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第17章 三角形 单元综合培优卷
一、单选题
1．如图，AD和BC相交于O点，OA=OC，用“SAS”证明△AOB≌△COD还需（ ）
A．AB=CD B．OB=OD C．∠A=∠C D．∠AOB=∠COD
2．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是边的中线，点E在上，，的面积是3，则的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．在如图所示的 6×6 网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数（ ）
A．3 个 B．4 个 C．6 个 D．7 个
5．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．2，3，6 C．8，6，4 D．6，7，14
6．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．如图，AC⊥BC于C，EF⊥BC于F，点D在BC的延长线上，AB⊥DE，且AB＝DE，若EF＝m，AC＝n，CF＝t，则BD的长为（ ）
A．m＋t B．n＋t C．m－n＋t D．m＋n－t
8．如图，在∠AOB的两边上截取AO="BO" ，OC=OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则图中全等三角形共有（ ）对；
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为 ，则△BEF（阴影部分）的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．现有两根木棒，长度分别为 和 ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）
A． 的木棒 B． 的木棒 C． 的木棒 D． 的木棒
二、填空题
11．如图，∠ACD＝∠BCD，DE∥BC交AC于E，若∠ACB＝6 0°，∠B＝74°，则∠EDC＝ °，∠CDB＝ °．
12．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，请你再添加一个条件使．你添加的条件是 ．
13．如图， ABC≌ EDF，AE=20，FC=10，则AF的长是 ．
14．若的高，，，则的面积为 ．
15．如图，是的中线，是的高线，，，，则点到的距离是 ．
16．已知三角形的两边长分别为和，则第三边a的长的取值范围是 ．
三、综合题
17．如图，在 ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点A在直线l上，BM⊥，CN⊥l，垂足分别为M，N．
（1）你能找到一对全等的三角形吗？并说明理由．
（2）线段BM，CN，MN之间有何数量关系？并说明理由．
18．如图
（1）如图 ，在正方形ABCD中， 的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求 的度数．
（2）如图 ，在 中， ， ，点M，N是BD边上的任意两点，且 ，将 绕点A逆时针旋转 至 位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图 中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若 ， ， ，求AG，MN的长．
19．如图， ， ， ， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求证：
20．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．
（1） 的面积 ；
（2）在坐标系中作出 关于 轴对称的 ，并写出点 、 、 的坐标．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF.
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°.
22．如图所示.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一直线PQ，过点A作 于点M，过点B作BN PQ于点N.
（1）如图①，当M、N在△ABC的外部时，MN、AM、BN有什么关系呢？为什么？
（2）如图②，当M、N在△ABC的内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出MN与AM、BN之间的数关系并说明理由.
23．如图，在 中， ， 为 的中点， 分别为边 上的点，且 .
（1）求证： .
（2）当 时，求 的度数.
24．如图，△ABC经过平移后，使点A与点A′（﹣1，4）重合．
（1）画出平移后的△A′B'C′；
（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）若三角形ABC内有一点P（a，b），经过平移后的对应点P′的坐标 ；
（4）点P在坐标轴上，且△OCP的面积等于12，则满足条件的点P的坐标为 ．
25．已知△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（-3，0），C（x，y）．
（1）若x＝-3，y＝3，求△ABC的面积；
（2）如图，若顶点C（x，y）位于第二象限，且CB∥y轴，AC与y轴相交于点E（0，1），当△ABC沿x轴正半轴方向平移，得到△DOF，且△DOF与原△ABC重叠部分为△AOE，求阴影部分的面积S（用含y的式子表示）；
（3）若点C到y轴的距离为4，点P（0，5），当S△ABC＝2S△ABP，求点C的坐标．
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第17章 三角形 单元综合培优卷
一、单选题
1．如图，AD和BC相交于O点，OA=OC，用“SAS”证明△AOB≌△COD还需（ ）
A．AB=CD B．OB=OD C．∠A=∠C D．∠AOB=∠COD
【答案】B
