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第二十二章 四边形 单元强化提升检测卷
一、单选题
1．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画7条对角线，则它是（ ）边形．
A．七 B．八 C．九 D．十
3．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD∥BC B．∠A=∠C，∠A+∠B=180°
C．AD=BC，AD∥BC D．∠A=∠C，∠B=∠D
5．若正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，四边形是矩形，点E在线段的延长线上，连接交于点F，，点G是的中点，若，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C． D．
7．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，则边AD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4.8 D．5
8．如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点（不与A，B两端点重合），过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3．关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（ ）
A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的
C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的
10．如图，正方形ABCD中，点E在BC上，且CE= BC，点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M．以下论：①AB=CM；②AE=AB+CE；③S△AEF= S四边形ABCF；④∠AFE=90°．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．三角形的三条中位线的长分别为3，4，5，则此三角形的周长为 ．
12．如图，正方形的边长为2，将正方形绕点A逆时针旋转角得到正方形，连接，当点恰好落在线段上时，线段的长度是 ．（结果保留根号）
13．已知一个多边形的内角和与外角和的比是2：1，则它的边数为 ．
14．如图，正方形地砖由中心1个小正方形和四周4个全等的等腰梯形组成，已知小正方形的面积和梯形的面积相等，若小正方形顶点和大正方形顶点连线，则这块正方形地砖的周长为 ．
15．若一个多边形的每一个外角都为 则该多边形为 边形．
16．如图，已知，点C，D在线段上，且．P是线段上的动点，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G，则的最小值是 ．
三、综合题
17．△ABC是一块腰长为20cm的等腰直角三角形白铁皮零料.请你利用三角形零料裁出一块矩形白铁皮，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上.
活动一：若裁出的矩形白铁皮的面积为零料面积的，请画出符合题意的裁剪示意图（一种即可），并求出此时矩形铁皮的边长.
活动二：根据“活动一”中你选择的裁剪方法，思考并解答：
（1）是否能够使得裁出的矩形白铁皮的面积是零料面积的？请判断并说明理由；
（2）猜想裁剪出的矩形白铁皮的面积最大值.直接写出结论，不必说理.
18．如图， 的对角线 、 相交于点O，且 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
19．如图，点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，点F，G，H分别是AE，ED，BC的中点.
（1）判断FG和HC之间的关系，并说明理由；
（2）求证：∠DEH＝∠FHE.
20．已知：如图， ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点．过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△FBE≌△COE；
（2）将 ABCD添加一个条件，使四边形AFBO是菱形，并说明理由．
21．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中 ， ．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若∠ADB＝30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求EF的长．
24．如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．
25．在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知，．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段组成一个以为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 ，的面积是 ；
（2）将绕点C旋转180°得到，连接、，则四边形的形状是何特殊四边形？
（3）请探究：在y轴上是否存在这样的点P，使四边形的面积等于面积的2.5倍？若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．
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第二十二章 四边形 单元强化提升检测卷
一、单选题
1．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
2．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画7条对角线，则它是（ ）边形．
A．七 B．八 C．九 D．十
【答案】D
3．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示：过 点 作 轴于 ，
∵菱形 的顶点A的坐标为 ， ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵将菱形 沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质求出 ， ，再利用锐角三角函数以及勾股定理求出AH和BH的值，最后根据平移的规律求点的坐标即可。
4．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD∥BC B．∠A=∠C，∠A+∠B=180°
C．AD=BC，AD∥BC D．∠A=∠C，∠B=∠D
【答案】A
【解析】【解答】∵AB＝CD，AD∥BC，但AB与CD不一定平行，
∴由AB＝CD，AD∥BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，
故A选项符合题意；
∵∠A+∠B＝，
∴AD∥BC，
∵∠A＝∠C，∠A+∠B＝，
∴∠C+∠B＝，
∴CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴由∠A＝∠C，∠A+∠B＝能判断四边形ABCD是平行四边形，
故B选项不符合题意；
∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴由AD＝BC，AD∥BC能判断四边形ABCD是平行四边形，
故C选项不符合题意；
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，且∠A+∠C+∠B+∠D＝3，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝，∠A+∠D＝∠B+∠C＝，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴由∠A＝∠C，∠B＝∠D能判断四边形ABCD是平行四边形，
故D选项不符合题意
故答案为：A
【分析】AB＝CD，AD∥BC，但AB与CD不一定平行，这样的四边形可能是等腰梯形，所以由AB＝CD，AD∥BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，可知A选项符合题意；由∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，得∠C+∠B＝180°，则AD∥BC，CD∥AB，根据平行四边形的定义可证明四边形ABCD是平行四边形，可知B选项不符合题意；由AD＝BC，AD∥BC，根据平行四边形的定义可证明四边形ABCD是平行四边形，可知C选项不符合题意；由∠A＝∠C，∠B＝∠D，可推导出∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，则AD∥BC，AB∥DC，可证明四边形ABCD是平行四边形，可知D选项不符合题意，于是得到问题的答案
5．若正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】【解答】解：∵正多边形的外角和是360°，且每一个外角都相等，
∴正多边形的边数是 ，
故答案为：D.
