2025年安徽师大附中高考数学4月质检试卷（含答案）

2025年安徽师大附中高考数学质检试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.设，若，则( )
A. B. C. D.
4.若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆台上、下底面半径分别为，，高为，且，当圆台的体积最大时，圆台的母线与底面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数其中表示不超过的最大整数，则关于的方程的所有实数根之和为( )
A. B. C. D.
8.记数列的前项和为，若，则的值不可能为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数和，则( )
A. 和的最小正周期相同
B. 和在区间上的单调性相同
C. 的图象向右平移个单位长度得到的图象
D. 和的图象关于直线对称
10.已知为抛物线：的焦点，为坐标原点，过的直线与交于，两点，交的准线于点，则( )
A.
B. 若直线的斜率为，则以线段为直径的圆截轴所得的弦长为
C. 若，则
D. 的最大值为
11.设，函数，则( )
A. 有两个极值点
B. 若，则当时，
C. 若有个零点，则的取值范围是
D. 若存在，，满足，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距为______．
13.设函数，，若曲线与恰有个公共点，则 ______．
14.已知正三棱锥的各顶点均在半径为的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从岁人群中选取了人，测得他们的身高单位：和体重单位：，得到如下数据：
样本号 均值
身高
体重
若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由精确到；
建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值保留整数．
参考数据：，，，，．
参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，．
16.设函数．
若是增函数，求的取值范围；
若，为的两个极值点，求的取值范围．
17.如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点．
证明：平面平面；
若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求．
18.已知椭圆：的右焦点为，离心率为，过点的直线交于，两点在线段上，当直线的斜率为时，．
求的方程；
求面积的最大值；
过且与轴平行的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上．
19.已知数列满足，且．
若，求满足条件的的值；
设集合，
(ⅰ)若，证明：，，成等比数列；
(ⅱ)若其中，且，求的最大值．
答案和解析
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15.，
因为，
所以，即身高与体重间是高度相关的；
因为，
所以，
所以体重关于身高的回归方程为，
所以当时，，
即某同学身高为时，体重大概为．
16.由题意，求导得，
若是增函数，即，
又，，
所以恒成立，
因为，则有，
解得，即的取值范围是；
由可知，若有两个极值点，则，
根据韦达定理得出，，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
17.连接，设与相交于点，连接，
，分别为，的中点，，
在正四棱锥中，平面，
又平面，，
又底面为正方形，，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面，
平面平面．
由以及题意可知，在中，，，
在中，，，，
又，，，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，
则，，，．
在棱上，不妨设，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，则，即，
令，则，，则，
设与平面所成的角为，
则，当且仅当时等号成立，
当与平面所成角取得最大值时，．
18.依题意有，所以，
设椭圆半焦距为，因为离心率为，所以，则，
所以，
所以椭圆的方程为；
设直线：，由知，
联立，消去得，
，解得，
设，，则，，
因为
，
令，所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为；
证明：直线：，
联立，解得，
所以线段的中点横坐标为，
所以，
所以线段的中点在直线上．
19.由题意可知：或，
且，
若，则或，显然不合题意；
若，则，符合题意；
所以．
证明：由题知，当，，时，，
若，则与且矛盾，
所以，所以，
若，则与且矛盾，
所以，同理可得，
所以，，成公比为的等比数列；
(ⅱ)由
可推得，或，
对于任意正整数，，
可得，
即，
所以，所以，
由题知，所以，，，
所以，，，
若，则与且矛盾，所以，
因为且，所以且，所以，
因为，，所以，
又，，，
所以为正奇数，
所以，
同理，，，
所以，
当为，，，，，，，，，，，，时，符合题意，
所以的最大值为．
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