【解析】【解答】选项A，添加AB=DC，不能根据SAS证两三角形全等；选项B，根据条件OB=OD，∠AOB=∠DOC和OA=OC，能根据SAS证两三角形全等；选项C，根据条件∠A=∠C ，OA=OC，∠AOB=∠DOC，根据ASA能证两三角形全等；选项D，添加条件∠AOB=∠COD不能证两三角形全等，故答案为：B．
【分析】用SAS判断两个三角形全等，是指两边及夹角，所以只有B正确。
2．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3．如图，是边的中线，点E在上，，的面积是3，则的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
4．在如图所示的 6×6 网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数（ ）
A．3 个 B．4 个 C．6 个 D．7 个
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
以BC为一条公共边且与△ABC全等的是：△B1BC，△B2BC，△B7BC，
以AC为一条公共边且与△ABC全等的是：△B3AC，△B4AC，△B5AC，
以AB为一条公共边且与△ABC全等的是：△B6AB，
综上，正确的三角形共有7个，
故答案为：D．
【分析】如图，分三种情况：分别以BC、AC、AB为一条公共边，根据全等三角形的判定方法和方格的特点解答即可．
5．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．2，3，6 C．8，6，4 D．6，7，14
【答案】C
【解析】【解答】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边
A、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形
B、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形
C、 ，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形
D、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形
故答案为：C．
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
6．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：根据三角形按边分的分类，等腰三角形包括两个边相等的三角形和三个边相等的三角形。
故答案为：D。
【分析】根据三角形的分类直接可以得到答案。
7．如图，AC⊥BC于C，EF⊥BC于F，点D在BC的延长线上，AB⊥DE，且AB＝DE，若EF＝m，AC＝n，CF＝t，则BD的长为（ ）
A．m＋t B．n＋t C．m－n＋t D．m＋n－t
【答案】D
【解析】【解答】∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F，AB⊥DE，
∴∠3＝∠4＝∠5＝90°，
∴∠EFD＝90°，∠1＋∠E＝90°，∠2＋∠B＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠E，
在Rt△DEF和Rt△ABC中，
∠5＝∠EFD＝90°，∠B＝∠E，AB＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△ABC，
∴BC＝EF＝m，DF＝AC＝n，
∴BD＝BC＋DF－CF＝m＋n－t，
故答案为：D．
【分析】先利用已知条件证得Rt△DEF≌Rt△ABC，再利用全等三角形的性质和线段的和差关系计算即可。
8．如图，在∠AOB的两边上截取AO="BO" ，OC=OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则图中全等三角形共有（ ）对；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
9．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为 ，则△BEF（阴影部分）的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵E是AD的中点，
∴BE，CE分别为△ABD和△ACD的中线，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据同底等高的三角形面积相等可得，即可得到答案。
10．现有两根木棒，长度分别为 和 ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）
A． 的木棒 B． 的木棒 C． 的木棒 D． 的木棒
【答案】C
【解析】【解答】解：设选取的木棒长为xcm，
∵两根木棒的长度分别为5cm和13cm，
∴13cm-5cm＜x＜13cm+5cm，即8cm＜x＜18cm，
∴12cm的木棒正确．
故答案为：C．
【分析】设选取的木棒长为1cm，再根据三角形的三边关系求出I的取值范围，选出合适的I的值即可。
二、填空题
11．如图，∠ACD＝∠BCD，DE∥BC交AC于E，若∠ACB＝6 0°，∠B＝74°，则∠EDC＝ °，∠CDB＝ °．
【答案】30；76
12．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，请你再添加一个条件使．你添加的条件是 ．
【答案】∠B=∠E．
【解析】【解答】解：添加条件∠B=∠E，
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故答案为：∠B=∠E．
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
13．如图， ABC≌ EDF，AE=20，FC=10，则AF的长是 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵ABC≌ EDF，
∴AC=EF，
∴AC-FC=EF-FC，
∴AF=EC，
∴AF= ．
故答案为：5
【分析】利用全等三角形的性质：对应边、对应角相等即可求解。
14．若的高，，，则的面积为 ．
【答案】36或12
15．如图，是的中线，是的高线，，，，则点到的距离是 ．
【答案】11
16．已知三角形的两边长分别为和，则第三边a的长的取值范围是 ．