【分析】利用外角和360°除以外角的度数即可求出正多边形的边数.
6．如图，四边形是矩形，点E在线段的延长线上，连接交于点F，，点G是的中点，若，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=∠ABC=∠ABE=90゜，AB=CD=3，AD∥BC
∵G点是DF的中点
∴AG是Rt△DAF斜边DF上的中线
∴AG=DG=
∴∠GAD=∠ADE
∴∠AGE=2∠ADE
∵AD∥BC
∴∠CED=∠ADE
∴∠AGE=2∠CED
∵∠AED=2∠CED
∴∠AED=∠AGE
∴AE=AG
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
∴
∴
故答案为：D．
【分析】先求出AG是Rt△DAF斜边DF上的中线，再求出∠AED=∠AGE，最后利用勾股定理计算求解即可。
7．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，则边AD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4.8 D．5
【答案】D
8．如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作点A关于的对称点M，N，延长到点G，
∴，，
∴，，
∴的周长，
∴当M，F，E，N四点共线时，的周长最小，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
．
故选：A．
【分析】作点A关于的对称点M，N，延长到点G，利用轴对称的性质可得，，根据两点之间线段最短可得当M，F，E，N四点共线时，的周长最小，然后求出，再由三角形的外角性质解题即可．
9．如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点（不与A，B两端点重合），过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3．关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（ ）
A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的
C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的
【答案】C
【解析】【解答】设P(x，)()，
∵，
∴周长不变，且始终为6，即小明符合题意；
∵，
∴当时，最大，最大为，即小红是错误的．
故答案为：C
【分析】设P(x，)()，由矩形的周长和面积的计算公式可求解。
10．如图，正方形ABCD中，点E在BC上，且CE= BC，点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M．以下论：①AB=CM；②AE=AB+CE；③S△AEF= S四边形ABCF；④∠AFE=90°．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】由题意知，∵点F是CD的中点，∴DF=CF，
又∵∠D=∠FCM，∠DFA=∠CFM，
∴△ADF≌△MCF，
∴CM=AD=AB，
①正确；
设正方形ABCD边长为4，
∵CE= BC=1，
∴BE=3，
∴AE=5，
∴AE=AB+CE，
②正确；
EM=CM+CE=5=AE，
又∵F为AM的中点，
∴EF⊥AM，
④正确，
由CF=2，CE=1得EF= ，
由DF=2，AD=4得AF= ，
∴S△AEF=5，
又S△ADF=4，
∴S四边形ABCF=S□ABCD S△ADF=12，
③不正确，
故正确的有3个，选C.
【分析】根据正方形的性质和已知，根据ASA可以得到△ADF≌△MCF，得到对应边CM=AD=AB；由已知得到AE=AB+CE；由F为AM的中点，根据三线合一得到EF⊥AM；由四边形和三角形的面积进行比较得到③不正确.
二、填空题
11．三角形的三条中位线的长分别为3，4，5，则此三角形的周长为 ．
【答案】24
【解析】【解答】解：∵ 三角形的三条中位线的长分别为3，4，5，
∴ 三角形的三边的长分别为6，8，10，
∴ 三角形的周长=6+8+10=24.
故答案为：24.
【分析】根据三角形中位线定理，求出三角形的三边的长，根据三角形的周长公式，即可求三角形的周长.
