称图形；都是中心对称图形
（2）如图所示，
【解析】【解答】解：（1）特征1：都是轴对称图形；
特征2：都是中心对称图形．
故答案为：都是轴对称图形；都是中心对称图形；
【分析】（1）利用沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形，进而得出即可；（2）根据题意画出图形即可．
23．已知：如图，已知△ABC，
（1）分别画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点坐标；
A1（ ， ）B1（ ， ）C1（ ， ）
（2）△ABC的面积= ．
【答案】（1）0；﹣2；﹣2；﹣4；﹣4；﹣1
（2）5
【解析】【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求，由图可知，A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）．
故答案为：0，﹣2；﹣2，﹣4；﹣4，﹣1；
2）S△ABC=S四边形CDEF﹣S△ACD﹣S△ABE﹣S△BCF=12﹣2﹣3﹣2=5．
故答案为：5．
【分析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，由各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；（2）利用四边形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
24．探索新知：
如图1，射线 在 的内部，图中共有3个角： 和 ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”
（1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 ；（用含 的代数式表示）；
（3）如图2，若 ，且射线 绕点P从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，当 与 成 时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线 同时绕点P以每秒 的速度逆时针旋转，并与 同时停止，请求出当射线 是 的“巧分线”时的值．
【答案】（1）是
（2） 或 或 深入研究：
（3）解：依题意有：
① ，
解得 ；
② ，
解得 ；
③ ，
解得 ；
故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
【解析】【解答】（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”，
故答案为：是；
（2）∵∠MPN=α，
当∠MPN=2∠MPQ时，如图：
∴∠MPQ= ；
当∠QPN=2∠MPQ时，如图：
∴∠MPQ= ；
当∠MPQ=2∠QPN时，如图：
∴∠MPQ= ，
故答案为： 或 或 ；
【分析】（1）根据“巧分线”定义即可求解；
（2）分两种情况，根据“巧分线”定义即可求解；
（3）分两种情况，根据“巧分线”定义得出方程求解即可。
25．与它的补角的差正好等于 的一半.
图1 图2 图3
（1）求 的度数；
（2）如图1，过点O 作射线OC，使 ，OD 是 的平分线，求 的度数；
（3）如图2，射线OM 与OB 重合，射线 ON 在 外部，且 现将 绕O 顺时针旋转 若在此过程中，OP 平分 OQ 平分 试问 的值是定值吗 若是，请求出来；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：设∠AOB=x，依题意得：
解得x=120°，
∴∠AOB=120°.
（2）解：①当 OC 在∠AOB 的内部时，∠AOD =∠AOC+∠COD，
设∠BOC=y，则∠AOC=4y，
∴y+4y=120°，y=24°，
∴∠AOC=96°，∠BOC=24°.
∵OD 平分∠BOC，
∴∠AOD=96°+12°=108°.
②当OC 在∠AOB 外部时，同理可得∠AOD=140°，
∴∠AOD 的度数为 108°或 140°.
（3）解：是.
∵∠MON 绕O顺时针旋转n°，
∴∠AOM=（120+n）°.
∵OP 平分∠AOM，
∵OQ 平分∠BON，
∴∠POQ=（120+40+n）°-∠AOP-∠NOQ
是定值.
【解析】【分析】（1）设∠AOB=x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）分情况讨论：当 OC 在∠AOB 的内部时，当OC 在∠AOB 外部时，根据角平分线定义及角之间的关系即可求出答案.
（3）根据旋转性质可得∠AOM=（120+n）°，再根据角平分线定义可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
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