【答案】
三、综合题
17．如图，在 ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点A在直线l上，BM⊥，CN⊥l，垂足分别为M，N．
（1）你能找到一对全等的三角形吗？并说明理由．
（2）线段BM，CN，MN之间有何数量关系？并说明理由．
【答案】（1）解： ．
理由：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ．
在 和 中
∴ ．
（2）解：结论： ．
由（1）得 ，
∴ ， ．
∵ ．
∴ ．
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得∠BMA=∠CNA=90°，根据余角的性质可得∠CAN=∠MBA，根据AAS证明△BMA≌△ANC；
（2）．由△BMA≌△ANC可得 ，，根据即可求解 ．
18．如图
（1）如图 ，在正方形ABCD中， 的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求 的度数．
（2）如图 ，在 中， ， ，点M，N是BD边上的任意两点，且 ，将 绕点A逆时针旋转 至 位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图 中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若 ， ， ，求AG，MN的长．
【答案】（1）解：在 和 中， ， ，
≌ ．
．
同理， ．
（2）解： ．
， ，
．
．
又 ， ，
≌ ．
．
， ，
．
．
．
．
（3）解：由 知， ， ．
设 ，则 ， ．
在 中，
，
∴(x-4)2+(x-6)2=102
解这个方程，得 ， 舍去负根 ．
即 ．
在 中，
．
在 中， ， ，
．
设 ，则 ( )2+( )2．
即 ( )2+( )2，
即 ．
【解析】【分析】(1)通过证 ≌ 、 ≌ 得出所求。
（2）旋转之后两角重合可得直角HDB，在证 ≌ ，得线段相等，。
（3）设正方形边长为x，利用勾股定理建立方程，解出根；再利用2中的结论解出MN。
19．如图， ， ， ， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求证：
【答案】（1）解：∵AB∥DE， ，
∴∠E=∠EAB=40°，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）得： ，
∵ ，
∴∠EAD=∠B，
∵ ，∠E=∠EAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（AAS），
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，可得∠E=∠EAB=40°，由∠DAE=∠DAB-∠CAB即得结论；
（2）根据AAS可证△DAE≌△CBA，利用全等三角形对应边相等即得AD=BC.
20．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．
（1） 的面积 ；
（2）在坐标系中作出 关于 轴对称的 ，并写出点 、 、 的坐标．
【答案】（1）7.5
（2）解：如图， 即为所求，并写出
【解析】【解答】（1） ，
故答案为：7.5；
【分析】（1）利用三角形的面积公式求解即可；
（2）根据轴对称的性质找出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接并直接写出点坐标即可。
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF.
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°.
【答案】（1）解：补全图形，如图所示
（2）证明：由旋转的性质得：∠DCF=90°，DC=FC，BC=EC，∴∠DCE+∠ECF=90°∵∠ACB=90°，
∴∠DCE+∠BCD=90°.
∴∠ECF=∠BCD.
∵EF∥DC，
∴∠EFC+∠DCF=180°.
∴∠EFC=90°，
在△BDC和△EFC中，
∴△BDC≌△EFC(SAS).
∴∠BDC=∠EFC=90°
【解析】【分析】（1）根据题意将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°，画出图形即可。
（2）根据旋转的性质得出∠DCF=90°，DC=FC，BC=EC，∠DCE+∠ECF=90°，再证明∠ECF=∠BCD，∠EFC=90°，然后证明△BDC≌△EFC，再根据全等三角形的性质即可证得结论。
22．如图所示.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一直线PQ，过点A作 于点M，过点B作BN PQ于点N.
（1）如图①，当M、N在△ABC的外部时，MN、AM、BN有什么关系呢？为什么？
（2）如图②，当M、N在△ABC的内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出MN与AM、BN之间的数关系并说明理由.
【答案】（1）解：MN=AM+BN，理由是：
∵AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=MC+CN=AM+BN；
即MN=AM+BN
（2）解：（1）中的结论不成立，MN与AM、BN之间的数量关系为MN=AM-BN.理由如下：
∵AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=CN-CM=AM-BN
【解析】【分析】（1） MN=AM+BN，理由如下：根据垂直的定义得出∠AMC=∠CNB=90°， 根据同角的余角相等得出 ∠MAC=∠NCB， 从而利用AAS判断出△ACM≌△CBN，根据全等三角形的对应边相等得出 AM=CN，CM=BN， 进而根据线段的和差及等量代换即可得出 MN=CN+CM=AM+BN ；
（2） （1）中的结论不成立，MN与AM、BN之间的数量关系为MN=AM-BN.理由如下： 根据垂直的定义得出∠AMC=∠CNB=90°， 根据同角的余角相等得出 ∠MAC=∠NCB， 从而利用AAS判断出△ACM≌△CBN，根据全等三角形的对应边相等得出 AM=CN，CM=BN，进而根据线段的和差及等量代换得出 MN=CN-CM=AM-BN .