12．如图，正方形的边长为2，将正方形绕点A逆时针旋转角得到正方形，连接，当点恰好落在线段上时，线段的长度是 ．（结果保留根号）
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC，连接交于O，
∵四边形ABCD和四边形都是正方形，
∴，∠B=90°，AB=BC=2，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
13．已知一个多边形的内角和与外角和的比是2：1，则它的边数为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
∴该多边形的边数为6；
故答案为6．
【分析】先求出，再解方程即可。
14．如图，正方形地砖由中心1个小正方形和四周4个全等的等腰梯形组成，已知小正方形的面积和梯形的面积相等，若小正方形顶点和大正方形顶点连线，则这块正方形地砖的周长为 ．
【答案】
15．若一个多边形的每一个外角都为 则该多边形为 边形．
【答案】八
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于 ，
∴多边形的边数为 ，
则这个多边形是八边形；
故答案为八．
【分析】根据题意求出多边形的边数为 ，最后即可作答。
16．如图，已知，点C，D在线段上，且．P是线段上的动点，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，分别延长、交于点，过点作于点．
∵，
∴，
∵，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分．
∵为的中点，
也正好为中点，
即在的运动过程中，始终为的中点，
的运行轨迹为的中位线．
作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则四边形是矩形，此时的值最小，最小值为线段的长．
∵是等边三角形，，，
，
，
∵，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹为的中位线．作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则四边形是矩形，此时的值最小，最小值为线段的长．
三、综合题
17．△ABC是一块腰长为20cm的等腰直角三角形白铁皮零料.请你利用三角形零料裁出一块矩形白铁皮，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上.
活动一：若裁出的矩形白铁皮的面积为零料面积的，请画出符合题意的裁剪示意图（一种即可），并求出此时矩形铁皮的边长.
活动二：根据“活动一”中你选择的裁剪方法，思考并解答：
（1）是否能够使得裁出的矩形白铁皮的面积是零料面积的？请判断并说明理由；
（2）猜想裁剪出的矩形白铁皮的面积最大值.直接写出结论，不必说理.
【答案】（1）解：活动一：设长方形的长，则宽为，由题意，得，
化简，得，解得，.
经检验，，都符合题意.
因此只要在等腰直角三角形的直角边上截取长方形的一边等于即可，
画出符合题意的裁剪示意图如下：
故此时矩形铁皮的边长为：.
活动二：①不能使得裁出的矩形白铁皮的面积是零料面积的，理由如下；
零料面积的，即为，
由裁剪方法得：，
整理得：，
，
故方程无解，
故不能使得裁出的矩形白铁皮的面积是零料面积的；
（2）解：矩形白铁皮的面积取到最大值为.
【解析】【解答】解：（2）猜想裁剪出的矩形白铁皮的面积最大值为，理由如下：
，
故当时，矩形白铁皮的面积取到最大值为.
【分析】（1）活动一：设长方形的长AF=x(cm)，则宽为(20-x)cm，根据矩形的面积=长×宽可得关于x的方程，解方程可求得x的值；
活动二：①不能使得裁出的矩形白铁皮的面积是零料面积的，理由如下；由裁剪方法得关于x的方程，计算b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式可知方程无解；即不能使得裁出的矩形白铁皮的面积是零料面积的；
（2）猜想裁剪出的矩形白铁皮的面积最大值为100（cm2），理由如下：根据矩形的面积=长×宽可得x（20-x)，配成顶点式得x（20-x)=-（x-10）2+100，根据二次根式的性质可求解.
18．如图， 的对角线 、 相交于点O，且 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
【答案】（1）下面：∵ 的对角线 、 相交于点O，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）证明：由（1） ，
∴∠OBE=∠ODF，
∴BE∥DF.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB=OD，由SAS证明△BOE≌△DOF即可；（2）由（1）的结论证明∠OBE=∠ODF，即可得出BE∥DF.
19．如图，点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，点F，G，H分别是AE，ED，BC的中点.
（1）判断FG和HC之间的关系，并说明理由；
（2）求证：∠DEH＝∠FHE.
【答案】（1）解：FG＝HC，FG∥HC；理由如下：
∵点F，G分别是AE，DE的中点，
∴FG是△AED的中位线，
∴FG＝AD，FG∥AD，
∵H是BC的中点，
∴CH＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴FG＝HC，FG∥HC；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°
∵G是DE的中点，
∴CG＝DE＝GE，
∴∠GEH＝∠GCE，
∵FG＝HC，FG∥HC，
∴四边形FHCG是平行四边形，
∴FH∥GC，
∴∠FHE＝∠GCE，
∴∠GEH＝∠FHE，
∴∠DEH＝∠FHE.
【解析】【分析】（1）利用中位线的定义可证得FG是△AED的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 FG＝AD，FG∥AD， 同时可证得 CH＝BC ，利用矩形的性质可得到AD＝BC，AD∥BC，由此可得到FG和HC之间的关系.
（2）利用矩形的性质和直角三角形的性质可证得CG=GE，利用等边对等角可证得∠GEH＝∠GCE；再证明四边形FHCG是平行四边形，可推出FH∥CG，利用平行线的性质可得到∠FHE＝∠GCE，由此可证得结论.
20．已知：如图， ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点．过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△FBE≌△COE；
（2）将 ABCD添加一个条件，使四边形AFBO是菱形，并说明理由．
【答案】（1）证明：如图，取BC的中点G，连接EG．
∵E是BO的中点，
∴EG是△BFC的中位线，
∴EG== BF．
同理，EG== OC，
∴BF=OC．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∴BF=OC．
又∵BF∥AC，
∴∠FBE=∠COE．
在△FBE△COE中， ，
∴△FBE≌△COE（AAS）；
（2）解：当AC=BD时，四边形AFBO是菱形．理由如下：
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴平行四边形AFBO是菱形．
【解析】【分析】（1）由AAS证得两个三角形全等即可．（2）当平行四边形ABCD的对角线相等，即平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．
21．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中 ， ．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若∠ADB＝30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴四边形AEBO是菱形；
（2）证明：∵四边形AEBO是菱形，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ ，
，
，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，即AF是OB边上的中线，
∴AF平分 ．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定可得四边形AEBO是平行四边形，再根据矩形的性质可得 ，然后根据菱形的判定即可得证；
（2）先根据菱形的性质、矩形的性质可得 ，再根据平行线的性质可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，最后根据等边三角形的判定与性质即可得证．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO=∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB=OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD=24，MN=10，
∴BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=5，
在Rt△BOM中，
由勾股定理得：，
∴四边形BNDM的周长为：4×13=52．
【解析】【分析】（1）先证明四边形BNDM是平行四边形，再结合MN⊥BD，可得四边形BNDM是菱形；
（2）先利用勾股定理求出MB的长，再利用菱形的性质可得四边形BNDM的周长为：4×13=52。
23．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF＝BE，
又因为DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形
∴四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解之得：x＝，
∴DE＝8﹣＝，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2
∴BD＝，
∴OD＝ BD＝5，
在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2﹣OD2＝OE2，
∴OE＝，
∴EF＝2OE＝．
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证明△DOF≌△BOE可得DF=BE，再结合DF//BE即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x，利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2，求出x的值，再求出BD和OE的长，即可得到EF的长。
24．如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．
【答案】（1）证明：∵CN∥AB，
∴∠1=∠2．
在△AMD和△CMN中，
，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN．
又AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD=AN；
（2）解：∵AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，
∴AN=2MN=2，
∴AM= = ，
∴S△AMN= AM MN= × ×1= ．
∵四边形ADCN是平行四边形，
∴S四边形ADCN=4S△AMN=2 ．
【解析】【分析】（1）利用“平行四边形ADCN的对边相等”的性质可以证得CD=AN；（2）根据“直角△AMN中的30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AN=2MN=2，然后由勾股定理得到AM= ，则S四边形ADCN=4S△AMN=2 ．
25．在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知，．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段组成一个以为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 ，的面积是 ；
（2）将绕点C旋转180°得到，连接、，则四边形的形状是何特殊四边形？
（3）请探究：在y轴上是否存在这样的点P，使四边形的面积等于面积的2.5倍？若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(1，-1)；4
（2）矩形
（3）解：（0，-4）
【解析】【解答】解：（1）如图，由题意得C（1，-1），
△ABC的面积=3×3-×3×1-×3×1-×2×2=4；
故答案为：（1，1），4.
（2）如图，由旋转得AC=A'C，BC=B'C，且A、C、A'和B、C、B'三点共线，
∴AA'=BB'，
∴四边形是矩形；
故答案为：矩形.
（3）存在.
由（1）知S△ABC=4，∴S四边形ABOP=10，且点P在y的负半轴上，
∵S△ABO=4×4-×4×2-×4×2-×2×2=6，
设P（0，x），
S四边形ABOP=△ABO的面积+△AOP的面积=6+·（-x）×2=10，
解得x=-4，
∴P（0，-4）
【分析】（1）AB的垂直平分线所在的格点即为点C；利用割补法求出△ABC的面积即可；
（2）由旋转的性质可得AC=A'C，BC=B'C，且A、C、A'和B、C、B'三点共线，即得AA'=BB'，根据矩形的判定定理即证；
（3）先求出S四边形ABOP=10，且判断点P在y的负半轴上，设P（0，x），根据S四边形ABOP=△ABO的面积+△AOP的面积=10，据此建立关于x方程并解之即可.
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