23．如图，在 中， ， 为 的中点， 分别为边 上的点，且 .
（1）求证： .
（2）当 时，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵ 为 的中点，
∴ .
又∵ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
由 得 ，
∴
【解析】【分析】（1）由等角的补角相等可得∠BDF=∠FEC，然后用角角边可证 BDF≌ CEF；
（2）由三角形内角和定理可求得∠B=∠C的度数，由等边对等角可得∠BDF=∠BFD，再用三角形内角和定理可求得∠BDF=∠BFD的度数，由（1）中的全等三角形可得∠EFC=∠BFD，则根据平角的意义可求得∠DFE的度数。
24．如图，△ABC经过平移后，使点A与点A′（﹣1，4）重合．
（1）画出平移后的△A′B'C′；
（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）若三角形ABC内有一点P（a，b），经过平移后的对应点P′的坐标 ；
（4）点P在坐标轴上，且△OCP的面积等于12，则满足条件的点P的坐标为 ．
【答案】（1）解：如图，△A′B'C′为所求；
（2）平行且相等
（3）（a﹣3，b﹣2）
（4）（8，0）或（﹣8，0）或（0，6）或（0，﹣6）
【解析】【解答】解：（2）AA′∥CC′，AA′＝CC′；
故答案为：平行且相等；
（3）∵A（2，6），A′（-1，4），
△ABC先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到△A′B'C′，
∴点P（a，b）经过平移后的对应点P′的坐标为（a﹣3，b﹣2）；
故答案为：（a﹣3，b﹣2）；
（4）当P在x轴上时，设P（t，0），
∵△OCP的面积等于12，
∴×|t|×3＝12，解得t＝8或﹣8，
∴此时P点坐标为（8，0）或（﹣8，0）；
当P在y轴上时，设P（0，m），
∵△OCP的面积等于12，
∴×|m|×4＝12，解得m＝6或﹣6，
∴此时P点坐标为（0，6）或（0，﹣6）；
综上所述，P点坐标为（8，0）或（﹣8，0）或（0，6）或（0，﹣6）．
【分析】（1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平移的性质可得答案；
（3）根据点坐标平移的原则：左减右加，上加下减求解即可；
（4）分两种情况，再利用三角形的面积列出方程求解即可。
25．已知△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（-3，0），C（x，y）．
（1）若x＝-3，y＝3，求△ABC的面积；
（2）如图，若顶点C（x，y）位于第二象限，且CB∥y轴，AC与y轴相交于点E（0，1），当△ABC沿x轴正半轴方向平移，得到△DOF，且△DOF与原△ABC重叠部分为△AOE，求阴影部分的面积S（用含y的式子表示）；
（3）若点C到y轴的距离为4，点P（0，5），当S△ABC＝2S△ABP，求点C的坐标．
【答案】（1）解：根据题意可得，A（1，0），B（-3，0），C（-3，3），
∴CB⊥AB，
∴ ABC为直角三角形，
AB=1-(-3)=4，BC=3，
；
（2）解：由题意得：A（1，0），E（0，1），
∴OA=OE=1，
∴AB=1-(-3)=4，BC=3，
∵△DOF由△ABC沿x轴正半轴方向平移得到，
∴，
∴
∴，
∴，
即；
（3）解：由题意得：，
当点C在y轴左侧时，设C（-4，y），
，
解得：y=±10，
此时，C(-4，10)或（-4，-10）；
当点C在y轴右侧时，设C（4，y），
，
解得：y=±10，
此时，C(4，10)或（4，-10）；
综上可得：C(-4，10)或（-4，-10）或C(4，10)或（4，-10）．
【解析】【分析】（1）先求出AB和BC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积即可；
（2）利用割补法可得；
（3）分类讨论：①当点C在y轴左侧时，②当点C在y轴右侧时，再分别求解即可。
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